Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto $\vec{a}$=(1; 2; 1), $\vec{b}$=(3;-1;2), $\vec{c}$=(4; -1; -3). Tính góc ( $\vec{a}$+ $\vec{b}$,3$\vec{a}$- 2$\vec{c}$)?
cos ( $\vec{a}$+ $\vec{b}$,3$\vec{a}$- 2$\vec{c}$)= $\frac{(\vec{a}+\vec{b}).(3\vec{a}-2\vec{c})}{\mid\vec{a}+\vec{b}\mid.\mid3\vec{a}-2\vec{c}\mid}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{a}$+ $\vec{b}$= (4; 1; 3); 3$\vec{a}$- 2$\vec{c}$= (-5; 8; 9)
=> cos ( $\vec{a}$+ $\vec{b}$,3$\vec{a}$- 2$\vec{c}$)= $\frac{(\vec{a}+\vec{b}).(3\vec{a}-2\vec{c})}{\mid\vec{a}+\vec{b}\mid.\mid3\vec{a}-2\vec{c}\mid}$= $\frac{4.(-5)+1.8+3.9}{\sqrt{4^{2}+1^{2}+3^{2}}.\sqrt{(-5)^{2}+8^{2}+9^{2}}}$=$\frac{15}{\sqrt{26}.\sqrt{170}}$
=> ( $\vec{a}$+ $\vec{b}$,3$\vec{a}$- 2$\vec{c}$)$\approx77^{0}$
Vậy đáp án D đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto $\vec{a}$(3; -1; 2); $\vec{b}$(3; -3; -5); $\vec{u}$(1; m; 2),m ∈ R. Tìm m để $\vec{u}$ ⊥($\vec{a}$+ $\vec{b}$)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{a}$+ $\vec{b}$= (6; -4; -3); $\vec{u}$(1; m; 2)
Để $\vec{u}$ ⊥($\vec{a}$+ $\vec{b}$) thì:
$\vec{u}$ . ($\vec{a}$+ $\vec{b}$) = 0
=> 6 - 4m - 6 = 0
=> m = 0
Vậy m = 0.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3;1);B(2;5;1) và vectơ $\vec{OC}$ = -3$\vec{i}$+2$\vec{j}$+5 $\vec{k}$. Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE?
Tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.
=> $\vec{OA}$ = 2 $\vec{EB}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{OA}$(1, -3, 1); $\vec{OB}$(2, 5, 1)
=> $\frac{1}{2}$ # $\frac{-3}{5}$
=> $\vec{OA}$; $\vec{OB}$ không cùng phương hay O, A, B không thẳng hàng.
Gọi E (x; y; z) => $\vec{EB}$ =(2 - x; 5-y; 1- z)
Theo đề bài, tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.
=> $\vec{OA}$ = 2 $\vec{EB}$
=> 1 = 4 - 2x; -3 = 10 - 2y; 1 = 2 - 2z
=> x = $\frac{3}{2}$; y = $\frac{13}{2}$; z = $\frac{1}{2}$
Vậy E($\frac{3}{2}$, $\frac{13}{2}$, $\frac{1}{2}$)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3;1);B(2;5;1) và vectơ $\vec{OC}$ = -3$\vec{i}$+2$\vec{j}$+5 $\vec{k}$.Tìm tọa độ điểm I sao cho 3$\vec{AB}$ +2$\vec{AI}$ = 3 $\vec{CI}$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi I (x; y; z). Ta có:
$\vec{AB}$ = (1; 8; 0) => 3$\vec{AB}$ = (3; 24; 0)
$\vec{AI}$=(x - 1; y + 3; z - 1) => 2$\vec{AI}$ = (2x - 2; 2y + 6; 2z - 2)
$\vec{CI}$ = (x + 3; y - 2; z - 5) => 3 $\vec{CI}$ = (3x + 9;3y - 6;3z - 15)
3$\vec{AB}$ +2$\vec{AI}$ = 3 $\vec{CI}$
=> 3 + 2x - 2 = 3x + 9; 24 + 2y + 6 = 3y - 6; 0 + 2z - 2 = 3z - 15
=> x = -8; y = 36; z = 13
Vậy I(-8; 36; 13).
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{a}$ =-3$\vec{i}$+ 5$\vec{j}$ + 2$\vec{k}$ ; $\vec{b}$ =(3; 2; -1); $\vec{c}$ =3$\vec{j}$ - 2$\vec{k}$ ; $\vec{d}$ =(5; -3; 2). Phân tích vectơ $\vec{d}$ theo 3 vectơ $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ; $\vec{c}$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử: $\vec{d}$= m$\vec{a}$ + n$\vec{b}$+ p$\vec{c}$
=> 5 = -3m + 3n; -3 = 5m + 2n + 3p; 2 = 2m - n - 2p
=> m = $\frac{-1}{10}$; n = $\frac{8}{5}$; p = $\frac{-19}{10}$
=> $\vec{d}$=$\frac{-1}{10}$ $\vec{a}$ + $\frac{8}{5}$$\vec{b}$ +$\frac{-19}{10}$ $\vec{c}$
Vậy đáp án D đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{n}$=(1; 2; 1); $\vec{m}$=(1; m; 2), m ∈ R. Tìm m để ($\vec{m}$, $\vec{n}$)=600
($\vec{m}$, $\vec{n}$)=600 => $\cos(\vec{m},\vec{n})=\frac{1}{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
($\vec{m}$, $\vec{n}$)=600
=> $\cos(\vec{m},\vec{n})=\frac{1}{2}$
=> $\frac{1 + 2m + 2}{\sqrt{6}.\sqrt{m^{2}+5}}=\frac{1}{2}$
=> $\sqrt{6m^{2}+30}=4m + 6$
=> $6m^{2}+30=(4m + 6)^{2}$ (4m + 6 $\geq$ 0)
=> $10m^{2}+48m + 6 = 0$
=> m = $\frac{-12+\sqrt{129}}{5}$
Vậy đáp án B đúng.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}$,$\vec{b}$ sao cho ($\vec{a}$,$\vec{b}$ )=1200 và |$\vec{a}$|=2; |$\vec{b}$|=3. Tính |$\vec{a}$+ $\vec{b}$|?
Áp dụng công thức: $\vec{a}$ . $\vec{b}$= |$\vec{a}$|. |$\vec{b}$|. cos($\vec{a}$, $\vec{b}$)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng công thức:
$\vec{a}$ . $\vec{b}$= |$\vec{a}$|. |$\vec{b}$|. cos($\vec{a}$, $\vec{b}$)
Ta có:
$( \mid\vec{a}+\vec{b}\mid)^{2}=(\vec{a}+\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}+2\vec{a}.\vec{b}+\vec{b}^{2}$
$=\mid\vec{a}\mid^{2}+2\mid\vec{a}\mid.\mid\vec{b}\mid.cos(\vec{a},\vec{b})+\mid\vec{b}\mid^{2}$
=4 + 9 + 2. 2. 3.($\frac{-1}{2}$) = 7
=> |$\vec{a}$+ $\vec{b}$| = $\sqrt{7}$
Vậy đáp án A đúng.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}$,$\vec{b}$ sao cho ($\vec{a}$,$\vec{b}$ )=1200 và |$\vec{a}$|=2; |$\vec{b}$|=3. Tính |$\vec{a}$-2 $\vec{b}$|?
Áp dụng công thức: $\vec{a}$ . $\vec{b}$= |$\vec{a}$|. |$\vec{b}$|. cos($\vec{a}$, $\vec{b}$)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng công thức:
$\vec{a}$ . $\vec{b}$= |$\vec{a}$|. |$\vec{b}$|. cos($\vec{a}$, $\vec{b}$)
Ta có:
$( \mid\vec{a}-2\vec{b}\mid)^{2}$
$=\mid\vec{a}\mid^{2}-4\mid\vec{a}\mid.\mid\vec{b}\mid.cos(\vec{a},\vec{b})+4\mid\vec{b}\mid^{2}$
=4 + 36 - 4 . 2. 3.($\frac{-1}{2}$) = 52
=> |$\vec{a}$- 2 $\vec{b}$| = $2\sqrt{13}$
Vậy đáp án D đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{a}$=(1; 2; 1), $\vec{b}$ =(3; -1; 2), $\vec{c}$=(4; -1; -3). So sánh $\vec{a}$. ($\vec{b}$.$\vec{c}$) và ($\vec{a}$. $\vec{b}$).$\vec{c}$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{b}$.$\vec{c}$= 3.4 + (-1).(-1) + 2.(-3) = 7
=> $\vec{a}$. ($\vec{b}$.$\vec{c}$)= (7; 14; 7)
$\vec{a}$. $\vec{b}$= 3
=> ($\vec{a}$. $\vec{b}$).$\vec{c}$=(12; -3; -9)
=> $\vec{a}$. ($\vec{b}$.$\vec{c}$) # ($\vec{a}$. $\vec{b}$).$\vec{c}$
Vậy đáp án B đúng.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M(1; 1; 1), N(2; 3; 4), P(7; 7; 5). Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q?
MNPQ là hình bình hành => $\vec{MN}$ = $\vec{QP}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi điểm Q(x;y;z)
Ta có:
$\vec{MN}$ =(1; 2; 3); $\vec{QP}$=(7 − x; 7 − y; 5 − z)
Vì MNPQ là hình bình hành nên $\vec{MN}$ = $\vec{QP}$
=> 1 = 7 - x; 2 = 7 - y; 3 = 5 - z
=> x = 6; y = 5; z = 2
Vậy Q(6; 5; 2).