Tìm tâm của mặt cầu có phương trình sau đây: $x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x-2y+1=0$?
Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) vá bán kính R có phương trình $(x-a)^{2}+(x-b)^{2}+(x-c)^{2}=R^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x-2y+1=0$
=> $(x^{2}-8x +16)+(y^{2}-2y+1)+z^{2}-16=0$
=>$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-0)^{2}=16$
Vậy mặt cầu có tâm O(4; 1; 0).
Tìm tâm của mặt cầu có phương trình sau đây: $3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}-6x+12y+24z-30=0$?
Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) vá bán kính R có phương trình $(x-a)^{2}+(x-b)^{2}+(x-c)^{2}=R^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}-6x+12y+24z-30=0$
=> $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+8z-10=0$
=>$(x^{2}-2x +1)+(y^{2}+4y+4)+(z^{2}+8z+16)-31=0$
=> $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+4)^{2}=31$
Vậy mặt cầu có bán kính R = $\sqrt{31}$
Lập phương trình mặt cầu trong trường hợp sau đây: Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)?
Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu có đường kính AB, có tâm I và bán kính r = $\frac{1}{2}$AB
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu có đường kính AB, có tâm I và bán kính r = $\frac{1}{2}$AB
Ta có: I(3; -1; 5)
Mặt khác: R = $\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{4+16+16}=3$
Vậy phương trình mặt cầu là:
$(x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-5)^{2}=9$
Vậy đáp án B đúng.
Lập phương trình mặt cầu trong trường hợp sau đây: Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm I(3; -3; 1)?
Mặt cầu cần tìm có tâm I(3; -3; 1) và có bán kính r = IA
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mặt cầu cần tìm có tâm I(3; -3; 1) và có bán kính r = IA = $\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}$
Do đó phương trình mặt cầu có dạng:
$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}+(z-1)^{2}=5$
Vậy đáp án A đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3;1);B(2;5;1) và vectơ $\vec{OC}$ = -3$\vec{i}$+2$\vec{j}$+5 $\vec{k}$. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành?
ABCD là hình bình hành <=> $\vec{AD}$ = $\vec{BC}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{BC}$ = (-5, -3, 4); $\vec{AC}$ = (-4, 5, 4)
=> $\frac{-5}{4}$ # $\frac{-3}{5}$
$\vec{BC}$, $\vec{AC}$ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng
Gọi D (x; y; z) => $\vec{AD}$=(x - 1; y + 3; z - 1)
ABCD là hình bình hành <=> $\vec{AD}$ = $\vec{BC}$
=> x - 1= -5; y + 3 = -3; z - 1 = 4
=> x = -4; y = -6; z = 5
Vậy D(-4, -6, 5)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{a}$ =(1;2;1), $\vec{b}$=(3;-1;2). Tính góc ($\vec{a}$, $\vec{b}$) ?
cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\mid.\vec{b}\mid}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\mid.\vec{b}\mid}$ = $\frac{1.3+2.(-1)+1.2}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}.\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}$=$\frac{3}{2\sqrt{21}}$
($\vec{a}$, $\vec{b}$) $\approx71^{0}$
Vậy đáp án D đúng.
Trong không gian hệ trục Oxyz, cho các điểm A (1; 2; 3), B(2; 1; 1), C (0; 2; 4). 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đúng hay sai?
Xét xem $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ có cùng phương hay không.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{AB}$=(1; -1; -2), $\vec{AC}$=(-1; 0; 1)
$\frac{1}{-1}$ # $\frac{-2}{1}$
=> $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ không cùng phương
=> 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
Vậy đáp án là Đúng.
Trong không gian hệ trục Oxyz, cho các điểm A (1; 2; 3), B(2; 1; 1), C (0; 2; 4). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oyz sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng?
A, B, M thẳng hàng => $\vec{AM}$ , $\vec{AB}$ cùng phương
Hướng dẫn giải (chi tiết)
M∈(Oyz) => M(0; y; z)
$\vec{AM}$ =(-1; y - 2; z - 3), $\vec{AB}$=(1; -1; -2)
A, B, M thẳng hàng => $\vec{AM}$ , $\vec{AB}$ cùng phương
=> $\frac{1}{-1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-2}$
=> x = 0; y = 3; z = 5
Vậy M (0; 3; 5).
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{a}$=(3; 2; 5), $\vec{b}$ =(3m+2; 3; 6-n). Tìm m, n để $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng phương,
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{a}$=(3; 2; 5), $\vec{b}$ =(3m+2; 3; 6-n)
Để $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng phương thì:
$\frac{3m+2}{3}=\frac{3}{2}=\frac{6-n}{5}$
=> $m=\frac{5}{6}$; $n=\frac{-3}{2}$
Vậy đáp án C đúng.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5), B(5; -5; 7), C(11; -1; 6), D(5; 7; 2) . Tứ giác ABCD là hình gì?
Tính $\vec{AB}$; $\vec{DC}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{AB}$=(3; -4; 2)
$\vec{DC}$=(6; -8; 4)
=> $\vec{DC}$=2$\vec{AB}$ hay DC // AB
=> Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB và CD