Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng $\left(I B^{\prime} D^{\prime}\right)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì ?
- Xác định thiết diện của hình hộp: Sử dụng tính chất: “Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại và hai giao tuyến song song với nhau”.
- Sử dụng các tính chất song song để tìm hình dạng của thiết diện.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{\left(I B^{\prime} D^{\prime}\right) \cap\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right)=B^{\prime} D^{\prime}} \\ {\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right) / /(A B C D)}\end{array} \} \Rightarrow\left(I B^{\prime} D^{\prime}\right) \cap(A B C D)=J I / B^{\prime} D^{\prime} \text { với } J \in A D$
Mà $B D / / B^{\prime} D^{\prime}$ nên $J I / B D \Rightarrow J$ là trung điểm của AD
Vậy thiết diện là hình thang $J I B^{\prime} D^{\prime}$
Đáp án: B
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm O. Tam giác $SBD$ đều. Một mặt phẳng $(P)$ song song với $(SBD)$ và qua điểm I thuộc cạnh $AC$ ( không trùng với A hoặc C). Thiết diện của $(P)$ và hình chóp là hình gì?
+) Sử dụng tính chất của hai mặt phẳng song song
+) Sử dụng tính chất của đồng dạng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $MN$ là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(ABCD)$
Vì $\left( P \right)//\left( {SBD} \right),\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN$ và $\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN$ suy ra $MN//BD$
Lập luận tương tự, ta có
$(P)$ cắt mặt $(SAD)$ theo đoạn giao tuyến $NP$ với $NP//SD$
$(P)$ cắt mặt $(SAB)$ theo đoạn giao tuyến $MP$ với $MP//SB$
Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của (P) với hình chóp là tam giác đều MNP
Đáp án C
Cho hình hộp $ABCD.A\'B\'C\'D\'$. Gọi $I$ là trung điểm của $A\'B\'$. Mặt phẳng $(IBD)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
+) Sử dụng các mối liên hệ trong hình hộp
+) Tìm ra các giao tuyến của $(IMB)$ với các mặt của hình hộp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\nBD \subset \left( {IBD} \right)\\\nB\'D\' \subset \left( {ABCD} \right)\\\nB\'D\'//BD\n\end{array} \right. \Rightarrow $ Giao tuyến của $(IBD)$ với $(A\'B\'C\'D\')$ là đường thẳng $d$ đi qua $I$ và song song với $BD$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $M = d \cap A\'D\' \Rightarrow IM//BD//B\'D\'$
Khi đó thiết diện là tứ giác $IMBD$ và tứ giác là hình thang
Đáp án B
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt thuộc cạnh $AD,BC$ sao cho $IA=2ID,JB=2JC$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $IJ$ và song song với $AB$. Thiết diện của $(P)$ và tứ diện là
+) Sử dụng định lí Ta-lét
+) Sử dụng tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $(P)$ cắt các mặt của tứ diện $(ABC)$ và $(ABD)$ theo hai giao tuyến $JH$ và $IK$
Ta có $\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = JH,\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = IK$
$\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB,P//AB \Rightarrow JH//IK//AB$
Theo định lí Ta-lét, ta có $\dfrac{{JB}}{{JC}} = \dfrac{{HA}}{{HC}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HC}} = \dfrac{{IA}}{{ID}} \Rightarrow IH//CD$
Mà $IH \in (P)$ suy ra IH song song với mặt phẳng $(P)$
Vậy $(P)$ cắt các mặt phẳng $(ABC),(ABD)$ theo các giao tuyến $IH,JK$ với $IH//JK$
Do đó, thiết diện của $(P)$ và tứ diện là hình bình hành
Đáp án B
Cho lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Gọi $I, J, K $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $A B C, A C C^{\prime}, A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (IJK)?
Muốn tìm mặt phẳng song song với $(IJK)$ ta tìm hai đường thẳng cắt nhau mà song song với hai trong ba đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(IJK)$
Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau vừa tìm được ở trên chính là mặt phẳng cần tìm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M, N, E$ lần lượt là trung điểm $B C, C C^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}$. Suy ra $\frac{A I}{I M}=\frac{A J}{J N}=2$( tính chất trọng tâm tam giác ) nên $I J / / M N(1)$.
Trong mặt phẳng $\left(A A^{\prime} M E\right)$ ta có $\dfrac{A I}{I M}=\frac{A^{\prime} K}{K E}=2 \Rightarrow I K / / M E$ mà $M E / / B B’$ nên $I K / / B B’$ (2).
Từ (1) và (2) do $(I J K)_{\mathrm{v} \dot{\mathrm{a}}}\left(B B^{\prime} C^{\prime}\right)$ là hai mặt phẳng phân biệt, $I J, I K \in(I J K)$ nên $I J / /\left(B B^{\prime} C^{\prime}\right), I K / /\left(B B^{\prime} C^{\prime}\right)$ suy ra $(I J K) / /\left(B B^{\prime} C^{\prime}\right)$.
Đáp án: D
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA( M \ne S;M \ne A)$. $(P)$ là mặt phẳng qua $OM$ và song song với $AD$. Thiết diện của $(P)$ và hình chóp là
Qua 2 điểm $O;M$ kẻ các đường thẳng song song với $AD$ sau đó tìm các giao điểm của đường đó với thiết diện
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Qua M kẻ đường thẳng $MN//AD$ cắt $SD$ tại $N$
Qua $O$ kẻ đường thẳng $PQ//AD$ và cắt $AB,CD$ lần lượt tại $P,Q$
Suy ra $MN//PQ//AD$ nên $M,N,P,Q$ đồng phẳng
Suy ra mặt phẳng $(P)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là hình thang $MNPQ$
Đáp án B
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB//CD)$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh
$AD,BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(IJG)$ là hình bình hành. Hỏi
khẳng định nào sao đây đúng?
- Tìm thiết diện của $(IJG)$ và hình chóp
- Sử dụng tính chất của đường trung bình và hình bình hành
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $G=(IJG) \cap (SAB)$ ta có $IJ//AB$ và $IJ = \dfrac{{AB + CD}}{2}\left( 1 \right)$ vì $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
$\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAB} \right) = Gx//AB//IJ$. Gọi $E = Gx \cap SA;F = Gx \cap SB$
$\left( {IJG} \right) \cap \left( {SAD} \right) = EI;\left( {IJG} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ;\left( {IJG} \right) \cap \left( {SBC} \right) = JF$
Suy ra thiết diện $(IJG)$ và hình chóp là hình bình hành $IJFE \Leftrightarrow IJ = EF\left( 2 \right)$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ $ \Leftrightarrow SG = \dfrac{2}{3}GH \Rightarrow EF = \dfrac{2}{3}AB\left( 3 \right)$
Từ $(1);(2);(3)$ suy ra $\dfrac{2}{3}AB = \dfrac{{AB + CD}}{2} \Leftrightarrow AB = 3CD$
Đáp án C
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $BD$ và song song với $SA$, mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $SC$ tại $K$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- Tìm giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với $SC$
- Sử dụng tính chất của đường trung bình và hình bình hành
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do mặt phẳng $(\alpha)$ qua BD nên $O \in (\alpha)$
Trong tam giác $SAC$, kẻ $OK//SA(K \in SC)$
Do $\left\{ \begin{array}{l}\n\left( \alpha \right)//SA\\\nOK//SA\\\nO \in \left( \alpha \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow OK \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow SC \cap \left( \alpha \right) = K$
Trong tam giác $SAC$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}\nOK//SA\\\nOA = OC\n\end{array} \right. \Rightarrow OK$ là đường trung bình của tam giác $\Delta SAC$
Vậy $SK=KC$
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,AD=2a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ $D$ đến $(SBC)$ bằng $\dfrac{2a}3$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:
Vẽ đường thẳng $d$ song song với $AC$ qua $B$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
Đưa bài toán tìm khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ về bài toán tìm khoảng cách giữa $H$ và mặt phẳng tạo bởi $SB$ và $d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
Vẽ đường thẳng $d$ qua B và song song với $AC$
Gọi $K,I$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $d,SK$
$d(D,(SBC)) = \dfrac{{2a}}{3} \Leftrightarrow d(A,(SBC)) = \dfrac{{2a}}{3}$
$ \Leftrightarrow d(H,(SBC)) = \dfrac{a}{3} \Leftrightarrow HI = \dfrac{a}{3}$
$\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{B^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Leftrightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}$
$\sin KBH = \dfrac{{HK}}{{HB}} \Leftrightarrow \sin CAB = \dfrac{{HK}}{{HB}}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{CB}}{{AC}} = \dfrac{{HK}}{{HB}} \Rightarrow HK = \dfrac{{HB.CB}}{{AC}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.2a}}{{\sqrt 5 a}} = \dfrac{{\sqrt 5 a}}{5}$
$d(AC,SB) = d(A,(SBK)) = 2d(H,(SBK)) = 2HI$
$ = 2\dfrac{{SH.HK}}{{SK}} = 2\dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = 2.\dfrac{{S{H^2}}}{{SH\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}$
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=3a;AD=2a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AH=2AB$. Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^o$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AD$ theo $a$ là:
Kẻ hình vuông góc của $S$ là $H$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ từ đó tìm khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SBC)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ nên $SH \bot (ABCD)$,
Kẻ $HM \bot CD(M \in CD)$, ta có:
$\left. \begin{array}{l}\n(ABCD) \cap (SCD) = CD\\\n(SHM) \bot CD\\\n(SHM) \cap (ABCD) = HM\\\n(SHM) \cap (SCD) = SM\n\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = SMH = {60^o}$
$AD//BC \Rightarrow AD//(SBC)$
$d(AD,SC) = d(A,(SBC)) = 3d(H,(SBC))$
Kẻ $HI \bot SB(E \in SB)$, ta có: $HI \bot (SBC)$ và $d(H,(SBC))=HI$
Ta có: $SH = HM.\tan {60^o} = 2a\sqrt 3 $ và $SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt {13} $
Suy ra: $IH = \dfrac{{SH.HB}}{{SB}} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}$
Vậy: $d(AD,SC) = 3HI = \dfrac{{6a\sqrt {39} }}{{13}}$