Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho phép tịnh tiến theo $\overrightarrow v = \left( {2;1} \right)$ biến parabol $\left( P \right):y = {x^2} - 1$ thành parabol $P\'$. Khi đó phương trình của $P\'$ là
Áp dụng mối liên hệ của phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)}}\left( {\left( {x;y} \right)} \right) = M\'\left( {x\';y\'} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = x + a\\\ny\' = y + b\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn $M(x;y)$ tùy ý trên $(P)$. Gọi $M\'\left( {x\';y\'} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = x + 2\\\ny\' = y + 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = x\' - 2\\\ny = y\' - 1\n\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {x\' - 2;y\' - 1} \right)$
Do $M\left( {x\' - 2;y\' - 1} \right) \in \left( P \right)$$ \Rightarrow y\' - 1 = {\left( {x\' - 2} \right)^2} - 1 \Leftrightarrow y\' = x{\'^2} - 4x\' + 4$
Vậy $(P\'):y=x^2-4x+4$
Đáp án C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$ lần lượt có phương trình $2x-y+4=0$ và $2x-y-1=0$. Tìm giá trị của tham số $m$ để phép tịnh tiến theo ${\overrightarrow v = \left( {m; - 3} \right)}$ biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$
Chọn 1 điểm bất kì thuộc $a$ rồi áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)}}\left( M{\left( {x;y} \right)} \right) = M\'\left( {x\';y\'} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = x + a\\\ny\' = y + b\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn $A(0;4) \in a$
Ta có ${T_{\overrightarrow v = \left( {m; - 3} \right)}}\left( {A\left( {0;4} \right)} \right) = A\'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 0 + m\\\ny = 4 + \left( { - 3} \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow A\'\left( {m;1} \right)$
Vì ${T_{\overrightarrow v }}$ biến $a$ và $b$ nên $A\' \in b \Leftrightarrow 2m - 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$
Đáp án A
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho phép biến hình $F$ có biểu thức tọa độ $x\' = \dfrac{{ - 3x + 4y}}{5};y\' = \dfrac{{4x + 3y}}{5}$. Ảnh của $\Delta :x+y=0$ qua phép biến hình $F$ là
Lấy 2 điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ sau đó sử dụng biểu thức tọa độ để tìm ảnh và viết phương trình đường thẳng cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ $O$ và $A(1;-1)$
Gốc tọa độ $O$ qua phép biến hình $F$ là chính nó
Điểm $A(1;-1)$ qua phép biến hình $F$ là điểm $A\'\left( { - \dfrac{7}{5};\dfrac{1}{5}} \right)$
Vậy phương trình $\Delta \'$ là $x+7y=0$
Đáp án D
Cho hình bình hành $ABCD$ có cạnh $AB$ cố định. Nếu $AC \bot CB$ thì quỹ tích của điểm $D$ là
Áp dụng phép tịnh tiến
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $AC \bot CB$ nên $C$ di động trên đường tròn đường kính $AB$
Do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} $
Đẳng thức trên chứng tỏ phép tịnh tiến theo vecto $ \overrightarrow {BA} $ biến điểm $C$ thành điểm $D$
Vậy quỹ tích của điểm $D$ là ảnh của đường tròn đường kính $AB$ qua phép tịnh tiến theo vecto $ \overrightarrow {BA} $
Đáp án C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right):y = {x^2} - 4x - 5$. Phép đối xứng tâm $I(1;2)$ biến parabol $(P)$ thành parabol $(P\')$. Trục đối xứng của $(P\')$ là
- Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
- Trục đối xứng của parabol $(P):y=ax^2+bx+c$ là $x=-\dfrac{b}{2a}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right);M\'\left( {x\';y\'} \right) \in \left( {P\'} \right)$
Ta có qua phép vị tự tâm $I(1;2)$ biến điểm $M$ thành điểm $M\'$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 2 - x\'\\\ny = 4 - y\'\n\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2 - x\';4 - y\'} \right) \in \left( P \right)\\ \Rightarrow 4 - y\' = {\left( {2 - x\'} \right)^2} - 4\left( {2 - x\'} \right) - 5 \Leftrightarrow y\' = - x{\'^2} + 13\n\end{array}$
Suy ra trục đối xứng của parabol $(P\')$ là $x=0$
Đáp án C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn $(C):(x+m)^2+(y-2)^2=5$ và $(C\'):x^2+y^2+2(m-2)y-6x+12+m^2=0$. Vecto $\overrightarrow v $ nào dưới đây là vecto của phép tịnh tiến biến $(C)$ thành $(C\')$?
Áp dụng tính chất của phép tịnh tiến: Qua phép tịnh tiến nào đó biến đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ thành đường tròn tâm $O\'$ bán kính $R\'$ thì vecto tịnh tiến là $\overrightarrow {OO\'} $ và $R=R\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện để $(C\')$ là đường tròn ${\left( {m - 2} \right)^2} + 9 - 12 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}$
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-m;2)$ bán kính $R=\sqrt5$
Đường tròn $(C\')$ có tâm $I\'(2-m,3)$ bán kính $R\'=\sqrt{-4m+1}$
Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v $ biến $(C)$ thành $(C\')$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l}\nR = R\'\\\n\overrightarrow v = \overrightarrow {II\'} \n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\sqrt { - 4m + 1} = \sqrt 5 \\\n\overrightarrow v = \overrightarrow {II\'} = \left( {3 + m; - m} \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm = - 1\\\n\overrightarrow v = \left( {2;1} \right)\n\end{array} \right.$
Đáp án A
Thành phố $A$ dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư A và B . Trạm nước sạch đặt tại
vị trí C trên bờ sông. Biết $AB=3\sqrt{17} km$, khoảng cách từ A và B đến bờ sông lần lượt là $AM=3km;BN=6km$(hình vẽ). Gọi $T$ là tổng độ dài đường ống từ tạm nước đến $A$ và $B$. Tính giá trị nhỏ nhất của $T$
Áp dụng phép đối xứng tâm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A\'$ đối xứng với $A$ qua $MN$, D là trung điểm của NB
Do A cố định nên A' cũng cố định
Ta có $T = CA + CB = CA\' + CB \ge A\'B$
Đẳng thức xảy ra khi C là giao điểm của MN và A'B
Khi đó $\dfrac{{MC}}{{NC}} = \dfrac{{MA\'}}{{NB}} = \dfrac{{MA}}{{NB}} = \dfrac{1}{2}\left( 1 \right)$
Mặt khác $MN = AC = \sqrt {A{D^2} + D{B^2}} = 9\sqrt 2 km\left( 2 \right)$
Từ $(1);(2)$ suy ra $MC=3\sqrt2 km;NC=6\sqrt2 km$
Vậy $T = CA + CB = \sqrt {A{M^2} + M{C^2}} + \sqrt {C{N^2} + N{B^2}} = 9\sqrt 3 \simeq 15,56km$
Đáp án C
Thực hiện phép đồng dạng $(T)$ gồm 2 bước liên tiếp: Vị tự tâm $I(2;-3)$ tỉ số $k=4$, phép quay ${Q_{(0;{{45}^o})}}$ . Ảnh của đường tròn $(x-2)^2+(y+2)^2=1$ qua $(T)$ có dạng: $x^2+^2+ax+by+c=0$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$
Phép dời hình $(T)$ gồm 2 bước : Phép quay ${Q_{(0;\varphi )}}$ với $\varphi$ nhọn, $\cos \varphi = 0,28$ và phép đối xứng trục $2x-2y-5=0$ . Tìm ảnh của đường tròn $(C):(x-4)^2+(y-\dfrac{1}2)^2=1$ qua $(T)$
Cho hai đường tròn $(C):(x+m)^2+(y-2)^2=25;(C\'):x^2+y^2+2(m-2)y-6x+12+m^2=0$ . Phép tịnh tiến vector $\overrightarrow v = (a;b)$ biến $(C)$ thành $(C\')$ . Tính $a+b$