Cho hàm số $y=x^{3}-6 x^{2}+9 x$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) song song với d: $y = 9x$ có phương trình là:
Từ điều kiện 2 đường thẳng song song ta tìm đc tiếp điểm sau đó viết đc phương trình tiếp tuyến
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=3 x^{2}-12 x+9$
$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0$ là $y=\left(3 x_{0}^{2}-12 x_{0}+9\right)\left(x-x_{0}\right)+x_{0}^{3}-6 x_{0}^{2}+9 x_{0}$ (d)
$\begin{array}{l}{d / /(y=9 x) \Leftrightarrow y^{\prime}\left(x_{0}\right)=9 \Rightarrow 3 x_{0}^{2}-12 x_{0}+9=9 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x_{0}=0} \\ {x_{0}=4}\end{array}\right.} \\ {\text { Với } x_{0}=4 \Rightarrow(d) : y=9(x-4)+4=9 x-32} \\ {\text { Với } x_{0}=0 \Rightarrow(d) : y=9(x-0)+0=9 x(k t m)}\end{array}$
Đáp án: D
Tiếp tuyễn tại điểm $M(1; 3)$ cắt đồ thị hàm số $y=x^{3}-x+3$ tại điểm thứ hai khác M, N. Toạ độ điểm N là:
- Sử phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
- Tìm giao điểm của tiếp tuyến vừa tìm được với đồ thị hàm số ban đầu
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y^{\prime}=3 x^{2}-1 \Rightarrow y^{\prime}(1)=2$
$\Longrightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số tại điểm M(1; 3) là: $y=2(x-1)+3=2 x+1$
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\begin{array}{l}{x^{3}-x+3=2 x+1 \Leftrightarrow x^{3}-3 x+2=0} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-2 \Rightarrow y=-3 \Rightarrow N(-2 ;-3)} \\ {x=1}\end{array}\right.}\end{array}$
Đáp án: A
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}+2$ tại điểm có hoành độ $x_{0}$ thoả mãn $f{\'\' }\left(x_{0}\right)=0$?
- Tìm điểm có hoành độ $x_0$ thỏa mãn $f\'\'(x_0)=0$
- Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị số tại một điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{y=f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2} \\ {f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x, f^{\prime \prime}(x)=6 x-6=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=0 \Rightarrow M(1 ; 0)}\end{array}$
$y^{\prime}(1)=-3 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số tại M(1;0) là: $y=-3(x-1)+0 \Leftrightarrow 3 x+y-3=0$
Đáp án: A
Cho hàm số $\begin{array}{l}\ny = \dfrac{m}{3}{x^3} + {x^2} + x - 5\\\n\n\end{array}$. Tìm $m$ để đạo hàm bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất
Tính đạo hàm sau đó tìm $m$ sao cho đạo hàm có dạng ${\left( {ax + b} \right)^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\' = m{x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {m - 1} \right){x^2}$
Đạo hàm bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất nên $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{2x - 3}}$. Gọi $y = ax + b$ là đường thẳng đi qua các điểm sao cho $y\'=0$ của hàm số. Tổng giá trị của $a+b$ là
Đường đi qua tất cả các điểm sao cho $y\'=0$ của hàm số $y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ có dạng $y = \dfrac{{f\'\left( x \right)}}{{g\'\left( x \right)}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng đi qua các điểm sao cho $y\'=0$ của hàm số $y = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{2x - 3}}$ là $y = 3x - 3$
Vậy $a+b=0$
Đáp án C
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}+2$ tại điểm có hoành độ $x_{0}$ thoả mãn $f’^{\prime } \left(x_{0}\right)=0$?
Phương trình tiếp tuyến của hàm số $y=f(x)$ tại $x=x_0$ là $y=f’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y=f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2} \\ {f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x, f^{\prime \prime}(x)=6 x-6=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=0 \Rightarrow M(1 ; 0)}\end{array}$
$y^{\prime}(1)=-3 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số tại M(1;0) là $y=-3(x-1)+0 \Leftrightarrow 3 x+y-3=0$
Đáp án: A
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị $(C) : y=2 x^{3}-6 x^{2}+3$ có hệ số góc nhỏ nhất là:
+) $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} + c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}$
+) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $y=f\'(x_0).(x-x_0)+f(x_0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y^{\prime}=6 x^{2}-12 x$
Hệ số góc của tiếp tuyến $k=6 x_{0}^{2}-12 x_{0}=6\left(x_{0}^{2}-2 x_{0}\right)=6\left(x_{0}-1\right)^{2}-6 \geq-6$
Hệ số góc nhỏ nhất bằng -6 khi $x_{0}=1 \Rightarrow y_{0}=-1$
Vậy phương trình tiếp tuyến là $6 x+y-5=0$
Đáp án A
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - 9t + 27$, trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là:
+) $S\'(t)=v;v\'(t)=a$ với S là quãng đường, v là vận tốc, a là gia tốc
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là $v\left( t \right) = S\'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - 9$
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t là $a\left( t \right) = v\'\left( t \right) = 6t + 6$
Vận tốc triệt tiêu khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Do đó $a(1)=12m/s^2$
Đáp án D
Cho hàm số $f(x)=(a x+b)^{5}$ (với $a, b$ là tham số). Tính $f^{(10)}(1)$
Hàm số đa thức có mũ nguyên thì đạo hàm cấp n với n lớn hơn số mũ cao nhất bằng 0
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(x)=5 a(a x+b)^{4}} \\ {f^{\prime \prime}(x)=20 a^{2}(a x+b)^{3}} \\ {f^{\prime \prime \prime}(x)=60 a^{3}(a x+b)^{2}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{f^{(4)}(x)=120 a^{4}(a x+b)} \\ {f^{(5)}(x)=120 a^{5}} \\ {f^{(6)}(x)=0}\end{array}$
$\Rightarrow f^{(10)}(x)=0 \quad\forall x \in R \Rightarrow f^{(10)}(1)=0$
Đáp án: A
Vận tốc của một chất điểm được biểu thị bởi công thức $v(t)=8t+3t^2$ trong đó t được tính bằng giây và $v(t)$ tính bằng $m/s$. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t=4s$ là:
Gia tốc của một chất điểm bằng đạo hàm của vận tốc của chất điểm đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a(t)=v\'(t)=8+6t$
Với $t=4$ thì $a=32m/s^2$
Đáp án A
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} }}$. Giá trị $f’(0)$ là:
Sử dụng đạo hàm thương $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$ để tính ra $f’(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} }}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{{\left( {3{x^2} + 2x + 1} \right)’.2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} - \left( {3{x^2} + 2x + 1} \right).\left( {2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} } \right)’}}{{{{\left( {2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {6x + 2} \right)2\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} - \left( {3{x^2} + 2x + 1} \right).\dfrac{{9{x^2} + 4}}{{\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} }}}}{{4\left( {3{x^3} + 2{x^2} + 1} \right)}} \\ = \dfrac{{9{x^4} + 6{x^3} - 9{x^2} + 8x + 4}}{{4\left( {3{x^3} + 2{x^2} + 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 2{x^2} + 1} }} \end{array}$
Vậy $f’(0)=1$
Đáp án D
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \sin x,x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ song song với đường thẳng $y= \dfrac x2$ là
Hàm số $f(x)$ có tiếp tuyến với đường thẳng $y = ax + b$ thì hệ số góc $k = f\'\left( x \right) = a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\'\left( x \right) = \cos x$
Do tiếp tuyến song song với $y= \dfrac x2$ nên có $k = f\'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$
$x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{3}$
Đáp án D
Cho hàm số $y = {\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)^2}$. Phương trình $y’=0$ có bao nhiêu nghiệm trên tập số thực
Áp dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y = {\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)^2} \Rightarrow y’ = 2.\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right).\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)’ \\= 2\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right).\left( {5{x^4} - 4x} \right)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 2\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right).\left( {5{x^4} - 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \sqrt[3]{2}\\ x = \sqrt[3]{{\dfrac{5}{4}}} \end{array} \right.$
Đáp án A
Cho hàm số $y=f(x)=-3x^4+4x^3+5x^2-2x+1$. Lấy đạo hàm cấp 1,2,3,..... Hỏi đạo hàm đến cấp nào thì ta được kết quả triệt tiêu?
Hàm số là đa thức bậc n thì đạo hàm đến cấp $n+1$ kết quả sẽ triệt tiêu
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hàm số $f(x)$ là đa thức bậc 4 nên đạo hàm đến cấp 4 sẽ hết biến $x$ suy ra đạo hàm cấp 5 kết quả bằng 0
Đáp án D
Cho hàm số $f(x)=(2018+x)(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots .(1+2018 x)$. Tính $f^{\prime}(1)$.
- Sử dụng đạo hàm tích
- Thay $x=1$ vào đạo hàm thấy nhân tử chung
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(x)=(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots(1+2018 x)} \ {+(2018+x) .2 \cdot(2016+3 x) \ldots(1+2018 x)} \\ {+\ldots+(2018+x)(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots .2018}\end{array}$
Suy ra
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(1)=2019^{2017}+2.2019^{2017}+3.2019^{2017}+\ldots+2018.2019^{2017}} \\ {=2019^{2017}(1+2+3+\ldots+2018)} \\ {=2019^{2017} \cdot \dfrac{2018.2019}{2}=1009.2019^{2018}}\end{array}$
Đáp án: C
Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y=\sin 5 x . \sin 6 x$ là:
- Áp dung công thức biến tích thành tổng của lượng giác
- Đạo hàm hàm số 4 lần áp dụng công thức $\left( {\cos u} \right)\' = - u\'\sin u;\left( {\sin u} \right)\' = u\'\cos u$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y=\sin 5 x . \sin 7 x=-\dfrac{1}{2}(\cos 12 x-\cos 2 x)$
$\begin{aligned} \Rightarrow y^{\prime} &=-\dfrac{1}{2}(-12 \sin 12 x+2 \sin 2 x)=6 \sin 12 x-\sin 2 x \\ y^{\prime \prime} &=72 \cos 12 x-2 \cos 2 x \\ y^{\prime \prime \prime} &=-864 \sin 12 x+4 \sin 2 x \\ y^{(4)} &=-10368 \cos 12 x+8 \cos 2 x \end{aligned}$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=\sin ^{2} x$ . Tính $y^{(2018)}(\pi)$
Sử dụng công thức đạo hàm cấp n của $\cos (ax+b)$ là ${a^n}\cos \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y=\sin ^{2} x=\dfrac{1-\cos 2 x}{2}$
Khi đó $y^{\prime}=\sin 2 x ; y^{\prime \prime}=2 . \cos 2 x=2 . \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{2}\right)$
$y^{(n)}=2^{n-1} \sin \left[2 x+\dfrac{(n-1) \pi}{2}\right]$
Vậy $y^{(2018)}(\dfrac{\pi}4)=2^{2017} \cdot \sin \left(2 . \dfrac{\pi}4+\dfrac{2017 \pi}{2}\right)$$=2^{2017} \cdot \sin \left(1009 \pi\right)=0$
Đáp án B
Giá trị $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+1$ tiếp xúc với đường thẳng $d:y=5$
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=ax+b$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nf\left( x \right) = ax + b\\\nf\'\left( x \right) = a\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+1$ và đường thẳng $y=5$ tiếp xúc với nhau
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^3} - m{x^2} + 1 = 5\left( 1 \right)\\\n3{x^2} - 2mx = 0\left( 2 \right)\n\end{array} \right.$ có nghiệm
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow x\left( {3x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \dfrac{{2m}}{3}\n\end{array} \right.$
Với $x=0$ thay vào $(1)$ không thỏa mãn
Với $x=\dfrac{2m}3$ thay vào $(1)$ ta có ${m^3} = - 27 \Leftrightarrow m = - 3$
Đáp án A
Cho hàm số $f\left( x \right) = - {x^3} - 3m{x^2} - 12x + 3$ với $m$ là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để $f\'(x) \le 0$ với mọi số thực $x$
- Tam thức bậc hai $y=ax^2+bx+c \le 0$ với mọi số thực $x$ khi và chỉ khi $a <0$ và $b^2-4ac \le 0$
- Sử dụng công thức đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6mx - 12$
$f\'(x) \le 0$ với mọi số thực $x$ $ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6mx - 12 \le 0\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)$
$\Leftrightarrow \Delta \' \le 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 36 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2$
Do $m$ là số nguyên nên có 5 giá trị tham số $m$
Đáp án B
Cho hàm số $y = - \dfrac{3}{2}\cos 2x + \dfrac{m}{2}\sin 2x + 2020$. Phương trình $y’=5$ vô nghiệm khi và chỉ khi
- Sử dụng công thức đạo hàm
- Phương trình $a\sin u + b\cos u = c$ vô nghiệm khi và chỉ khi $a^2+b^2 < c^2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = - \dfrac{3}{2}\cos 2x + \dfrac{m}{2}\sin 2x + 2020 \Rightarrow y’ = 3\sin 2x + m\cos 2x$
Phương trình $y’=5$ vô nghiệm khi và chỉ khi $3\sin 2x + m\cos 2x = 5$ vô nghiệm $\Leftrightarrow {3^2} + {m^2} < {5^2} \Leftrightarrow {m^2} < 16 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$
Đáp án A