Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ tại giao điểm với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là?
Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$x=0 \Rightarrow y=2 \Rightarrow$ Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là M(0;2)
$y^{\prime}=\dfrac{-1}{(x+1)^{2}} \Rightarrow y^{\prime}(0)=-1$
$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0;2) là $y=-1(x-0)+2=-x+2$ (d)
Vậy giao điểm của (d) với trục hoành là điểm có hoành độ $x=2$
Đáp án: D
Cho hàm số $y=-x^{3}+3 x-2$có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành có phương trình:
Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành sau đó sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\begin{array}{l}{-x^{3}+3 x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-2 \Rightarrow M(-2 ; 0)} \\ {x=1 \Rightarrow N(1 ; 0)}\end{array}\right.} \\ {y^{\prime}=-3 x^{2}+3}\end{array}$
$y^{\prime}(-2)=-9 \Rightarrow$ Phương tiếp tuyễn của (C) tại M(-2;0) là
$y=-9(x+2)+0=-9 x-18$
$y^{\prime}(1)=0 \Rightarrow$Phương tiếp tuyễn của (C) tại M(1;0) là
$y=0(x-1)+0=0$
Đáp án: B
Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+7 x+2$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2 là:
Tìm điểm cần viết phương trình tiếp tuyến sau đó sử dụng phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình: $\dfrac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+7 x+2=2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+7 x=0 \Leftrightarrow x=0$
Do đó tiếp điểm $A(0 ; 2)$
Ta có: $y^{\prime}=x^{2}-6 x+7$
Hệ số góc tiếp tuyến $y^{\prime}(0)=7$
Phương trình tiếp tuyến tại $A(0 ; 2)$ là: $y=7(x-0)+2=7 x+2$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=x^{3}-6 x^{2}+9 x$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) song song với d: $y = 9x$ có phương trình là:
Tìm tiếp điểm sau đó sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm để viết phương trình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=3 x^{2}-12 x+9$
$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0$ là $y=\left(3 x_{0}^{2}-12 x_{0}+9\right)\left(x-x_{0}\right)+x_{0}^{3}-6 x_{0}^{2}+9 x_{0}$ (d)
$\begin{array}{l}{d / /(y=9 x) \Leftrightarrow y^{\prime}\left(x_{0}\right)=9 \Rightarrow 3 x_{0}^{2}-12 x_{0}+9=9 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x_{0}=0} \\ {x_{0}=4}\end{array}\right.} \\ {\text { Với } x_{0}=4 \Rightarrow(d) : y=9(x-4)+4=9 x-32} \\ {\text { Với } x_{0}=0 \Rightarrow(d) : y=9(x-0)+0=9 x(k t m)}\end{array}$
Đáp án: D
Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \tan \left( {{x^3} - 6x + 2} \right)$ là
Sử dụng công thức đạo hàm của $\tan u(x)$ là ${\left( {\tan \left( {u\left( x \right)} \right)} \right)^\prime } = \dfrac{{u\'\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {u\left( x \right)} \right)}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\'\left( x \right) = {\left( {\tan \left( {{x^3} - 6x + 2} \right)} \right)^\prime } = \dfrac{{3{x^2} - 6}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^3} - 6x + 2} \right)}}$
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị (C) và điểm $M\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ thuộc (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là:
Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án: B
Phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C) : y=x^{3}-2 x+3$ tại điểm $M(1 ; 2)$ là:
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ là $y = f\'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=3 x^{2}-2 \Rightarrow y^{\prime}(1)=1$
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đường cong tại $M(1 ; 2)$ là:
$y=1(x-1)+2=x+1$
Đáp án: C
Tiếp tuyến của đường cong $(C) : y=x \sqrt{x}$ tại điểm $M(1 ; 1)$ có phương trình là:
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ là $y = f\'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y=x \sqrt{x}=x^{\dfrac{3}{2}} \Rightarrow y^{\prime}=\dfrac{3}{2} x^{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3}{2} \sqrt{x} \Rightarrow y^{\prime}(1)=\dfrac{3}{2}$
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đường cong tại $M(1 ; 1)$ là:
$y=\dfrac{3}{2}(x-1)+1=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{1}{2}$
Đáp án: C
Cho hàm số $y=\dfrac{x^{2}+3 x+3}{x+2}$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d: $3 y-x+6=0$ là:
+) Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích hệ số góc bằng -1
+) Tìm tiếp điểm sau đó sử dụng phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$d : 3 y-x+6=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3} x-2 \Rightarrow k_{d}=\dfrac{1}{3}$
Gọi $M\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ là toạ độ tiếp điểm. Ta có $y^{\prime}=\dfrac{x^{2}+4 x+3}{(x+2)^{2}}$.
Tiếp tuyến vuông góc với $d \Rightarrow k_{t t} \cdot k_{d}=-1$
$\Leftrightarrow k_{t t}=-\dfrac{1}{k_{d}}=-3 \Rightarrow y^{\prime}\left(x_{0}\right)=-3$
$\Leftrightarrow \dfrac{x_{0}^{2}+4 x_{0}+3}{\left(x_{0}+2\right)^{2}}=-3 \Leftrightarrow 4 x_{0}^{2}+16 x_{0}+15=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x_{0}=-\dfrac{3}{2}} \\ {x_{0}=-\dfrac{5}{2}}\end{array}\right.$
Với $x_{0}=-\dfrac{3}{2} \Rightarrow y_{0}=\dfrac{3}{2} \Rightarrow$ pttt:
$y=-3\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow y=-3 x-3$.
Với $x_{0}=-\dfrac{5}{2} \Rightarrow y_{0}=-\dfrac{7}{2} \Rightarrow$pttt:
$y=-3\left(x+\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{7}{2} \Leftrightarrow y=-3 x-11$
Đáp án: A
Hàm số $y=\left(x^{2}+1\right)^{3}$ có đạo hàm cấp ba là:
Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp tính lần lượt đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{aligned} y^{\prime} &=3\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{\prime}=6 x\left(x^{2}+1\right)^{2} \\ y^{\prime \prime} &=6\left(x^{2}+1\right)^{2}+6 x \cdot 2\left(x^{2}+1\right) \cdot 2 x \\ &=6\left(x^{2}+1\right)^{2}+24 x^{2}\left(x^{2}+1\right) \end{aligned}$
$\begin{aligned} y^{\prime \prime \prime} &=12\left(x^{2}+1\right) \cdot 2 x+24.2 x \cdot\left(x^{2}+1\right)+24 x^{2} \cdot 2 x \\ &=24 x\left(x^{2}+1\right)+48 x\left(x^{2}+1\right)+48 x^{3} \\ &=24 x\left(x^{2}+1+2\left(x^{2}+1\right)+2 x^{2}\right)=24 x\left(5 x^{2}+3\right) \end{aligned}$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)=(2 x+5)^{5}$. Có đạo hàm cấp 3 bằng:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp là $(u^n)\'=n.u^{n-1}.u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(x)=5(2 x+5)^{4}(2 x+5)^{\prime}=10(2 x+5)^{4}} \\ {f^{\prime \prime}(x)=40(2 x+5)^{3}(2 x+5)^{\prime}=80(2 x+5)^{3}} \\ {f^{\prime \prime \prime}(x)=240(2 x+5)^{2}(2 x+5)^{\prime}=480(2 x+5)^{2}}\end{array}$
Đáp án: B
Cho hàm số $y=\cos ^{2} x$. Tính giá trị của $y^{\prime \prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.
Tính đạo hàm $y\',y\'\',y\'\'\'$ và thay $x = \dfrac{\pi }{3}$ để tính $y\'\'\'\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=-2 \sin x \cos x=-\sin 2 x \Rightarrow y^{\prime \prime}=-2 \cos 2 x \Rightarrow y^{\prime \prime \prime}=4 \sin 2 x$
$\Rightarrow y^{\prime \prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \sqrt{3}$
Đáp án: B
Cho hàm số $y=\left(x^{2}-1\right)^{2}$. Tính giá trị biểu thức $M=y^{(4)}+2 x y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}$.
Khai triển hàm số về dạng hàm đa thức rồi tính các đạo hàm từ cấp 1 đến cấp 4, thay vào biểu thức M và kết luận.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số viết lại: $y=x^{4}-2 x^{2}+1$
Ta có $y^{\prime}=4 x^{3}-4 x, y^{\prime \prime}=12 x^{2}-4, y^{\prime \prime \prime}=24 x, y^{(4)}=24$
Khi đó $M=y^{(4)}+2 x y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}=24+2 x .24 x-4\left(12 x^{2}-4\right)=40$
Đáp án: C
Cho hàm số $y=\sin x$. Chọn câu sai ?
Tính đạo hàm cấp một, hai, ba, biến đổi các công thức lượng giác và suy ra đáp án sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=\cos x=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) \Rightarrow$ Đáp án A đúng
$y^{\prime \prime}=-\sin x=\sin (x+\pi) \Rightarrow$ Đáp án B đúng
$y^{\prime \prime \prime}=-\cos x=\sin \left(x+\dfrac{3 \pi}{2}\right) \Rightarrow$ Đáp án C đúng
Đáp án: D
Cho hàm số $f(x)=x \sin x$. Biểu thức $P=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ có giá bằng:
Tính các giá trị của hàm số $f\',f\'\',f\'\'\'$ tại $x= \dfrac{ \pi }{2}$ và kết luận
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f^{\prime}(x)=\sin x+x \cos x \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=\cos x+\cos x-x \sin x=2 \cos x-f(x)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(x)=-2 \sin x-f^{\prime}(x)$
Khi đó $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x)$
$=f(x)+f^{\prime}(x)+[2 \cos x-f(x)]+\left[-2 \sin x-f^{\prime}(x)\right]=2(\cos x-\sin x)$
$\Rightarrow P=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-2$
Đáp án: B
Xét $y=f(x)=\cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)$. Phương trình $f^{(4)}(x)=-8$ có nghiệm $x \in\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$ là:
- Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số đã cho
- Giải phương trình lượng giác với điều kiện của đề bài
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(x)=-2 \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)} \\ {f^{\prime \prime}(x)=-4 \cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)} \\ {f^{\prime \prime \prime}(x)=8 \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)} \\ {f^{(4)}(x)=16 \cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)}\end{array}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{2 x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2 \pi}{3}+k 2 \pi} \\ {2 x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{2 \pi}{3}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\dfrac{\pi}{2}+k \pi} \\ {x=-\dfrac{\pi}{6}+k \pi}\end{array}(k \in Z)\right.\right.$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=f(x)=-\dfrac{1}{x}$. Xét hai mệnh đề:
(i): $y^{\prime \prime}=f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{2}{x^{3}}$
(ii): $y^{\prime \prime \prime}=f^{\prime \prime \prime}(x)=-\dfrac{6}{x^{4}}$
Mệnh đề nào đúng ?
Tính đạo hàm cấp hai và đạo hàm cấp ba của hàm số ban đầu, sử dụng công thức ${\left( {\dfrac{1}{u}} \right)^\prime } = - \dfrac{{u\'}}{{{u^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=\dfrac{1}{x^{2}}$
$\begin{array}{l}{y^{\prime \prime}=-\dfrac{\left(x^{2}\right)^{\prime}}{x^{4}}=-\dfrac{2 x}{x^{4}}=-\dfrac{2}{x^{3}}} \\ {y^{\prime \prime \prime}=-2 \cdot \dfrac{-\left(x^{3}\right)^{\prime}}{x^{6}}=\dfrac{2.3 x^{2}}{x^{6}}=\dfrac{6}{x^{4}}}\end{array}$
Đáp án: D
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=t^2-2t+2$(t được tính bằng giây, $S$ được tính bằng mét). Tính vận tốc tại thời điểm $t=3s$
+) $S\'(t)=v;v\'(t)=a$ với S là quãng đường, v là vận tốc, a là gia tốc
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $S\'(t)=2t-2$
Nên vận tốc tại thời điểm $t=3s$ là $S\'(3)=4m/s$
Đáp án B
Đạo hàm của hàm số $y = {\cos ^{2019}}x.\cos 2019x$ có dạng là $a.{\cos ^b}x.\sin cx$ . Giá trị của $2a+b+c$ là
+) Sử dụng công thức $\left( {\cos \left( u \right)} \right)\' = - \sin u.u\';\left( {{u^n}} \right)\' = n.{u^{n - 1}}.u\';\left( {uv} \right)\' = u\'v + uv\'$
+) $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\cos ^{2019}}x.\cos 2019x$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = 2019{\cos ^{2018}}x.\left( { - \sin x} \right).\cos 2019x + 2019{\cos ^{2019}}.\left( { - \sin 2019x} \right)\\ = - 2019{\cos ^{2018}}x\left( {\sin x.\cos 2019x + \cos x.\sin 2019x} \right) = - 2019{\cos ^{2018}}x.\sin 2020x\\\n\n\end{array}$
Vậy $2a+b+c=0$
Đáp án A
Một chất điểm chuyển động có phương trình $s\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 9t + 2\left( {t > 0} \right)$, t tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá tị nhỏ nhất?
- Vận tốc của chất điểm bằng đạo hàm của quãng đường.
- Đánh giá theo hàm bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $v\left( t \right) = s\'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 9 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 6 \ge 6$
Vậy vận tốc của chất điểm nhỏ nhất bằng 6 tại thời điểm t=1s
Đáp án D