Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
Sử dụng định lý về đường thẳng song song mặt phẳng (xem thêm trong bài Đường thẳng song song với mặt phẳng)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Đáp án D
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng điều kiện xác định của mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A. sai vì trong 3 trường hợp điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
B. sai vì trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ra chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
D. sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm dó
Đáp án: C
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Xét tính đúng sai của từng đáp án bằng cách tìm phản ví dụ cho mỗi mệnh đề sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A. Đúng
B. Sai vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau
C. Sai vì ba giao tuyến có thể song song hoặc trùng nhau
D. Sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
Đáp án A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì không thuộc cùng một mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề " Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau" chỉ đúng trong mặt phẳng. còn trong không gian thì chúng có thể song song hoặc chéo nhau.
Đáp án: A
Hình chóp lục giác có bao nhiêu bên?
Dựng hình chóp lục giác và đếm số mặt bên của nó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình chóp có lục (6) có đỉnh và 6 cạnh bên => có 6 mặt bên
Đáp án: B
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng.Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số mặt phẳng được tạo thành là số cách chọn 3 trong 4 điểm đã cho.
Đáp án: B
Tìm khẳng định SAI trong các khẳng định sau đây?
Xét tính đúng sai của từng đáp án sử dụng tính chất của hai mặt phẳng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu mặt phẳng (P) có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (p) song song với mặt phẳng (Q) là mệnh đề sai khi hai đường thẳng đó song song với nhau.
Đáp án: D
Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?
Vẽ hình và đếm số mặt của lăng trụ tam giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gồm 5 mặt : 3 mặt bên và 2 mặt đáy.
Đáp án: D
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là là hình bình hành. Giao tuyến của $(S A B) \mathrm{và}(S C D)$ là
Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng nếu không đồng quy thì song song, từ đó xác định đúng giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét ba mặt $(S A B),(S C D),(A B C D)$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{(S A B) \cap(A B C D)=A B} \\ {(S C D) \cap(A B C D)=C D} \\ {(S A B) \cap(S C D)=d}\end{array}\right.$
Mà $A B / / C D$ nên $A B / / C D / / d$
Ngoài ra, $S \in(S A B) \cap(S C D)=d$ nên giao tuyến d chính là đường thẳng đi qua S và song song với AB, CD
Đáp án: B
Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng
Xét tính đúng, sai của từng đáp án, vẽ hình, sử dụng các kiến thức của hình học phẳng, hình học không gian để nhận xét.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi M là trung điểm của AB. Trong tam giác MCD có $\dfrac{M G}{M D}=\dfrac{M E}{M C}=\dfrac{1}{3}$ suy ra $G E / / C D$.
Đáp án: B
Cho bốn mệnh đề sau:
(I) Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ đều song song với $(\beta)$.
(II) Hai đường thẳng trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(III) Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(IV) Có thể tìm được hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
Xét tính đúng sai của từng mệnh đề, chú ý tìm các phản ví dụ cho mỗi mệnh đề sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 3 mệnh đề sai là (II), (III), (IV).
(II) sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì có thể song song hoặc chéo nhau,
(III) sai vì hai đường thẳng không có điểm chung còn có thể song song
(IV) sai vì nếu tồn tại hai đường song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho trước thì cả bốn đường đó sẽ đồng phẳng ( mâu thuẫn với dữ kiện hai đường thẳng ban đầu chéo nhau).
Đáp án: D
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì nằm trên đoạn AC ( khác A và C ). Mặt phẳng (P) qua M và song song với các đường thẳng AB, CD. Thiết diện của (P) với tứ diện đã cho là hình gì?
Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P)(P) với các mặt của tứ diện, sử dụng định lý giao tuyến ba mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong mặt phẳng (ABC), kẻ MN song song với AB và N thuộc cạnh BC
$\Rightarrow(P) \cap(A B C)=M N$.
Trong mặt phẳng (BCD), kẻ NP song song với CD và P thuộc cạnh BD
$\Rightarrow(P) \cap(B C D)=N P$.
Trong mặt phẳng (ABD), kẻ PQ song song BA và Q thuộc cạnh AD
$\Rightarrow(P) \cap(A B D)=P Q$.
Và $(P) \cap(A C D)=M Q$.
Do đó thiết diện của (P) với tứ diện đã cho là tứ giác MNQ
Theo cách dựng thiết diện , ta có : $M N / / Q P$ và $N P / / M Q$ suy ra MNPQ là hình bình hành.
Đáp án: B
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh $S A, S B, S C, S D$ lần lượt tại $M, N, P, Q$. Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Câu nào sau đây đúng?
Sử dụng định lý ba giao tuyến để tìm điểm II rồi từ đó kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét ba mặt phẳng $(M N P Q),(S A D),(S C B)$, ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{(M N P Q) \cap(S A D)=M Q} \\ {(M N P Q) \cap(S B C)=N P} \\ {(S A D) \cap(S B C)=d}\end{array}\right.$
Mà $M Q \cap N P=I$ nên d qua I hay giao tuyến của $(S A D),(S B C)$ chính là SI.
Ngoài ra, ta đã biết giao tuyến của $(S A D),(S B C)$ là đường thẳng đi qua S và song song với AD, BC.
Vậy $S I / / A D / / B C$
Đáp án: C
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi I là trung điểm cạnh SC. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Dựng hình, xét tính đúng sai của từng đáp án dựa vào các phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng để kiểm tra.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
IO là đường trung bình của tam giác SAC nên $I O / / S A \Rightarrow I O / /(S A B), I O / /(S A C)$.
Do đó A, B đúng.
$I \in S C, O=A C \cap B D \Rightarrow(I B D) \cap(S A C)=I O$ nên D đúng.
Đáp án: C
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang CD. Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án dựa vào trực quan hình học và phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song (định lý ba giao tuyến)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét ba mặt phẳng $(M C D),(S A B),(A B C D)$ có:
Mà $A B / / C D$ nên $M N / / A B / / C D$
Vậy $M N / / C D$.
Đáp án B đúng, D sai
Ngoài ra, quan sát hình vẽ ta thấy MN, SD chéo nhau, MN,SC chéo nhau nên các đáp án A, C đều sai.
Đáp án: B
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD.
Những khẳng định nào sau đây đúng?
$\begin{array}{l}{(1) : M N / /(B C D)}; \\ {(2) : M N / /(A C D)}; \\ {(3) : M N / /(A B D)}.\end{array}$
Sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng (tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng mà song song với đường thẳng đã cho) để xét tính đúng sai cho từng khẳng định
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, BD.
Ta có: $\dfrac{A M}{A I}=\dfrac{A N}{A J}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow M N / / \mathrm{IJ} \Rightarrow M N / / I J / / C D \Rightarrow M N / /(B C D)$
và $M N / /(A C D)$.
Đáp án: C
Hai mặt phẳng song song có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình có mặt phẳng đối xứng là hình mà qua phép đối xứng trục ta vẫn được hình đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn nên hai mặt phẳng song song có một mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng nằm cách đều hai mặt phẳng song song đó và có vô số mặt phẳng đối xứng khác là các mặt phẳng vuông góc hai mặt phẳng đã cho.
Đáp án: D
Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Khẳng định nào sau đây SAI?
Vẽ hình và nhận xét dựa vào dấu hiệu hai đường thẳng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ hình vẽ ta thấy $D C^{\prime} / / A B^{\prime}$ nên đáp án D sai
Đáp án: D
Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Mặt khác $\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right)$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây ?
- Bước 1: Chứng minh mặt phẳng $(α)$ chứa hai đường thẳng a,ba,b cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng $a\',b\'$ cắt nhau trong mặt phẳng $(β)$
- Bước 2: Kết luận $(α)//(β)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $A D C^{\prime} B^{\prime}$ là hình bình hành nên $A B^{\prime} / / D C^{\prime}$
Do $A B C^{\prime} D^{\prime}$ là hình bình hành nên $A D^{\prime} / / B C^{\prime}$
Mà $A B^{\prime}, A D^{\prime} \subset\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right) ; B C^{\prime}, D C^{\prime} \subset\left(B C^{\prime} D\right)$ nên $\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right) / /\left(B C^{\prime} D\right)$
Đáp án: B
Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Áp dụng vị trí tương đối của mặt phẳng với đường thẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng là
- Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
- Đường thẳng song song với mặt phẳng
- Đường thẳng cắt mặt phẳng
Đáp án C