Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho?
$S_{xq}= \pi.r.l$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:
$l = {\sqrt{h^{2}+ r^{2}}}=\sqrt{20^{2}+25^{2}}=\sqrt{1025}$
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:
$ S_{xq}= \pi.r.l=\pi.25.\sqrt{1025}\approx800,39$ ($cm^{2}$)
Vậy đáp án đúng là 800,89 $cm^{2}$.
Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 25cm, bán kính đáy r = 30cm. Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thể tích khối nón là:
$V= \frac{1}{3}.\pi.r^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi.30^{2}.25\approx23561,94$ ($cm^{3}$)
Vậy đáp án đúng là 23561,94 $cm^{3}$
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10 cm. Biết rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định góc ở đỉnh của mặt nón đó?
Dựa vào định nghĩa hình nón:
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và Δ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β với 0 < β < $90^{0}$.
Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kẻ BH ⊥ d ta có BH = 10cm
$\alpha=\widehat{ABH}$
$sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}$
$=>\alpha=30^{0}$= const
Đường thẳng d cắt AB tại điểm A và tạo thành góc $30^{0}$ nên đường thẳng d luôn thuộc mặt nón nhận đường thẳng AB làm trục và có góc ở đỉnh bằng 2α = 2 . $30^{0}$ = $60^{0}$.
Vậy đáp án đúng là $60^{0}$.
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên?
– Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục ta được thiết diện là một hình chữ nhật với một kích thước của hình chữ nhật bằng chiều cao hình trụ.
– Sử dụng định lí Pytago để đính cạnh còn lại của hình chữ nhật sau đó tính diện tích hình chữ nhật đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằng chiều cao của hình trụ bằng 7 cm. Giả sử thiết diện là ABCD.
Ta có AD = 7 cm, OI = 3 cm.
Do tam giác OAI vuông tại A nên
$AI^{2}=OA^{2}-OI^{2}=25-9=16$
Vậy AI = 4 cm, AB = 8 cm.
Diện tích của thiết diện là:
$S = AB.AA_{1}=8.7=56 (cm^{2})$
Vậy $S = 56 cm^{2}$.
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó?
Tính độ dài đường cao của hình nón, sử dụng công thức $h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tam giác đều SAB cạnh a là thiết diện qua trục của hình nón.
Khi đó hình nón có bán kính R = a2, đường sinh l = a, chiều cao $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón là:
$S_{xq}=\pi.r.l=\pi.\frac{a}{2}.a=\pi.\frac{a^{2}}{2}$
$V=\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.(\frac{a}{2})^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\pi.\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{24}$
Vậy đáp án B đúng.
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao $h=r\sqrt{2}$. Tính diện tích diện tích toàn phần của hình trụ?
$S_{tp}=2\pi.rh +\pi.r^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Diện tích diện tích toàn phần của hình trụ là:
$S_{tp}=2\pi.rh +\pi.r^{2}$$= 2\pi.r.r\sqrt{2}+\pi.r^{2}=2\pi.(\sqrt{2}+1).r^{2}$
Vậy $S_{tp}=2\pi.(\sqrt{2}+1).r^{2}$
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao $h=r\sqrt{3}$. Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng $30^{0}$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vẽ đường sinh AA'(AA’ // OO’), ta có: $\widehat{BAA^{}}=30^{0}$
(Góc hợp bởi AB và trục của hình trụ) và OO’ // mp(AA’B).
Gọi M là trung điểm của A’B.
Ta có: O’M ⊥ A’B và O’M ⊥ AA’
⇒ O’M ⊥ mp(AA’B)
⇒ O’M = d(O’, mp(AA’B)) = d
(OO’, mp(AA’B)) = d(OO’, AB)
Tam giác AA’B là tam giác vuông ở A’ và có AA′ = $h=r\sqrt{3}$ ; $\widehat{BAA^{}}=30^{0}$
A′B = AA′. tan $\widehat{BAA^{}}$ = $r\sqrt{3}.tan30^{0}$=r
Tam giác OA’B là tam giác đều cạnh bằng r (Vì OA’ = OB = A’B = r)
Vậy O′M = $\frac{r\sqrt{3}}{2}$
=>d(AB,OO′) = $\frac{r\sqrt{3}}{2}$
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Biết rằng đường thẳng d luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định góc ở đỉnh mặt nón đó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại H.
Ta có BH = 10cm = d(B,d)
Đặt $\alpha=\widehat{BAH}$
Khi đó:
$\nsin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\n=>\alpha=30^{0}$
Vậy góc ở đỉnh là 2α = 60o
Một hình trụ có bán kính đáy r = 7cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 9cm.Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên?
Do khoảng cách hai đáy là nên chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) là h = l = 9.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do khoảng cách hai đáy là nên chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) là h = l = 9.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Sxq = 2π.r.l = 2π.7.9 = 126π ($cm^{2}$).
Thể tích của khối trụ được tạo nên là:
V = πr2.h = π.72.9 = 441π ( $cm^{3}$)
Vậy Sxq = 126π $cm^{2}$; V = 441π $cm^{3}$
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O';r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = $r\sqrt{3}$ . Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O;r). Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$?
Hình trụ và hình nón có chiều cao h = $r\sqrt{3}$ và bán kính r.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình trụ và hình nón có chiều cao h = $r\sqrt{3}$ và bán kính r
Hình nón có đường sinh là:
$l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{3r^{2}+r^{2}}=2r$
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{1}=2\pi.r.h=2\pi.r.r\sqrt{3}=2\pi.r^{2}\sqrt{3}$
Diện tích xung quanh hình nón là:
$S_{2}=\pi.r.l=2\pi.r^{2}$
=> $\frac{S_{1}}{S_{2}}$= $\sqrt{3}$
Vậy đáp án C đúng.