Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số
Tính chất của phép đồng dạng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số $k=1$
Đáp án C
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Xét từng phương án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có chỉ có những điểm trên trục đối xứng mới biến thành chính nó
Đáp án D
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
+) Xét các phương án
+) Các phép đều là phép đồng dạng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phép dời hình là một phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng $1$, điều ngược lại không đúng
Đáp án D
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $2x-y=0$. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=-2$ và phép đối xứng qua trục $Oy$ sẽ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
+) Tâm vị tự I thuộc đường thẳng $d$ nên ${V_{\left( {I; k} \right)}}\left( d \right) = d$
+) Mối liên hệ của đối xứng trục $Oy$ là $\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = - x\\\ny\' = y\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có tâm vị tự O thuộc đường thẳng $d$ nên ${V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( d \right) = d$
$d\' = {D_{Oy}}\left( d \right)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = - x\\\ny\' = y\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = - x\'\\\ny = y\'\n\end{array} \right.$
Mà $2x - y = 0 \Leftrightarrow 2\left( { - x\'} \right) - y\' = 0 \Leftrightarrow 2x\' + y\' = 0$
Đáp án B
Giả sử rằng qua phép đối xứng trục $Đ_a$($a$ là trục đối xứng), đường thẳng $d$ biến thành đường thẳng $d’$. Chọn khẳng định sai?
+) Xét từng phương án
+) Sử dụng tính chất của phép đối xứng trục
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có khi $d \bot a$ thì $d \equiv d’$
Vậy C sai
Đáp án C
Cho hình vuông tâm O. Xét phép quay $Q$ có tâm quay O và góc quay $\alpha$. Với giá trị nào sau đây của $\alpha$, phép quay $Q$ biến hình vuông thành chính nó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${Q_{\left( {O;0} \right)}};{Q_{\left( {O;{{90}^o}} \right)}};{Q_{\left( {O;{{180}^o}} \right)}};{Q_{\left( {O;{{270}^o}} \right)}}$ quay hình vuông tâm O thành chính nó
Đáp án D
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho các điểm $I(3;1),I(-1;-1)$. Ảnh của $J$ qua phép quay ${Q_{\left( {I; - {{90}^o}} \right)}}$ là
+) $B\'(x\';y\')$ là ảnh của điểm $B(x;y)$ qua phép quay tâm $I(a;b)$ góc quay $\alpha$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = \left( {x - a} \right)\cos \alpha - \left( {y - b} \right)\sin \alpha + a\\\ny\' = \left( {x - a} \right)\sin \alpha + \left( {y - b} \right)\cos \alpha + b\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $J\'(x\';y\')$ là ảnh của điểm $J(x;y)$ qua phép quay tâm $I(a;b)$ góc quay $-90^o$
Trong đó $I(3;1),I(-1;-1)$
Ta có
$\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = \left( {x - a} \right)\cos \alpha - \left( {y - b} \right)\sin \alpha + a\\\ny\' = \left( {x - a} \right)\sin \alpha + \left( {y - b} \right)\cos \alpha + b\n\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\n{x\' = \left( {x - 3} \right)\cos \left( { - {{90}^o}} \right) - \left( {y - 1} \right)\sin \left( { - {{90}^o}} \right) + 3}\\\n{y\' = \left( {x - 3} \right)\sin \left( { - {{90}^o}} \right) + \left( {y - 1} \right)\cos \left( { - {{90}^o}} \right) + 1}\n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = 1\\\ny\' = 5\n\end{array} \right.$
Đáp án A
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:3x+y-9=0$. Tìm phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v $ có giá song song với $Oy$ biến d thành d' đi qua $A(1;1)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vecto $\overrightarrow v $ có giá song song với $Oy$ $ \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {0;k} \right)\left( {k \ne 0} \right)$
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M\'\left( {x\';y\'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = x\\\ny\' = y + k\n\end{array} \right.$
Thế phương trình $d \Rightarrow d\':3x\' + y\' - k - 9 = 0$ mà $d\'$ đi qua $A(1;1)$ nên $k=-5$
Đáp án D
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $OABC$ với điểm $A(-2;1)$, $O(0;0)$điểm $B$ thuộc đường thẳng $\Delta : 2x-y-5=0$. Tìm quỹ tích đỉnh C?
+) Sử dụng tích chất hình bình hành để dùng phép tịnh tiến
+) Sử dụng tích chất của phép tịnh tiến
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $OABC$ hình bình hành nên ${T_{\overrightarrow {AO} }}\left( B \right) = C$
Suy ra quỹ tích của điểm C là đường thẳng $\Delta \'$ song song với $\Delta$.
$ \Rightarrow B\left( {x;y} \right) \in \Delta \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AO} }}\left( B \right) = C\left( {x\';y\'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = x - 2\\\ny\' = y + 1\n\end{array} \right.$
Vậy $\Delta \':2x\' - y\' - 10 = 0$
Đáp án A
Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?
Theo định nghĩa của phép dời hình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với mọi điểm A,B tương ứng có ảnh là A',B' qua phép biến hình với quy tắc đặt O là trung điểm tương ứng ( gọi là phép đối xứng tâm O) luôn luôn xảy ra sự kiện biến $A\'B\'$ theo $AB$
Đáp án A
Cho hình vuông $ABCD$ tâm $I$. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của $AD,DC$. Phép tịnh tiến theo vecto nào sau đây biến tam giác $AMI$ thành $INC$
Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {AI}=\overrightarrow {IC} $ $ \Rightarrow {T_{\overrightarrow {MN} }}\left( {\Delta AMI} \right) = \Delta INC$
Đáp án D
Cho đường tròn $(C)$ có tâm O và đường kính AB. Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm A. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow {AB} $ biến $\Delta$ thành:
Áp dụng tính chất 2 của phép tịnh tiến
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên ${T_{\overrightarrow {AB} }}\left( \Delta \right) = \Delta \' \Rightarrow \Delta //\Delta \'$; $\Delta \'$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm B
Đáp án B
Cho vecto $\overrightarrow {v} =(a;b)$ sao cho khi tịnh tiên đồ thị $y=f(x)=x^3+3x+1$ theo vecto $\overrightarrow {v} $ ta nhận được đồ thị hàm số $y = g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 6x - 1$. Tính $P=a+b$
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến và đồng nhất hệ số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có đồ thị hàm số $y=f(x)$ tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow {v} =(a;b)$ nhận được đồ thị hàm số $y=g(x)$
Suy ra $g\left( x \right) = f\left( {x - a} \right) + b \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 6x - 1 = {\left( {x - a} \right)^3} + 3\left( {x - a} \right) + 1 + b$
$ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 6x - 1 = {x^3} - 3a{x^2} + 3\left( {{a^2} + 1} \right)x - {a^3} - 3a + 1 + b$
Đồng nhất hệ số $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 1\\\nb = 2\n\end{array} \right. \Rightarrow P = a + b = 3$
Đáp án A
Hình nào sau đây có một tâm đối xứng?
Tìm ra các tâm đối xứng của các hình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình A có vô số đường thẳng đối xứng tạo thành 1 đường thẳng đối xứng
Hình B có vô số đường thẳng đối xứng tạo thành 1 đường thẳng đối xứng
Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của 3 đường chéo
Hình D có vô số đường thẳng đối xứng tạo thành 1 đường thẳng đối xứng
Đáp án C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ảnh của đường thẳng $d:x+2y-3=0$ qua phép đối xứng tâm $I(4;3)$ là
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ta có
$Đ_d$: $M\left( {x;y} \right) \to M\'\left( {x\';y\'} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = 8 - x\\\ny\' = 6 - y\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 8 - x\'\\\ny = 6 - y\'\n\end{array} \right.$
Thế vào phương trình $d$ ta có: $8 - x\' + 2\left( {6 - y\'} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow - x\' - 2y\' + 17 = 0$
Vậy phương trình đường thẳng là $x+2y-17=0$
Đáp án A
Cho phép quay ${Q_{\left( {O;\varphi } \right)}}$ biến điểm A thành điểm M. Khi đó
$(I)$ O cách đều A và M
$(II)$ O thuộc đường tròn đường kính $AM$
$(III)$ O nằm trên cung chứa góc $\varphi$ dựng trên đoạn $AM$.
Trong các câu trên câu đúng là:
Sử dụng tính chất của phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${Q_{\left( {O;\varphi } \right)}}\left( A \right) = M$ suy ra
- $OA=OM$ nên $(I)$ đúng
- O thuộc đường tròn đường kính $AM$ khi và chỉ khi $\Delta OAM$ vuông tại $O$ $ \Leftrightarrow \varphi = \pm 90$ nên $(II)$ sai
- $\left( {OA;OM} \right) = \varphi $ nên $(III)$ sai
Đáp án C
Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ cho điểm $A(4;8)$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ biến điểm nào trong các điểm sau thành điểm A?
Sử dụng công thức phép vị tự
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi B là điểm qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=-2$ biến thành điểm A
$\Rightarrow A = {V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( B \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \left( { - 2; - 4} \right) \Leftrightarrow B\left( { - 2; - 4} \right)$
Đáp án A
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn có phương trình $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} =4$. Gọi $(C\')$ là ảnh của $(C)$ qua phép vị tự $V$ tâm $I$ tỉ số $k=-2$. Khi đó $(C\')$ có phương trình là:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn có phương trình $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} =4$ có tâm $O(1;5);R=2$.
Gọi $O\'$ là ảnh của tâm $O$ qua phép vị tự $V_{(I;-2)}$
Khi đó, tọa độ của $O\'$ là $\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = - 2.1 + \left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right).2\\\ny\' = - 2.5 + \left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right).\left( { - 3} \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = 4\\\ny\' = - 19\n\end{array} \right.$ và $R\' = \left| k \right|.R = 4$
Vậy $(C\')$ có phương trình là $(x-4)^2+(y+19)^2=16$
Đáp án A
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A(-2;-3);B(4;1)$. Phép đồng dạng tỉ số $k=\dfrac12$ biến $A$ thành $A\'$, biến điểm $B$ thành $B\'$. Khi đó độ dài $A\'B\'$ là:
Sử dụng tính chất của phép đồng dạng : Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng khác mà độ dài gấp $k$ lần
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì phép đồng dạng tỉ số $k=\dfrac12$ biến điểm $A$ thành $A\'$, biến điểm $B$ thành $B\'$ nên $A\'B\' = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {4 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {52} }}{2}$
Đáp án A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét từng phương án và sử dụng lý thuyết của phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến trong đó vec tơ tịnh tiến bằng tổng
của 2 vec tơ tịnh tiến của hai phép đã cho.
Đáp án A