Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD=2BC, AB=BC=a\sqrt3.$ Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $SC$. Tính khoảng cách $d$ từ điểm $E$ đến mặt phẳng $(SAD).$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{E C \cap(S A D)=S \Rightarrow \dfrac{d(E ;(S A D))}{d(C ;(S A D))}=\dfrac{E S}{C S}=\dfrac{1}{2}} \\ {\Rightarrow d(E ;(S A D))=\dfrac{1}{2} d(C ;(S A D))}\end{array}$
Gọi $M$ là trung điểm $AM$, suy ra $ABCM$ là hình vuông $\Rightarrow C M \perp A D$
Do $\left\{\begin{array}{l}{C M \perp A D} \\ {C M \perp S A}\end{array} \Rightarrow C M \perp(S A D) \Rightarrow d(C ;(S A D))=C M=A B=a \sqrt{3}\right.$
Vậy $d(E ;(S A D))=\dfrac{1}{2} C M=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$
Đáp án: C.
Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $ABC$ là tam giác cân ở $C$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SB$. Biết $H K \perp(A B C)$, khẳng định nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $H K \perp(A B C) \Rightarrow H K \perp C H$ hay A đúng.
Do $\Delta A B C$ cân tại $C$ nên $C H \perp A B$
Mà $H K \perp(A B C) \Rightarrow S A \perp(A B C) \Rightarrow S A \perp C H$
Do đó $C H \perp(S A B) \Rightarrow C H \perp A K$ hay C đúng.
Ngoài ra $H K \perp A B$, mà $A B \perp C H \Rightarrow A B \perp(C H K)$ hay B đúng.
D sai vì $BC$ không vuông góc với $AC$ nên không có $B C \perp(S A C)$
Đáp án: D
Cho hình chóp $S.A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $S A \perp(A B C D)$. Gọi $A E ; A F$ lần lượt là các đường cao của tam giác $S A B$ và tam giác $S A D$. Gọi $M$ là giao điểm của $S C$ với $(A E F)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{A B \perp B C^{}} \\ {S A \perp B C}\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B) \Rightarrow B C \perp A E\right.$
Vậy$\left\{\begin{array}{l}{A E \perp S B} \\ {A E \perp B C}\end{array} \Rightarrow A E \perp S C(1) \text { suy ra } A E \perp(S B C)\right.$
Tương tự: $A F \perp S C$ (2)
Từ (1) ; (2) $\Rightarrow S C \perp(A E F)$
Mà $A M \subset(A E F)$ nên $A M \perp S C$
Do đó các đáp án A, B, D đều đúng.
Đáp án C sai vì $A F \perp(S C D)$
Đáp án: C
Cho tứ diện $A B C D$ có $A B, B C, C D$ đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào dưới đây cách đều bốn đỉnh A,B,C,D của tứ diện?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{A B \perp B C} \\ {A B \perp C D}\end{array} \Rightarrow A B \perp(B C D) \Rightarrow\right.$ tam giác ABD vuông tại B
Suy ra $I A=I B=I D=\dfrac{A D}{2}$, với I là trung điểm AD (1)
Lại có $\left\{\begin{array}{l}{A B \perp C D} \\ {B C \perp C D}\end{array} \Rightarrow C D \perp(A B C) \Rightarrow\right.$tam giác ACD vuông tại C
Suy ra $E A=E C=E D=\dfrac{A D}{2}$, với E là trung điểm AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra $I \equiv E$ nên trung điểm cạnh AD cách đều A,B,C,D
Đáp án: C
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân suy ra $C H \perp A B$
Ta có $S A \perp(A B C) \Rightarrow S A \perp C H$ mà $C H \perp A B$ suy ra $C H \perp(S A B)$
Mặt khác $A K \subset(S A B) \Rightarrow C H$ vuông góc với các đường thẳng $S A, S B, A K$
Và $A K \perp S B$ chỉ sảy ra khi và chỉ khi tam giác $S A B$ cân tại S.
Đáp án D
Cho hình hộp chữ nhật $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có $A B=4, A D=3$. Mặt phẳng $\left(A C D^{\prime}\right)$ tạo với mặt đáy một góc $60^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi O là hình chiếu của D lên AC
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{\left(A C D^{\prime}\right) \cap(A B C D)=A C} \\ {A C \perp D O} \\ {A C \perp D^{\prime} O\left(A C \perp\left(O D D^{\prime}\right) \supset O D^{\prime}\right)}\end{array}\right.$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow\left(\left(D^{\prime} A C \widehat{,(A} B C D\right)\right)=\widehat{D^{\prime} O D}=60^{\circ}} \\ {A C=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 ; D O=\dfrac{A D \cdot D C}{A C}=\dfrac{12}{5}}\end{array}$
Khoảng cách giữa hai mặt đáy là $D D^{\prime}=D O \cdot \tan 60^{0}=\dfrac{12 \sqrt{3}}{5}$
Đáp án: B
Cho hình lập phương $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ \left(A C D^{\prime}\right)$ và $\left(B A^{\prime} C^{\prime}\right)$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $G, G^{\prime}$ là trọng tâm các tam giác $A C D^{\prime}, B A^{\prime} C^{\prime}$
Khi đó $D G \perp\left(A C D^{\prime}\right), B^{\prime} G^{\prime} \perp\left(B A^{\prime} C^{\prime}\right)$ vì các hình chóp $D . A C D^{\prime} \text { và } B^{\prime} . B A^{\prime} C^{\prime}$ là hình chóp đều
Ta có: $A C \perp\left(B D D^{\prime} B^{\prime}\right) \Rightarrow A C \perp D B^{\prime}$
Lại có $C D^{\prime} \perp\left(A D C^{\prime} B^{\prime}\right) \Rightarrow C D^{\prime} \perp D B^{\prime}$
Do đó $D B^{\prime} \perp\left(A C D^{\prime}\right)$
Tương tự $D B^{\prime} \perp\left(B A^{\prime} C^{\prime}\right)$ nên $\left(A C D^{\prime}\right) / /\left(B A^{\prime} C^{\prime}\right) \text { và } G, G^{\prime} \in D B^{\prime}$
Do đó $G G^{\prime}$ vuông góc cả hai mặt phẳng $\left(A C D^{\prime}\right),\left(B A^{\prime} C^{\prime}\right)$
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là $G G^{\prime}$
Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $A B, B C, A^{\prime} B^{\prime}$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(M N P) \text { và }\left(A C C^{\prime}\right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $M M / / A C, M P / / A^{\prime} A \Rightarrow(M N P) / /\left(A C C^{\prime}\right)$
$\Rightarrow d\left((M N P) ;\left(A C C^{\prime}\right)\right)=d\left(P ;\left(A C C^{\prime}\right)\right)=\dfrac{1}{2} d\left(B^{\prime},\left(A C C^{\prime}\right)\right)$
Lại có $B^{\prime} O^{\prime} \perp A^{\prime} C^{\prime}, B^{\prime} O^{\prime} \perp C C^{\prime} \Rightarrow B^{\prime} O^{\prime} \perp\left(A C C^{\prime}\right) \Rightarrow d\left(B^{\prime},\left(A C C^{\prime}\right)\right)=B^{\prime} O^{\prime}=\dfrac{1}{2} B^{\prime} D^{\prime}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Đáp án: D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi là trung điểm của AD nên suy ra $S I \perp A D \Rightarrow S I \perp(A B C D) \text { và } S I=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$
Kẻ $A x \| B D$. Do đó $d(B D ; S A)=d(B D ;(S A x))=d(D ;(S A x))=2 d(I ;(S A x))$
(vì $D I \cap(S A x)=A \text { và } I A=\dfrac{1}{2} D A$)
Kẻ $I E \perp A x$, kẻ $I K \perp S E(1)$ta có :
$\left\{\begin{array}{l}{A x \perp S I} \\ {A x \perp I E}\end{array} \Rightarrow A x \perp(S I E) \Rightarrow A x \perp I K(2)\right.$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow I K \perp(S A x)$. Khi đó $d(I ;(S A x))=I K$
Gọi F là hình chiếu của I trên BD dễ dàng chứng minh được :
$\Delta I A E=\Delta I D F(c h-g n) \Rightarrow I E=I F=\dfrac{A O}{2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}$
Tam giác vuông SIE, có $I K=\dfrac{S I . I E}{\sqrt{S I^{2}+I E^{2}}}=\dfrac{a \sqrt{21}}{14}$
Vậy $d(B D ; S A)=2 I K=\dfrac{a \sqrt{21}}{7}$
Đáp án: C
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B, A D=a, A B=2 a,$
$B C=3 a, S A=2 a, H$ là trung điểm cạnh $AB,SH$ là đường cao của hình chóp $S.ABCD$. Tính khoàng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD).$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $S H=a \sqrt{3} ; H C=a \sqrt{10} ; H D=a \sqrt{2} ; D C=a \sqrt{8} \Rightarrow H C^{2}=H D^{2}+D C^{2}$
Vậy tam giác $HDC$ vuông tại $D$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.
Ta có: $\displaystyle \frac{d(A ;(S C D))}{d(H ;(S C D))}=\frac{O A}{O H}=\frac{A D}{H M}=\frac{2 A D}{A D+B C}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow d(A ;(S C D))=\dfrac{1}{2} \cdot d(H ;(S C D))=\dfrac{1}{2} \cdot H K$
Trong đó $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SD$. Ta có:
$\begin{array}{l}{\dfrac{1}{H K^{2}}=\dfrac{1}{H D^{2}}+\dfrac{1}{H S^{2}}=\dfrac{1}{2 a^{2}}+\dfrac{1}{3 a^{2}}=\dfrac{5}{6 a^{2}}} \\ {\Rightarrow H K=\dfrac{a \sqrt{6}}{\sqrt{5}} \Rightarrow d(A ;(S C D))=\dfrac{a \sqrt{6}}{2 \sqrt{5}}=\dfrac{a \sqrt{30}}{10}}\end{array}$
Đáp án: B.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a,AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, góc giữa $SD$ với đáy bằng $60^0$. Tính khoảng cách $d$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ theo $a.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xác định $60^{\circ}=\left( {\widehat {SD;(ABCD)}} \right)=(S \widehat{D, A D})=\widehat{S D A}$ và $S A=A D \cdot \tan \widehat{S D A}=2 a \sqrt{3}$
Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$ ta có
$\begin{array}{l}{C A \cap(S B D)=O \Rightarrow \dfrac{d(C ;(S B D))}{d(A ;(S B D))}=\dfrac{C O}{A O}=1} \\ {\Rightarrow d(C ;(S B D))=d(A ;(S B D))}\end{array}$
Trong $(ABCD)$ kẻ $A E \perp B D $ và trong $(SAE)$ kẻ $A K \perp S E(1)$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{B D \perp A E} \\ {B D \perp S A}\end{array} \Rightarrow B D \perp(S A E) \Rightarrow B D \perp A K(2)\right.$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow A K \perp(S B D) \Rightarrow d(A ;(S B D))=A K$
Tam giác vuông $BAD$ có $A E=\dfrac{A B \cdot A D}{\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}}=\dfrac{2 a}{\sqrt{5}}$
Tam giác vuông $SAE$ có $A K=\dfrac{S A \cdot A E}{\sqrt{S A^{2}+A E^{2}}}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$
Vậy $d(C ;(S B D))=A K=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$
Đáp án: A.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A B=3 a, B C=4 a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng $60^{\circ}$. Gọi M là trung điểm AC, tính khoảng cách giữa d và hai đường thẳng AB và SM.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=5 a$
Xác định $60^{0}=(S C, \widehat{(A B C)})=(S \widehat{C, A C})=\widehat{S C A}$ và $S A=A C \cdot \tan \widehat{S C A}=5 a \sqrt{3}$
Gọi N là trung điểm BC, suy ra $M N \| A B$
Lấy điểm E đối xứng với N qua M, suy ra ABNE là hình chữ nhật
Do đó $d(A B ; S M)=d(A B ;(S M E))=d(A ;(S M E))$
Kẻ $A K \perp S E$
Vì $M E \perp A E, M E \perp S A$ nên $M E \perp(S A E) \Rightarrow M E \perp A K$.
Mà $A K \perp S E$ nên $A K \perp(S M E)$
Khi đó $d(A ;(S M E))=A K=\dfrac{S A \cdot A E}{\sqrt{S A^{2}+A E^{2}}}=\dfrac{10 a \sqrt{3}}{\sqrt{79}}$
Đáp án: D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy $A B C D$ là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc $\widehat{S B D}=60^{\circ}$. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\Delta S A B=\Delta S A D(c-g-c)$ suy ra $S B=S D$
Mà $\widehat{S B D}=60^{\circ} \Rightarrow \Delta S B D$ đều cạnh $S B=S D=B D=a \sqrt{2}$
Tam giác vuông SAB, có $S A=\sqrt{S B^{2}-A B^{2}}=a$
Gọi E là trung điểm của AD, suy ra $O E \| A B$ và $A E \perp O E$.
Do đó $d(A B ; S O)=d(A B ;(S O E))=d(A ;(S O E))$
Kẻ $A K \perp S E$(1) ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{O E \perp A D} \\ {O E \perp S A}\end{array} \Rightarrow O E \perp(S A D) \Rightarrow O E \perp A K(2)\right.$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow A K \perp(S O E)$
$\Rightarrow d(A ;(S O E))=A K=\dfrac{S A \cdot A E}{\sqrt{S A^{2}+A E^{2}}}=\dfrac{a \sqrt{5}}{5}$
Đáp án: D
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh a. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} $ bằng
Sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b = a.b.\cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ;\overrightarrow b }} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = CB.CD.\cos \left( {\widehat {DCB}} \right) - CA.CD.\cos \left( {\widehat {DCA}} \right) = 0$
Đáp án C
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Đặt $\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d $. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Vẽ hình và xét từng phương án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 $
Đáp án C
Cho hình lập phương $ABCD.A\'B\'C\'D\'$. Góc giữa hai đường thẳng $A\'B$ và $B\'C$ là:
Chọn đường thẳng song song với $B\'C$ cùng thuộc một mặt phẳng với $A\'B$ rồi tính góc giữa hai đường thẳng đó
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $B\'C//A\'D \Leftrightarrow \left( {\widehat {A\'B;B\'C}} \right) = \left( {\widehat {A\'B;A\'D}} \right) = \widehat {DA\'B}$
Xét $\Delta DA\'B$ có $A\'D = A\'B = BD = AB\sqrt 2 $ nên $\Delta DA\'B$ là tam giác đều
Vậy $\left( {\widehat {A\'B;B\'C}} \right) = \widehat {DA\'B} = {60^o}$
Đáp án B
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=2;DB=DC=3$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Sử dụng $\left\{ \begin{array}{l}\na \subset \left( \alpha \right)\\\nb \bot \left( \alpha \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b$ và$\left\{ \begin{array}{l}\na \bot c\\\nb \bot c\\\na,b \subset \left( \alpha \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow c \bot \left( \alpha \right)( a \text{cắt}b)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo đề bài ta có $\Delta ABC; \Delta DBC $ lần lượt cân tại A,D. Gọi H là trung điểm của $BC$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nAH \bot BC\\\nDH \bot BC\n\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right)\\\nAD \subset \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AD\n\end{array}$
Đáp án A
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC)$ và $AB \bot BC$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc nào sau đây?
Sử dụng $\left\{ \begin{array}{l}\na \bot \left( \alpha \right)\\\nb \bot \left( \beta \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\nBC \bot AB\\\nBC \bot SA\n\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$
$ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA}$
Đáp án A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
+) 2 mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của nó vuông góc với mặt phẳng thứ 3.
+) hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A sai vì 2 mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của nó vuông góc với mặt phẳng thứ 3. Từ đó suy ra C sai.
B sai vì hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Đáp án D
Trong các mệnh đều sau đây, mệnh đề nào đúng?
Xét từng phương án
+) $\left\{ \begin{array}{l}\na \notin \left( \alpha \right)\\\na \bot b\\\n\left( \alpha \right) \bot b\n\end{array} \right. \Rightarrow a//\left( \alpha \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A đúng
B sai vì 2 đường thẳng đó có thể chéo nhau hoặc song song với nhau
C sai vì 2 mặt phẳng đó có thể song song với nhau
D sai vì 2 đường thẳng phân biệt đó có thể song song với nhau.
Đáp án A