Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\left( {a \ne 0} \right)$, biết rằng $F\left( { - 1} \right) = 1$, $F\left( 1 \right) = 4$, $f\left( 1 \right) = 0$.
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)$, từ giả thuyết tìm $a, b, C$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)} dx = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + C$
Theo giả thuyết ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\n\frac{a}{2} + b + C = 1\\\n\frac{a}{2} - b + C = 4\\\na + b = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = \frac{3}{2}\\\nb = - \frac{3}{2}\\\nC = \frac{7}{4}\n\end{array} \right.$. Từ đó hàm số $f\left( x \right)$ có một nguyên hàm là $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}$
Mệnh đề nào sau đây sai?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề sai là C. Vì ví dụ $F\left( x \right) = x + 2$ và $G\left( x \right) = x + 1$ đều là nguyên hàm của hàm $f\left( x \right) = 1$, nhưng
$F\left( x \right) \ne G\left( x \right)$
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ với mọi hằng số $k \neq 0$ và với mọi hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 4}}$
Vi phân hoặc đặt $t=x^{2}-2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int {\frac{x}{{{x^2} - 4}}dx} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - 4} \right| + C$
Khi tính nguyên hàm $\int {\frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} }}} {\kern 1pt} {\rm{d}}x$, bằng cách đặt $u = \sqrt {x + 1} $ ta được nguyên hàm nào?
Đặt $u = \sqrt {x + 1} ,\,u \ge 0$, ${u^2} = x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}x = 2u{\kern 1pt} {\rm{d}}u\\ x = {u^2} - 1 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $u = \sqrt {x + 1} ,\,u \ge 0$
Ta được: ${u^2} = x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}x = 2u{\kern 1pt} {\rm{d}}u\\ x = {u^2} - 1 \end{array} \right.$
Khi đó $\int {\frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} }}} {\kern 1pt} {\rm{d}}x = \int {\frac{{{u^2} - 1 - 3}}{u}.2u} {\kern 1pt} {\rm{d}}u = \int {2\left( {{u^2} - 4} \right)} {\kern 1pt} {\rm{d}}u$
Cho biết $F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + 2x - \frac{1}{x}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^2}}}{{{x^2}}}$. Tìm nguyên hàm của $g\left( x \right) = x\cos ax$
Tính chất: $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $F’\left( x \right) = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}$. Suy ra $a=1$
Khi đó $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {x\cos x{\rm{d}}x} = \int {x{\rm{d}}\sin x} = x.\sin x - \int {\sin x{\rm{d}}x} = x.\sin x + \cos x + C$
Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {3 - 2x} }}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Vi phân hoặc $t = \sqrt {3 - 2x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int {\frac{1}{{\sqrt {3 - 2x} }}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{2}\int {{{\left( {3 - 2x} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}{\rm{d}}\left( {3 - 2x} \right)} = - \frac{1}{2}\frac{{\sqrt {3 - 2x} }}{{\frac{1}{2}}} + C = - \sqrt {3 - 2x} + C$
Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {x + 2} \right)}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
$\frac{1}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2 - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\int {\frac{1}{{x\left( {x + 2} \right)}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {\frac{{x + 2 - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{x + 2}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left| {x + 2} \right| = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{x}{{x + 2}}} \right| + C$
Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
$\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{si{n^2}x{{\cos }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} = \tan x - \cot x + C$
Biết $\int {x{e^{2x}}{\rm{d}}x = ax} {e^{2x}} + b{e^{2x}} + C{\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b \in Q} \right)$. Tính tích $a.b$
Nguyên hàm từng phần.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = x\\\n{\rm{d}}v = {e^{2x}}{\rm{d}}x\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\\nv = \frac{1}{2}{e^{2x}}\n\end{array} \right.$
$\int {x{e^{2x}}{\rm{d}}x = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}{\rm{d}}x} } = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C$
Vậy $a = \frac{1}{2};{\rm{ }}b = - \frac{1}{4} \Rightarrow ab = - \frac{1}{8}.$
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {5x + 1} \right){{\rm{e}}^x}$ và $F\left( 0 \right) = 3$ . Tính $F\left( 1 \right)$.
Nguyên hàm từng phần.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $F\left( x \right) = \int {\left( {5x + 1} \right){{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} $
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{u = 5x + 1}\\\n{{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x}\n\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{\rm{d}}u = 5{\rm{d}}x}\\\n{v = {{\rm{e}}^x}}\n\end{array}} \right.$
$F\left( x \right) = \left( {5x + 1} \right){{\rm{e}}^x} - \int {5{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left( {5x + 1} \right){{\rm{e}}^x} - 5{{\rm{e}}^x} + C = \left( {5x - 4} \right){{\rm{e}}^x} + C$
Theo yêu cầu bài toán:
$F\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow - 4 + C = 3 \Leftrightarrow C = 7$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \left( {5x - 4} \right){{\rm{e}}^x} + 7$
Vậy $F\left( 1 \right) = {\rm{e}} + 7$
Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x$ thỏa $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0$ là:
Đặt $t= sin2x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = \sin 2x \Rightarrow {\rm{d}}t = 2.\cos 2x{\rm{d}}x \Rightarrow \frac{1}{2}{\rm{d}}t = \cos 2x{\rm{d}}x$
Ta có:
$F\left( x \right) = \int {{{\sin }^2}2x.{{\cos }^3}2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{t^2}.\left( {1 - {t^2}} \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{2}\int {\left( {{t^2} - {t^4}} \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{6}{t^3} - \frac{1}{{10}}{t^5} + C$
$ = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x + C$
Theo đề ta có: $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{6}{\sin ^3}\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}\frac{\pi }{2} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{15}}$
Vậy $F\left( x \right) = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x - \frac{1}{{15}}$
Cho $\int {2x{{\left( {3x - 2} \right)}^6}{\rm{d}}x = A{{\left( {3x - 2} \right)}^8} + B{{\left( {3x - 2} \right)}^7} + C} $ với $A, B \in \mathbb{Q}$ và $C \in \mathbb{R}$. Giá trị của biểu thức $12A+7B$
Đặt $t=3x-2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = 3x - 2 \Rightarrow x = \frac{{t + 2}}{3} \Rightarrow \frac{1}{3}{\rm{d}}t = {\rm{d}}x$
$\frac{2}{3}\int {\frac{{t + 2}}{3}.{t^6}{\rm{d}}t} = \frac{2}{9}\int {\left( {{t^7}{\rm{ + }}2{t^6}} \right){\rm{d}}t} = \frac{2}{9}.\frac{{{t^8}}}{8} + \frac{4}{9}.\frac{{{t^7}}}{7} + C = \frac{1}{{36}}.{\left( {3x - 2} \right)^8} + \frac{4}{{63}}.{\left( {3x - 2} \right)^7} + C$
Vậy $A = \frac{1}{{36}},\,B = \frac{4}{{63}}$. Khi đó $12A + 7B = 12.\frac{1}{{36}} + 7.\frac{4}{{63}} = \frac{7}{9}$
Cho $F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx - c} \right){{\rm{e}}^{2x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {2018{x^2} - 3x + 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}$ trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$. Tính $T = a + 2b + 4c$
Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx - c} \right){{\rm{e}}^{2x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {2018{x^2} - 3x + 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ nên ta có: ${\left( {F\left( x \right)} \right)^\prime } = f\left( x \right)$, với mọi $x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
$ \Leftrightarrow \left( {2a{x^2} + x\left( {2b + 2a} \right) - 2c + b} \right){{\rm{e}}^{2x}} = \left( {2018{x^2} - 3x + 1} \right){{\rm{e}}^{2x}},\,\forall x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a = 2018\\ 2b + 2a = - 3\\ - 2c + b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1009\\ b = - \frac{{2021}}{2}\\ c = - \frac{{2023}}{4} \end{array} \right.$
Vậy $T = a + 2b + 4c = 1009 + 2.\left( { - \frac{{2021}}{2}} \right) + 4.\left( { - \frac{{2023}}{4}} \right) = - 3035$
Nếu $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{x} + \ln x + C$ thì $f\left( x \right)$ là
Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\left( {\frac{1}{x} + \ln x + C} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}$
Vậy hàm số cần tìm: $f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}$
Cho bốn mệnh đề sau:
$\left( I \right):\,\,\,\int {{{\cos }^2}x.{\rm{d}}x} = \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C$
$\left( {II} \right):\,\,\,\int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 2018}}{\rm{d}}x} = \ln \left( {{x^2} + x + 2018} \right) + C$
$\left( {III} \right):\,\,\,\int {{3^x}\left( {{2^x} + {3^{ - x}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + x + C$
$\left( {IV} \right):\,\,\,\int {{3^x}{\rm{d}}x} = {3^x}.\ln 3 + C$
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
Xét từng mệnh đề.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left( I \right):\,\,\,\int {{{\cos }^2}x.{\rm{d}}x} = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}.{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C$
$\left( {II} \right):\,\,\,\int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 2018}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{{{x^2} + x + 2018}}{\rm{d}}\left( {{x^2} + x + 2018} \right)} = \ln \left( {{x^2} + x + 2018} \right) + C$
$\left( {III} \right):\,\,\,\int {{3^x}\left( {{2^x} + {3^{ - x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{6^x} + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + x + C$
$\left( {IV} \right):\,\,\,\int {{3^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$
Vậy mệnh đề $(I)$ và $(IV)$ sai.
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2{{\rm{e}}^x} + 3}}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 10$. Tìm $F(x)$
Nhân tử và mẫu cho $e^{x}$ và đặt $t=e^{x}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{{2{{\rm{e}}^x} + 3}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{\left( {2{{\rm{e}}^x} + 3} \right){{\rm{e}}^x}}}{\rm{d}}x} $
Đặt $t = {{\rm{e}}^x} \Rightarrow {\rm{d}}t = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x$. Suy ra
$F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{\left( {2t + 3} \right)t}}{\rm{d}}t} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{t}{{2t + 3}}} \right| + C = \frac{1}{3}\ln \left( {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{2{{\rm{e}}^x} + 3}}} \right) + C = \frac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {2{{\rm{e}}^x} + 3} \right)} \right) + C$
Theo đề ta có $F\left( 0 \right) = 10$ nên $10 = \frac{1}{3}\left( {0 - \ln 5} \right) + C \Leftrightarrow C = 10 + \frac{{\ln 5}}{3}$
Vậy $F\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {x - \ln \left( {2{{\rm{e}}^x} + 3} \right)} \right) + 10 + \frac{{\ln 5}}{3}$
Cho $F(x) = \frac{a}{x}(\ln x + b)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{1 + \ln x}}{{{x^2}}}$ trong đó $a, b \in \mathbb{Z}$. Tính $S= a+ b$
Nguyên hàm từng phần
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {\frac{{1 + \ln x}}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\n1 + \ln x = u\\\n\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x = {\rm{d}}v\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\frac{1}{x}{\rm{d}}x = {\rm{d}}u\\ - \frac{1}{x} = v\n\end{array} \right.$
Khi đó:
$I = - \frac{1}{x}\left( {1 + \ln x} \right) + \int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{x}\left( {1 + \ln x} \right) - \frac{1}{x} + C = - \frac{1}{x}\left( {\ln x + 2} \right) + C \Rightarrow a = - 1;b = 2$
Vậy $S = a + b = 1$
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^{2x}}\left( {{3^x} - \frac{{\sqrt x }}{{{4^x}}}} \right)$
Rút gọn trước khi lấy nguyên hàm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f\left( x \right) = {2^{2x}}\left( {{3^x} - \frac{{\sqrt x }}{{{4^x}}}} \right) = {12^x} - \sqrt x $
Nên $F\left( x \right) = \int {\left( {{{12}^x} - \sqrt x } \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{{12}^x}}}{{\ln 12}} - \frac{{2x\sqrt x }}{3} + C$
Biết hàm số $y=f(x)$ có $f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - m + 1$, với $m$ là tham số và $f\left( 2 \right) = 1$ và đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-5$ . Hàm số $y=f(x)$ là
Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là ${f’\left( x \right)}$ thì $\int {f’\left( x \right) = f\left( x \right)} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} + 2x - m + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^3} + {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + C$
Theo đề bài ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( 2 \right) = 1\\ f\left( 0 \right) = - 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {1 - m} \right) + C + 12 = 1\\ C = - 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 4\\ C = - 5 \end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 3x - 5$