Giả sử $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}$ sao cho $F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0$ . Giá trị của $F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right)$ bằng:
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = \ln \left( {x + 3} \right)\\\n{\rm{d}}v = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = \frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}\\\nv = - \frac{1}{x}\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = \ln \left( {x + 3} \right)\\\n{\rm{d}}v = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = \frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}\\\nv = - \frac{1}{x}\n\end{array} \right.$
Ta có: $\int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C = F\left( {x,C} \right)$
Ta lại có: $F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}\ln 2 + C} \right) + \left( { - \ln 4 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + C} \right) = 0 \Leftrightarrow 2C = \frac{7}{3}\ln 2$
Suy ra: $F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right) = \ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln \frac{2}{5} + 2C = \frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5$
Giả sử $\int {x{{\left( {1 - x} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^a}}}{a} - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^b}}}{b} + C$ với $a, b$ là các số nguyên dương. Tính $2a - b$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\int {x{{\left( {1 - x} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {x - 1 + 1} \right){{\left( {1 - x} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^{2017}} - {{\left( {1 - x} \right)}^{2018}}} \right){\rm{d}}x} = - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}{{2019}} + C$
Vậy $a = 2019,\,b = 2018 \Rightarrow 2a - b = 2020$
Biết được $\int {{e^{2x}}} (2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4)dx = (a{x^3} + b{x^2} + cx + d){e^{2x}} + C$. Khi đó $a + b + c + d$
Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F\'\left( x \right) = f\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int {{e^{2x}}} (2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4)dx = (a{x^3} + b{x^2} + cx + d){e^{2x}} + C$
${\left( {(a{x^3} + b{x^2} + cx + d){e^{2x}} + C} \right)^\prime } = (3a{x^2} + 2bx + c){e^{2x}} + 2{e^{2x}}(a{x^3} + b{x^2} + cx + d$
$ = \left( {2a{x^3} + (3a + 2b){x^2} + (2b + 2c)x + c + 2d} \right){e^{2x}}$$ = (2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4){e^{2x}}$
Do đó: $\left\{ \begin{array}{l} 2a = 2\\ 3a + 2b = 5\\ 2b + 2c = - 2\\ c + 2d = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1\\ c = - 2\\ d = 3 \end{array} \right.$
Vậy $a + b + c + d = 3$
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$, thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$. Tính giá trị biểu thức $T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + ... + F\left( {2020} \right)$
Nhớ ${a^0} + {a^1} + {a^3} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$
Mà $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow \frac{1}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$
$T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + ... + F\left( {2019} \right) = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} + ... + \frac{{{2^{2019}}}}{{\ln 2}} = \frac{1}{{\ln 2}}.\frac{{1 - {2^{2020}}}}{{1 - 2}} = \frac{{{2^{2020}} - 1}}{{\ln 2}}$
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}$ thỏa mãn $f\'\left( x \right) = \frac{3}{{3x - 1}},\,f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( {\frac{2}{3}} \right) = 2$. Giá trị của biểu thức $f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)$ bằng:
$\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \ln \left| {ax + b} \right| + C} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( x \right) = \int {f\'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{3}{{3x - 1}}} {\rm{d}}x = \ln \left| {3x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\n\ln \left( { - 3x + 1} \right) + C\,\,\left( {{\rm{khi}}\,x < \frac{1}{3}} \right)\\\n\ln \left( {3x - 1} \right) + C\left( {\,{\rm{khi}}\,x > \frac{1}{3}} \right)\n\end{array} \right.$
$f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln \left( { - 3.0 + 1} \right) + C = 1 \Leftrightarrow C = 1f\left( { - 1} \right) = \ln \left( {3 + 1} \right) + 1 = 2\ln 2 + 1$
$f\left( {\frac{2}{3}} \right) = 2 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} \right) + C = 2 \Leftrightarrow C = 2;\,\,f\left( 3 \right) = \ln \left( {9 - 1} \right) + 2 = 2\ln 2 + 2$
Vậy: $f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2 + 1 + 2\ln 2 + 2 = 5\ln 2 + 3$
Cho $\int {\left( {\frac{{ax + b + c{{\rm{e}}^x}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right){\rm{d}}x} = 9\sqrt {{x^2} + 1} + 2\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 5{{\rm{e}}^x} + C$. Tính giá trị của biêu thức. $M = a + b + c$
Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F\'\left( x \right) = f\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${\left[ {9\sqrt {{x^2} + 1} + 2\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 5{{\rm{e}}^x}} \right]^\prime } = \frac{{9x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 2\frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} + 5{{\rm{e}}^x} = \frac{{9x + 2 + 5{{\rm{e}}^x}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$
Do đó: $a = 9;\,b = 2;\,c = 5$. Suy ra $M = a + b + c = 16$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}$ và thỏa mãn $f\'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 1}}$. Biết rằng $f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 0$. Tính $T = f\left( 2 \right) + f\left( 0 \right) + f\left( { - 4} \right)$
Nhớ: $\int {f\'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( x \right) = \int {f\'\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int {\frac{1}{{{x^2} - 1}}{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $
$ = \frac{1}{2}\left[ {\int {\frac{1}{{x - 1}}{\mathop{\rm d}\nolimits} x - \int {\frac{1}{{x + 1}}{\mathop{\rm d}\nolimits} x} } } \right] = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$
Do đó:
$f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}\ln 2 + C} \right) + \left( {\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} + C} \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0$
Như vậy: $f\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|$
$f\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{2 - 1}}{{2 + 1}}} \right| = - \frac{1}{2}\ln 3$
$f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{0 - 1}}{{0 + 1}}} \right| = 0$
$f\left( { - 4} \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{ - 4 - 1}}{{ - 4 + 1}}} \right| = \frac{1}{2}\left( {\ln 5 - \ln 3} \right)$
Từ đó: $T = f\left( 2 \right) + f\left( 0 \right) + f\left( { - 4} \right) = - \frac{1}{2}\ln 3 + 0 + \frac{1}{2}\left( {\ln 5 - \ln 3} \right) = \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 3$
Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + m - 1$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 0$ và $F\left( 3 \right) = 7$. Khi đó giá trị của tham số $m$ là:
Tìm nguyên hàm và từ giả thuyết bài toán để tìm ra $m$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + m - 1} \right){\rm{d}}x} = \sqrt {x + 1} + \left( {m - 1} \right)x + C$
Theo giả thuyết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\nF\left( 0 \right) = 0\\\nF\left( 3 \right) = 7\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nC + 1 = 0\\\nC + 3m = 8\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nC = - 1\\\nm = 3\n\end{array} \right.$
Vậy $F\left( x \right) = \sqrt {x + 1} + 2x - 1$
Giả sử $\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}} = - \frac{1}{{g\left( x \right)}} + C} $, với $C$ là hằng số. Tính tổng nghiệm của phương trình $g\left( x \right) = 0$.
Biến đổi về $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1 = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1 = {\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1} \right]^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1 = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1 = {\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1} \right]^2}$
Đặt $t = {x^2} + 3x$ khi đó ${\rm{d}}t = \left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x$
Nguyên hàm ban đầu trở thành $\int {\frac{{{\rm{d}}t}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = - \frac{1}{{t + 1}} + C} $
Vậy $\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}} = - \frac{1}{{{x^2} + 3x + 1}} + C} $
Vậy $g\left( x \right) = {x^2} + 3x + 1$
$g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\\nx = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\n\end{array} \right.$.
Khi đó tổng tất cả các nghiệm của $g\left( x \right) = 0$ bằng $-3$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, không âm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right).f\'\left( x \right) = 2x\sqrt {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 1} $ và $f\left( 0 \right) = 0$. Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ lần lượt là:
Đưa về dạng $f\left( x \right).f\'\left( x \right) = 2x\sqrt {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f\'\left( x \right)}}{{\sqrt {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 1} }} = 2x$ và lấy nguyên hàm 2 về.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\left( x \right).f\'\left( x \right) = 2x\sqrt {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f\'\left( x \right)}}{{\sqrt {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 1} }} = 2x$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\sqrt {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 1} = {x^2} + C$, do $f\left( 0 \right) = 0$ nên $C = 1$
Vậy $f\left( x \right) = \sqrt {{x^4} + 2{x^2}} = x\sqrt {{x^2} + 2} $ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$
Ta có: $f\'\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} > 0$ với mọi $x \in \left[ {1;\,3} \right]$ nên $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {1;3} \right]$
Vậy $M = f\left( 3 \right) = 3\sqrt {11} $, $m = f\left( 1 \right) = \sqrt 3 $