Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.
Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy)
Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có: AC $ \perp$ HM và AC $ \perp$ SH
=> AC $ \perp$ mp(SHM)
=> (SAC) $ \perp$(SHM) theo pháp tuyến SM
Trong mp(SHM) kẻ HI $ \perp$ SM => HI $ \perp$ (SHM)
Do đó d( H, (SAC)) = HI = 12 cm
Trong tam giác vuông SHM ta có:
$\frac{1}{HI^{2}}=\frac{1}{SH^{2}}+ \frac{1}{HM^{2}}$$=> \frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{HI^{2}}-\frac{1}{SH^{2}}$
$=> \frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{12^{2}}-\frac{1}{20^{2}}$$=\frac{1}{125}$
=> HM = 15 cm
Trong tam giác vuông HAM ta có:
$AM^{2}=HA^{2}- HM^{2}$=$=25^{2}- 15^{2}$=400
=> AM = 20 cm
Ta có:
$sin\widehat{HSM}=\frac{HM}{SM}=\frac{HI}{SH}$
$SM = \frac{SH .HM}{HI}=\frac{12.20}{15}=25$
Do đó, diện tích thiết diện SAC là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.SM= AM.SM$= 20 . 25 = 500 ($cm^{2}$)
Vậy đáp án đúng là 500$cm^{2}$
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O';r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = $r\sqrt{3}$ . Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O;r). Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó?
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
Gọi V là thể tích khối trụ ta có:
$V=\pi.r^{2}.h$
Gọi $V_{1}$ là thể tích khối nón ta có:
$V_{1}=\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h$
Gọi $V_{2}$ là thể tích phần còn lại ta có:
$V_{2}$= V - $V_{1}$= $\pi.r^{2}.h$ - $\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h$ = $\frac{2}{3}\pi.r^{2}.h$
=> $\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h}{\frac{2}{3}\pi.r^{2}.h}=\frac{1}{2}$
Vậy đáp án đúng là A.
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$. Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60o.Tính diện tích tam giác SBC?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi M là trung điểm của BC, ta có OM ⊥ BC và SM ⊥ BC
$=> SM =\frac{SO}{sin60^{0}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2}{\sqrt{3}}=a\frac{\sqrt{3}}{3}$
Tam giác vuông SMB ta có:
$MB^{2}=SB^{2}-SM^{2}=> MB=\frac{a\sqrt{6}}{3} $
Diện tích thiết diện:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.SM=MB.SM=a\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}$
Vậy $S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}$
Cho hình trụ có bán kính 5 cm và có chiều cao cũng bằng 5 cm . Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó?
Dựa vào định lí Pytago tính độ dài IB, từ đó suy ra độ dài đường chéo AC và BD của hình vuông.
Tính độ dài cạnh của hình vuông và diện tích hình vuông đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do tính chất đối xứng của (ABCD) nên (ABCD) cắt OO’ tại trung điểm I của OO’. I cũng là giao điểm của hai đường chéo AC, BD.
Xét tam giác vuông IOB ta có:
$IB^{2}=IO^{2}+OB^{2}$
=>$IB=\sqrt{(2,5)^{2}+5^{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$ (cm)
=>AC = DB = 2IB= $5\sqrt{5}$ (cm)
Do ABCD là hình vuông nên $AB = \frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{10}}{2}$ (cm)
=> $S_{ABCD}=AB^{2}=(\frac{5\sqrt{10}}{2})^{2}=62,5(cm^{2})$
Vậy $S_{ABCD}=62,5cm^{2}$
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy?
Gọi E là trung điểm của AB, chứng minh góc giữa (ABCD) và mặt đáy bằng góc IEO.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi E là trung điểm của AB.
OE $\perp$ AB và IE $\perp$ AB
=> $\widehat{IEO}$ là góc giữa (ABCD) và mặt đáy của hình trụ.
Xét tam giác vuông IOB ta có:
$IB^{2}=IO^{2}+OB^{2}$
=>$IB=\sqrt{(0,5.r)^{2}+r^{2}}=\frac{r\sqrt{5}}{2}$
=>AC = DB = 2IB= $r\sqrt{5}$
IE = $\frac{1}{2}AD=\frac{r\sqrt{10}}{4}$; OI = r2
Xét tam giác vuông IOE có:
$OE=\sqrt{IE^{2}-OI^{2}}=\sqrt{(\frac{r\sqrt{10}}{4})^{2}-(\frac{r}{2})^{2}}=\frac{r\sqrt{6}}{4}$
$cos\widehat{IEO}=\frac{OE}{IE}=\frac{\frac{r\sqrt{6}}{4}}{\frac{r\sqrt{10}}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$
Vậy đáp án D đúng.
Cho một hình cầu bán kính 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường kính 4 cm. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã cho. ( kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)?
Gọi thiết diện là đường tròn tâm A, đường kính d= 4 cm=> bán kính r = 2 cm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi thiết diện là đường tròn tâm A, đường kính d= 4 cm=> bán kính r = 2 cm. Gọi MN là một đường kính của đường tròn (A).
Gọi O là tâm của mặt cầu đã cho.
Hình nón có đáy là thiết diện là hình tròn tâm A và đỉnh là O có:
Bán kính đường tròn đáy là: r = 2.
Đường sinh là OM = 5 ( = bán kính của hình cầu đã cho)
Chiều cao:
$OA=\sqrt{MO^{2}-MA^{2}}=\sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{21}$ (cm)
Diện tích đường tròn đáy là: S = πr2 = 4π ($cm^{2}$)
Thể tích khối nón cần tính là:
$V=\frac{1}{3}S_{đáy}.h=\frac{1}{3}4\pi.\sqrt{21}=19,2$($cm^{3}$)
Vậy đáp án đúng là C.
Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, AB = a$\sqrt{7}$ ; BC = 4a. Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do tam giác ABC là tam giác cân tại A có AH là đường trung tuyến nên AH ⊥ BC
Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta được hình nón có:
+ Đường sinh l = AB = a$\sqrt{7}$
+ Bán kính đáy r = BC2 = 2a
Suy ra đường cao của hình nón là:
$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{7a^{2}-4a^{2}}=\sqrt{3}a$
+ Thể tích của hình nón tạo thành là:
$V=\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.(2a)^{2}\sqrt{3}a=\frac{4\sqrt{3}\pi.a^{3}}{3}$
Vậy đáp án đúng là A.
Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O’). Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng 450 và khoảng cách đến trục OO’ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a?
Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’.
Ta có: d(AB,OO') = ED = IO' = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’.
Ta có: d(AB,OO') = ED = IO' = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Tam giác ABC vuông tại C có B = 450
=>tam giác ABC vuông cân
+> BC = AC = h
Ta có:
$(CO^{’})^{2}=CI^{2}+(IO^{’})^{2}\n=>a^{2}=(\frac{h}{2})^{2}+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}\n=>h=a\sqrt{2}$
Thể tích khối trụ là: V = πa2.a $\sqrt{2}$ = πa3$\sqrt{2}$
Vậy đáp án đúng là B.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và góc 
= 300 . Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ.
Hình trụ tạo thành có:
+ Bán kính đường tròn đáy là r = AB = a
+ Đường cao của hình trụ là:
h = BC = CD.tan300 = $a.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$
Suy ra, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:
$S_{xq}=2\pi.r.h=2\pi.a.\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}\pi.a^{2}}{3}$
Vậy đáp án đúng là C.
Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).
+ ∆SAB vuông cân tại S
=> S0 = OA = OB = $\frac{SA\sqrt{2}}{2}$= $\frac{3\sqrt{2}}{2}$(cm)
+ Kẻ OP ⊥ AC
Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC
Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP
=> ∠(SPO) = 60º
Xét ∆SPO vuông tại O có:
$SP=\frac{SO}{sin\widehat{SPO}}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{sin60^{0}}=\sqrt{6}$ (cm)
$OP=SO.cot\widehat{SPO}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.cot60^{0}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ (cm)
Ta có:
$AC=2AP=2\sqrt{OA^{2}-OP^{2}}=2\sqrt{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}}=2\sqrt{3}$ (cm)
$S_{ABC}=\frac{1}{2}.SP.AC=\frac{1}{2}\sqrt{6}.2\sqrt{3}=3\sqrt{2}$ ($cm^{2}$)
Vậy đáp án đúng là D.