Cho $f\left( x \right) = {5^x}$ thì $f\left( {x + 2} \right) - f\left( x \right)$ bằng.
Từ $f(x)$$ \Rightarrow f\left( {x + 2} \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\left( {x + 2} \right) - f\left( x \right) = {5^{x + 2}} - {5^x} = {24.5^x} = 24.f\left( x \right)$
Cho ${4^x} + {4^{ - x}} = 7$. Biểu thức $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}$ có giá trị bằng?
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$, ${a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${4^x} + {4^{ - x}} = 7 \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2^{ - 2x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} = 7$
$ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} - {2.2^x}{.2^{ - x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3$
Theo giả thuyết: $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{{5 + 3}}{{8 - 4.3}} = - 2$
Cho ${9^x} + {9^{ - x}} = 14;\,\frac{{6 + 3\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{2 - {3^{x + 1}} - {3^{1 - x}}}} = \frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $P = a.b$
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$, ${a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${9^x} + {9^{ - x}} = 14 \Leftrightarrow {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {3^x} + {3^{ - x}} = 4$
$ \Rightarrow \frac{{6 + 3\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{2 - {3^{x + 1}} - {3^{1 - x}}}} = \frac{{6 + 3\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{2 - 3.\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}} = \frac{{6 + 3.4}}{{2 - 3.4}} = - \frac{9}{5} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\na = - 9\\\nb = 5\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\na = 9\\\nb = - 5\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$
Vậy $P= a.b = - 45$
Cho $P = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}} $ và $Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3}} $, với $x, y$ là các số thực khác 0. So sánh $P$ và $Q$ ta có:
$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$, ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${x^2},\,{y^2},\,\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}},\,\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}$ là các số thực dương.
$Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3}} = 2\sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} $
$ = \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} > \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} > \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} = P$
Vậy $P < Q$
Kết quả biểu thức: $\sqrt {\frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} - 1}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} + 1}}} \quad (x > 0)$ là:
${a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab$, ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sqrt {\frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)}^2}} - 1}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)}^2}} + 1}}} = \sqrt {\frac{{\frac{{\sqrt {{2^{2x}} + {2^{ - 2x}} + 2} }}{2} - 1}}{{\frac{{\sqrt {{2^{2x}} + {2^{ - 2x}} + 2} }}{2} + 1}}} = \sqrt {\frac{{\sqrt {\frac{{{2^{4x}} + {{2.2}^{2x}} + 1}}{{{2^{2x}}}}} - 2}}{{\sqrt {\frac{{{2^{4x}} + {{2.2}^{2x}} + 1}}{{{2^{2x}}}}} + 2}}} $
$ = \sqrt {\frac{{\sqrt {{{\left( {{2^{2x}} + 1} \right)}^2}} - {{2.2}^x}}}{{\sqrt {{{\left( {{2^{2x}} + 1} \right)}^2}} + {{2.2}^x}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}}} = \frac{{{2^x} - 1}}{{{2^x} + 1}}$
Với $m$ là các sô thực tùy ý, xét các mệnh đề sau:
1). ${x^n} = \underbrace {x.x...x}_n\left( {n \in \mathbb R,\,\,n \ge 1} \right)$
2). ${\left( {2x - 1} \right)^0} = 1$
3). ${\left( {4x + 1} \right)^{ - 2}} = \frac{1}{{{{\left( {4x + 1} \right)}^2}}}$
4). ${\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\left( {5 - x} \right)^{\frac{1}{2}}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x - 1}} + \sqrt {5 - x} = 2$
Số mệnh đề đúng là:
Lý thuyết
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Mệnh đề 1 đúng.
+ Mệnh đề 2 sai. Vì thiếu điều kiện $x \neq \frac{1}{2}$
+ Mệnh đề 3 sai. Vì thiếu điều kiện $x \neq - \frac{1}{4}$
+ Mệnh đề 4 sai. Vì thiếu điều kiện của $\sqrt {5 - x} $, dẫn đến một số giá trị $x$ nằm ngoài TXĐ sẽ không thỏa mãn.
Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng.
Cho hàm số $f\left( a \right) = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{{{a^{ - 2}}}} - \sqrt[3]{a}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} - \sqrt[8]{{{a^{ - 1}}}}} \right)}}$ với $a>0$, $a \neq 1$. Tính giá trị $M = f\left( {{{2017}^{2018}}} \right)$
$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( a \right) = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {{a^{\frac{3}{8}}} - {a^{ - \frac{1}{8}}}} \right)}} = \frac{{1 - a}}{{{a^{\frac{1}{2}}} - 1}} = - 1 - {a^{\frac{1}{2}}}$
Do đó: $M = f\left( {{{2017}^{2018}}} \right) = - 1 - {\left( {{{2017}^{2018}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = - 1 - {2017^{1009}}$
Cho hàm số $f\left( a \right) = \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} - \sqrt[8]{{{a^{ - 1}}}}} \right)}}$ với $a \neq 1$, $a > 0$.Tính giá trị của $M = f\left( {{{2017}^{2016}}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( a \right) = \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} - \sqrt[8]{{{a^{ - 1}}}}} \right)}} = \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {{a^{\frac{3}{8}}} - {a^{ - \frac{1}{8}}}} \right)}} = \frac{{1 - a}}{{{a^{\frac{1}{2}}} - 1}} = - {a^{\frac{1}{2}}} - 1$
Nên: $M = f\left( {{{2017}^{2016}}} \right) = - {\left( {{{2017}^{2016}}} \right)^{\frac{1}{2}}} - 1 = - {2017^{1008}} - 1$
Tích $\left( {2017} \right)!{\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1}{\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2}...{\left( {1 + \frac{1}{{2017}}} \right)^{2017}}$ được viết dưới dạng ${a^b}$, khi đó $(a, b)$ là cặp nào dưới đây?
Dựa vào tính chất của biểu thức giả thuyết đã cho.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left( {2017} \right)!{\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1}{\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2}...{\left( {1 + \frac{1}{{2017}}} \right)^{2017}} = \left( {2017} \right)!{\left( {\frac{2}{1}} \right)^1}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}...{\left( {\frac{{2017}}{{2016}}} \right)^{2016}}{\left( {\frac{{2018}}{{2017}}} \right)^{2017}}$
$ = \left( {2017} \right)!\frac{1}{1}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}...\frac{1}{{2016}}.\frac{{{{2018}^{2017}}}}{{2017}} = {2018^{2017}}$. Vậy $a = 2018; b = 2017$
Cho ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} = 3$. Hãy tính giá trị của biểu thức: $A = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2x}} + {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^x}$
Dựa vào tính chất $\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1$ và $\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$
Theo đề ta có:
$A = {\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^{ - 1}}} \right]^{2x}} + {\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} \right]^x} = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{ - 2x}} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2x}} = {3^{ - 2}} + {3^2} = \frac{{82}}{9}$