Với $\alpha $ là số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây là sai?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {\left( {{{10}^2}} \right)^\alpha } = {10^{2\alpha }}$. Vậy đáp án D sai.
Cho $x>0, y>0$ và $K = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}}$ . Xác định mệnh đề đúng.
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$K = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{ - 2}} = x$
Với $a, b>0$ thì ta có biểu thức $A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} = {a^m}.{b^n}$ ($m, n$ là các số thực). Mệnh đề nào sau đây đúng?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} = = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}$.
Vậy $m = \frac{1}{3},\,n = \frac{1}{3}$. Khi đó $m=-n=0$
Cho biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$. Nếu $a=2$ thì $P$ bằng?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}$, với $a=2$$ \Rightarrow P = {2^5} = 32$
Tìm tập tất cả giá trị của $a$ để $\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}}$?
+ ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$ với $a>1$.
+ ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$ với $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sqrt[7]{{{a^2}}} = \sqrt[{21}]{{{a^6}}}$
$\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[{21}]{{{a^6}}}$. Mà $5<6$ nên $0 < a < 1$
Cho biểu thức $P = {\left\{ {{{\rm{a}}^{\frac{1}{3}}}{{\left[ {{a^{ - \frac{1}{2}}}{b^{ - \frac{1}{3}}}{{\left( {{a^2}{b^2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]}^{ - \frac{1}{2}}}} \right\}^6}$ với $a, b>0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$P = {\left\{ {{{\rm{a}}^{\frac{1}{3}}}{{\left[ {{a^{ - \frac{1}{2}}}{b^{ - \frac{1}{3}}}{{\left( {{a^2}{b^2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]}^{ - \frac{1}{2}}}} \right\}^6} = {a^2}{\left[ {{a^{ - \frac{1}{2}}}{b^{ - \frac{1}{3}}}{{\left( {{a^2}{b^2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]^{ - 3}} = {a^2}\left[ {{a^{\frac{3}{2}}}b{{\left( {{a^2}{b^2}} \right)}^{ - 2}}} \right]$
$P = {a^{\frac{7}{2}}}.b.{a^{ - 4}}.{b^{ - 4}} = {a^{ - \frac{1}{2}}}{b^{ - 3}} = \frac{1}{{\sqrt a {b^3}}}$$ = \frac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}}$
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
$\sqrt {{a^2}} = a$ với $a>0$
$\sqrt {{a^2}} = - a$ với $a<0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left( {4 - x} \right).\sqrt {\frac{x}{{x - 4}}} = - \sqrt {x\left( {x - 4} \right)} $ với $x>4$. Vậy mệnh đề sai là A.
Cho biểu thức $P = \frac{{b\sqrt[3]{{{a^4}}} + a\sqrt[3]{{{b^4}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ với $a, b>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$P = \frac{{b\sqrt[3]{{{a^4}}} + a\sqrt[3]{{{b^4}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{ab\sqrt[3]{a} + ab\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{ab\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = ab$
Cho các số thực dương thỏa $a > b > 1 > c$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$ với $a>1$.
${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$ với $a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $b > 1 \Rightarrow a > b > 1 > c \Leftrightarrow 0 < a - b < a - c \Leftrightarrow 1 < {b^{a - b}} < {b^{a - c}}$ nên ${b^{a - b}} < 1 < {b^{a - c}}$ sai.
Do $a > b > c \Rightarrow a - c > b - c > 0 \Leftrightarrow {b^{a - c}} > {b^{b - c}} > 1$ nên ${b^{b - c}} > {b^{a - c}} > 1$ sai.
Do $a > b > c \Rightarrow a - b > 0 > c - b \Rightarrow {b^{a - b}} > 1 > {b^{c - b}}$. Vậy C đúng.
Cho $x, y > 0$. Viết biểu thức ${x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }}$ về dạng ${x^m}$ và biểu thức ${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }}$ về dạng ${y^n}$. Tính $m - n$.
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${x^{\frac{4}{5}}}.{\left( {{x^5}.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{4}{5}}}.{x^{\frac{5}{6}}}.{x^{\frac{1}{{12}}}} = {x^{\frac{4}{5} + \frac{5}{6} + \frac{1}{{12}}}} \Rightarrow m = \frac{4}{5} + \frac{5}{6} + \frac{1}{{12}}$
${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = \frac{{{y^{\frac{4}{5}}}}}{{{{\left( {{y^5}.{y^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \frac{{{y^{\frac{4}{5}}}}}{{{y^{\frac{5}{6}}}.{y^{\frac{1}{{12}}}}}} = {y^{\frac{4}{5} - \frac{5}{6} - \frac{1}{{12}}}} \Rightarrow n = \frac{4}{5} - \frac{5}{6} - \frac{1}{{12}}$
Vậy $m - n = \frac{{11}}{6}$
Cho $a, b$ là các số dương. Biểu thức $\left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}$ sau khi rút gọn là:
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{1 - \sqrt {\frac{b}{a}} }}{{\sqrt a - \sqrt b }}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }}} \right)^2} = \frac{1}{a}$
Cho ${9^x} + {9^{ - x}} = 14$, biết biểu thức $\frac{{6 + 3\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{2 - {3^{x + 1}} - {3^{1 - x}}}} = \frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $P = a.b$
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${9^x} + {9^{ - x}} = 14 \Leftrightarrow {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {3^x} + {3^{ - x}} = 4$
$ \Rightarrow \frac{{6 + 3\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{2 - {3^{x + 1}} - {3^{1 - x}}}} = \frac{{6 + 3\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{2 - 3.\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}} = \frac{{6 + 3.4}}{{2 - 3.4}} = - \frac{9}{5} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\na = - 9\\\nb = 5\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\na = 9\\\nb = - 5\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$.
Vậy $P = a.b = - 45$.
Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa ${a^{2b}} = 5$. Tính $K = 2{{\rm{a}}^{6b}} - 4$
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$K = 2{a^{6b}} - 4 = 2{\left( {{a^{2b}}} \right)^3} - 4 = 250 - 4 = 246$
Cho $a, b$ là các số thực tỏa mãn điều kiện ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} \right)^a}$ và ${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$ với $a>1$
${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$ với $0 < a < 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} \right)^a} \Rightarrow a < 0$, ${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1.$
Cho $x, y$ là các số thực dương và $u , v$ là các số thực. Khẳng định nào sau đây không phải luôn đúng?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${x^u}.{x^v} = {x^{u + v}}$ nên khẳng định ${x^u}.{x^v} = {x^{u.v}}$ là sai.
Với $x, m, n$ là các số thực dương ta có $P = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt[4]{{{x^3}}}}}} = {x^{\frac{m}{n}}}$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $P = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt[4]{{{x^3}}}}}} = {\left[ {x{{\left( {{x^2}.{x^{\frac{3}{4}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right]^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{23}}{{24}}}}$.
Vậy $m = 23, n = 24$. Khi đó $m - n = -1$
Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}}$
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $A = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }}{{.3}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}} = {2^{3 + \sqrt 5 - 2 - \sqrt 5 }}{.3^{3 + \sqrt 5 - 1 - \sqrt 5 }} = {2.3^2} = 18$
Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^5}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 2}}}}}}$ với $a > 0$ ta được kết quả là $A = {a^{\frac{m}{n}}}$, trong đó $m,\,n \in {\mathbb N^*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^5}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 2}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{\frac{{ - 2}}{7}}}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{7}{3} - 4 + \frac{2}{7}}} = {a^{\frac{2}{7}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm = 2\\\nn = 7\n\end{array} \right. \Rightarrow 2{m^2} + n = 15$
Cho biểu thức $P = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt[k]{{{x^3}}}}}} $ $(x > 0)$. Xác định $k$ sao cho biểu thức $P = {x^{\frac{{23}}{{24}}}}$.
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $P = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt[k]{{{x^3}}}}}} = \sqrt {x\sqrt[3]{{{x^{2 + \frac{3}{k}}}}}} = \sqrt {{x^{1 + \frac{{2k + 3}}{k}}}} = {x^{\frac{{5k + 3}}{{6k}}}}$
Theo giả thuyết ta được : $\frac{{5k + 3}}{{6k}} = \frac{{23}}{{24}} \Leftrightarrow k = 4$
Cho biểu thức $P = \sqrt[5]{{{x^3}.\,\,\sqrt[3]{{{x^2}.\,\,\sqrt x }}}}$, với $x>0$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $P = \sqrt[5]{{{x^3}.\,\,\sqrt[3]{{{x^2}.\,\,\sqrt x }}}} = {\left[ {{x^3}.{{\left( {{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left[ {{x^3}.{x^{\frac{5}{6}}}} \right]^{\frac{1}{5}}} = {x^{\frac{{23}}{{30}}}}$