Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} - 9$ là:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {\left( {2{x^3} - 9} \right){\kern 1pt} } {\rm{d}}x = 2.\frac{{{x^4}}}{4} - 9x + C = \frac{{{x^4}}}{2} - 9x + C$
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x$ là
$\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left( {\int {3{x^2} + \sin x} } \right)dx = {x^3} - \cos x + C$
Nguyên hàm $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} $ bằng:
$\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = - \frac{1}{a}} \cos \left( {ax + b} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {\sin 2x{\rm{d2}}x} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C$
Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ bằng:
$\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} + C$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{{2x + 3}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$
Trong các mệnh đề sau. mệnh đề nào sau đây là sai?
Xét từng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề A sai. Vì $\int {\sin x{\rm{d}}x} = - \cos x + C$
Cho hàm số $f$, $g$ liên tục trên $K$ và $a, b, c$ thuộc $K$. Công thức nào sau đây là sai?
Lý thuyết SGK.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề A sai. Vì $\int\limits_a^b {f(x)dx = } - \int\limits_b^a {f(x)dx} $
Cho hàm số $f\left( x \right) = \cos 3x$. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
$\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {\cos 3x{\rm{d}}x} = \int {\cos 3x{\rm{d}}\left( {{\rm{3}}x} \right)} = \frac{1}{3}\sin 3x + C$
Cho hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
$\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}{\rm{d}}x} = - 2\int {{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}{\rm{d}}\left( { - \frac{x}{2}} \right)} = - 2{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}} + C$
Nếu $u\left( x \right)$ và $v\left( x \right)$ là hai hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
$\int\limits_a^b {\left( {u + v} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {u{\rm{d}}x} + \int\limits_a^b {v{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int\limits_a^b {\left( {u + v} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {u{\rm{d}}x} + \int\limits_a^b {v{\rm{d}}x} $ B đúng.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Nguyên hàm từng phần.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = {e^x}\\\ndv = \sin xdx\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\ndu = {e^x}dx\\\nv = - \cos x\n\end{array} \right.$
Ta có: $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = - {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $
Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^2}$ trên $\mathbb{R}$ là:
$\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx = \frac{1}{{a.\left( {\alpha + 1} \right)}}{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{\rm{d}}\left( {x - 3} \right)} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}{3} + C$
Chọn $C=2019$ ta được một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^2}$ là $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}{3} + 2019$
Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số $F\left( x \right) = \ln \left| x \right|$?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} $
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {5^x}$
$\int {{a^x}} \,{\rm{d}}x = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {{5^x}dx = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C} $
Để tính $\int {x\ln \left( {2 + x} \right){\rm{d}}x} $ theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt:
Thứ tự ưu tiên khi thực hiện tính nguyên hàm theo phương pháp nguyên hàm từng phần: Nhất Log, nhì đa ( đa thức), tam lượng ( lượng giác), tứ mũ (hàm số mũ).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo thứ tự ưu tiên, ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l}\nu = \ln \left( {2 + x} \right)\\\n{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\n\end{array} \right.$
Họ của nguyên hàm $\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}{\rm{d}}x} \,\left( {x > 0} \right)$ là:
Nguyên hàm từng phần.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}{\rm{d}}x} \, = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} \, + \int {\frac{{\ln x}}{x}{\rm{d}}x} \, = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} + \int {\ln x{\rm{d}}\left( {\ln x} \right)} = \ln x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5$ là:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)} dx = {x^3} + {x^2} + 5x + C$
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x - \sin 2x$ là:
$\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = - \frac{1}{a}} \cos \left( {ax + b} \right) + C$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {x - \sin 2x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$
Cho $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = F\left( x \right) + C} $. Khi đó $a \neq 0$, $a, b$ là hằng số ta có $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} $ bằng
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C$
Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f’\left( x \right) = x + \sin x$ và $f\left( 0 \right) = 1$. Tìm $f(x)$.
$\int {f’\left( x \right)} dx = f\left( x \right) + C$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int {f’\left( x \right)} dx = f\left( x \right) + C$
$\int {\left( {x + \sin x} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C} $
Ta có: $f\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2$
Vậy hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2$
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)$
$\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${e^x}\left( {1 + {e^{ - x}}} \right) = {e^x} + 1$
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{e^x} + 1} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + x + C$