Đạo hàm cấp n của hàm số $\dfrac{1}{a x+b}, a \neq 0$ là
Viết ra các đạo hàm cấp 1, 2, 3 rồi nhìn ra quy luật
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y^{\prime}=\dfrac{-a}{(a x+b)^{2}}} \\ {y^{\prime \prime}=\dfrac{a \cdot 2(a x+b) \cdot a}{(a x+b)^{4}}=\dfrac{2 a^{2}}{(a x+b)^{3}}} \\ {y^{\prime \prime \prime}=\dfrac{-2 a^{2} \cdot 3(a x+b)^{2} \cdot a}{(a x+b)^{6}}=\dfrac{-2.3 . a^{3}}{(a x+b)^{4}}}\end{array}$
. . . . .
$y^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n} \cdot a^{n} \cdot n !}{(a x+b)^{n+1}}$
Đáp án: D
Cho hàm số $y=\sin 3 x \cdot \cos x-\sin 2 x$. Giá trị của $y^{(10)}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ gần nhất với số nào dưới đây?
+) Biến đổi hàm số từ tích sang tổng
+) Sử dụng công thức $(\sin a x )^{(n)}=(-1)^{n-1} a^{n} \sin \left(\dfrac{n \pi}{2}-a x\right)$ chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y=\sin 3 x . \cos x-\sin 2 x=\dfrac{1}{2}(\sin 4 x+\sin 2 x)-\sin 2 x$$=\frac{1}{2}(\sin 4 x-\sin 2 x)$
Mặt khác lại có $(\sin a x )^{(n)}=(-1)^{n-1} a^{n} \sin \left(\dfrac{n \pi}{2}-a x\right)$
Do đó $y^{(10)}(x)=\dfrac{1}{2}\left((-1)^{9} 4^{10} \cdot \sin (5 \pi-4 x)-(-1)^{9} \cdot 2^{10} \cdot \sin (5 \pi-2 x)\right)$
$\begin{array}{l}{=\dfrac{1}{2}\left(-4^{10} \cdot \sin 4 x+2^{10} \sin 2 x\right)} \\ {\Rightarrow y^{(10)}\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \approx 454490.13}\end{array}$
Đáp án D
Cho hàm số $y=\cos x$. Khi đó $y^{(2018)}(x)$ bằng:
Viết các đạo hàm cấp 1,2,3,4... để nhận ra quy luật rồi viết được đạo hàm cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y^{\prime}(x)=-\sin x} \\ {y^{\prime \prime}(x)=-\cos x} \\ {y^{\prime \prime \prime}(x)=\sin x} \\ {y^{(4)}(x)=\cos x=y} \\ {y^{(5)}(x)=-\sin x=y^{\prime}} \\ {y^{(6)}(x)=-\cos x=y^{\prime \prime}} \\ {y^{(7)}(x)=\sin x=y^{\prime \prime \prime}}\end{array}$
.........
Ta có: $2018=504.4+2 \Rightarrow y^{(2018)}(x)=y^{\prime \prime}(x)=-\cos x$
Đáp án: A
Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y=\sin 5 x . \sin 3 x$ là:
Biến đổi biểu thức về dạng tổng(hiệu) rồi đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y=\sin 5 x . \sin 3 x=-\dfrac{1}{2}(\cos 8 x-\cos 2 x)$
$\begin{aligned} \Rightarrow y^{\prime} &=-\dfrac{1}{2}(-8 \sin 8 x+2 \sin 2 x)=4 \sin 8 x-\sin 2 x \\ y^{\prime \prime} &=32 \cos 8 x-2 \cos 2 x \\ y^{\prime \prime \prime} &=-256 \sin 8 x+4 \sin 2 x \\ y^{(4)} &=-2048 \cos 8 x+8 \cos 2 x \end{aligned}$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Viết các đạo hàm cấp 1,2,3 rồi xét từng đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y^{\prime}=\dfrac{\left(2 x-x^{2}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{2 x-x^{2}}}=\dfrac{2-2 x}{2 \sqrt{2 x-x^{2}}}=\dfrac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}$
$y^{\prime \prime}=\dfrac{-\sqrt{2 x-x^{2}}-(1-x) \cdot \dfrac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}}{2 x-x^{2}}$
$=\dfrac{-\left(2 x-x^{2}\right)-(1-x)^{2}}{\sqrt{2 x-x^{2}}\left(2 x-x^{2}\right)}=\dfrac{-2 x+x^{2}-1+2 x-x^{2}}{\sqrt{2 x-x^{2}}\left(2 x-x^{2}\right)}=\dfrac{-1}{\sqrt{\left(2 x-x^{2}\right)^{3}}}$
Thay vào $y^{3} \cdot y^{\prime \prime}+1=\left(\sqrt{2 x-x^{2}}\right)^{3} \cdot \dfrac{-1}{\sqrt{\left(2 x-x^{2}\right)^{3}}}+1=-1+1=0$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=x^{3}+3 x^{2}+1$ có đồ thị $(C)$. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $A(1;5) $ và $B$ là giao điểm thứ hai của d với $(C)$. Tính diện tích tam giác $OAB$?
Viết phương trình đường tiếp tuyến sau đó xét phương trình hoành độ tìm điểm B qua đó tìm được diện tích cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=3 x^{2}+6 x \Rightarrow y^{\prime}(1)=9$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A(1;5) $ là$y=9(x-1)+5=9 x-4 \Leftrightarrow 9 x-y-4=0(d)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$x^{3}+3 x^{2}+1=9 x-4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-5 \Rightarrow y=-49} \\ {x=1 \Rightarrow y=5}\end{array} \Rightarrow B(-5 ;-49)\right.$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow A B=\sqrt{(-5-1)^{2}+(-49-5)^{2}}=6 \sqrt{82}} \\ {d(O ; A B)=d(O ; d)=\dfrac{|-4|}{\sqrt{9^{2}+1^{2}}}=\dfrac{4}{\sqrt{82}}} \\ {4 \Rightarrow S_{\Delta O A B}=\dfrac{1}{2} d(O ; d) \cdot A B=\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{\sqrt{82}} \cdot 6 \sqrt{82}=12}\end{array}$
Đáp án đúng: A
Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi d là khoảng cách từ điểm $A(1;1)$ đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị $(C)$. Tìm giá trị lớn nhất của d?
Viết phương trình tiếp tuyến rồi tính khoảng cách theo ẩn sau đó đánh giá để tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{-3}{(x-1)^{2}}$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ là:
$\begin{aligned} y=\dfrac{-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+1+\dfrac{3}{x_{0}-1} & \Leftrightarrow \dfrac{-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} x-y +\dfrac{3 x_{0}}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}+1+\dfrac{3}{x_{0}-1} &=0 \end{aligned}$
$\Rightarrow d(A ; \Delta)=\dfrac{\left|\dfrac{-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}-1+\dfrac{3 x_{0}}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}+1+\dfrac{3}{x_{0}-1}\right|}{\sqrt{\dfrac{9}{\left(x_{0}-1\right)^{4}}+1}}$= $\dfrac{\left|\dfrac{-3+3 x_{0}+3 x_{0}-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\right|}{\sqrt{\dfrac{9}{\left(x_{0}-1\right)^{4}}+1}}$
$=\dfrac{\dfrac{\left|6 x_{0}-6\right|}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}}{\dfrac{\sqrt{\left(x_{0}-1\right)^{4}+9}}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}}=\dfrac{6\left|x_{0}-1\right|}{\sqrt{\left(x_{0}-1\right)^{4}+9}}=6 \sqrt{\dfrac{\left(x_{0}-1\right)^{2}}{\left(x_{0}-1\right)^{4}+9}}$
Đặt $t=\left(x_{0}-1\right)^{2}(t \geq 0) \Rightarrow d=6 \sqrt{\dfrac{t}{t^{2}+9}}$
Xét hàm số $f(t)=\dfrac{t}{t^{2}+9}(t>0)$
Có $f^{\prime}(t)=\dfrac{t^{2}+9-t \cdot 2 t}{\left(t^{2}+9\right)^{2}}=\dfrac{-t^{2}+9}{\left(t^{2}+9\right)^{2}}=0 \Leftrightarrow t=3$
$f(3)=\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow d=\sqrt{6} \Rightarrow d_{\max }=\sqrt{6}$
Đáp án: C
Tổng $S=1^{2} C_{2018}^{1} \cdot 2^{0}+2^{2} C_{2018}^{2} \cdot 2^{1}+3^{2} C_{2018}^{3} \cdot 2^{2}+\ldots+2018^{2} C_{2018}^{2018} \cdot 2^{2017}=2018.3^{a}(2 b+1)$
với $a, b$ là các số nguyên dương và $2b+1$ không chia hết cho 3. Tính $a+b$.
Khai triển $(1+x)^{2018}$ và đạo hàm hai vế
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1} \cdot x+C_{2018}^{2} \cdot x^{2}+\ldots+C_{2018}^{2018} \cdot x^{2018}=(1+x)^{2018}$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow C_{2018}^{1}+2 C_{2018}^{2} \cdot x+\ldots+2018 C_{2018}^{2018} \cdot x^{2017}=2018 .(1+x)^{2017}} \\ {\Rightarrow C_{2018}^{1} \cdot x+2 . C_{2018}^{2} \cdot x^{2}+\ldots+2018 C_{2018}^{2018} \cdot x^{2018}=2018 x .(1+x)^{2017}} \\ {\Rightarrow C_{2018}^{1}+2^{2} \cdot C_{2018}^{2} \cdot x+\ldots+2018^{2} C_{2018}^{2018} \cdot x^{2018}=2018(1+x)^{2017}+2018.2017 . x(1+x)^{2016}}\end{array}$
Thay $x=2 \Rightarrow S=2018.3^{2017}+2018.2017 .2 .3^{2016}=2018.3^{2016}(2.2017+3)$ $=2018.3^{2016}(2.2018+1)$
Vậy $a=2016, b=2018 \Rightarrow a+b=4034$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)=(2018+x)(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots .(1+2018 x)$. Tính $f^{\prime}(1)$.
Đạo hàm của $f(x)$ thay $x=1$ thấy quy luật của đạo hàm sau đó sử dụng cấp số cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(x)=(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots(1+2018 x)} \ {+(2018+x) .2 \cdot(2016+3 x) \ldots(1+2018 x)} \\ {+\ldots+(2018+x)(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots .2018}\end{array}$
Suy ra
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(1)=2019^{2017}+2.2019^{2017}+3.2019^{2017}+\ldots+2018.2019^{2017}} \\ {=2019^{2017}(1+2+3+\ldots+2018)} \\ {=2019^{2017} \cdot \dfrac{2018.2019}{2}=1009.2019^{2018}}\end{array}$
Đáp án: C
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn: $f^{3}(2-x)-2 f^{2}(2+3 x)+x^{2} \cdot g(x)+36 x=0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$. Tính $A=3 f(2)+4 f^{\prime}(2)$.
- Đạo hàm giả thiết ta được một biểu thức chứa cả $f(u);f\'(u)$ sau đó thay $x=x_0$ để $u=2$
- Xét từng trường hợp cụ thể của $f(2)$ để tìm ra $f\'(2)$ suy ra được $A$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $\forall x \in \mathbb{R}$, ta có $f^{3}(2-x)-2 f^{2}(2+3 x)+x^{2} \cdot g(x)+36 x=0$
Đạo hàm hai vế của (1) ta được
$-3 f^{2}(2-x) \cdot f^{\prime}(2-x)-12 f(2+3 x) \cdot f^{\prime}(2+3 x)+2 x . g(x)+x^{2} . g^{\prime}(x)+36=0(2)$
Từ (1) và (2), thay $x=0$, ta có $\left\{\begin{array}{l}{f^{3}(2)-2 f^{2}(2)=0} \\ {-3 f^{2}(2) \cdot f^{\prime}(2)-12 f(2) \cdot f^{\prime}(2)+36=0 \text { (4) }}\end{array}\right.$
Từ (3), ta có $f(2)=0 \vee f(2)=2$
Với $f(2)=0$, thế vào (4) ta được $36=0$ (vô lí).
Với $f(2)=2$, thế vào (4) ta được $-36 . f^{\prime}(2)+36=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(2)=1$
Vậy $A=3 f(2)+4 f^{\prime}(2)=3.2+4.1=10$
Đáp án: D