Cho dãy số $u_{n}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\ldots+\dfrac{1}{n \cdot(n+1)}$ . Khi đó $\lim u_{n}$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{u_{n}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\ldots+\dfrac{1}{n \cdot(n+1)}} \\ {=\dfrac{2-1}{1.2}+\dfrac{3-2}{2.3}+\ldots+\dfrac{n+1-n}{n .(n+1)}} \\ {=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}} \\ {=1-\dfrac{1}{n+1}} \\ {\Rightarrow \lim u_{n}=\lim \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1}\end{array}$
Đáp án C
Giá trị của $B=\lim \dfrac{\sqrt[n]{n !}}{\sqrt{n^{3}+2 n}}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $n! < n^n$
$\Rightarrow 0<\dfrac{\sqrt[n]{n !}}{\sqrt{n^{3}+2 n}}<\dfrac{\sqrt[n]{n^{n}}}{\sqrt{n^{3}+2 n}}=\dfrac{n}{\sqrt{n^{3}+2 n}}$
Mà $\lim 0=0 ; \lim \dfrac{n}{\sqrt{n^{3}+2 n}}=\lim \dfrac{n}{n \sqrt{n+\dfrac{2}{n}}}=\lim \dfrac{1}{\sqrt{n+\dfrac{2}{n}}}=0$
$\Rightarrow \lim \dfrac{\sqrt[n]{n !}}{\sqrt{n^{3}+2 n}}=0 \Rightarrow B=0$
Đáp án C
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{c}{u_{1}=1} \\ {u_{n+1}=\sqrt{u_{n}\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+2\right)\left(u_{n}+3\right)+1},(n \geq 1)}\end{array}\right.$. Đặt
$v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{u_{i}+2}$ Tính $\lim v_{n}$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$u_{2}=\sqrt{1.2 .3 .4+1}=5, u_{n}>0, \forall n=1 ; 2 ; \dots$
Ta có :
$\begin{array}{l}{u_{n+1}=\sqrt{u_{n}\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+2\right)\left(u_{n}+3\right)+1}=\sqrt{\left(u_{n}^{2}+3 u_{n}\right)\left(u_{n}^{2}+3 u_{n}+2\right)+1}} \\ {=\sqrt{\left(u_{n}^{2}+3 u_{n}\right)^{2}+2\left(u_{n}^{2}+3 u_{n}\right)+1}=\sqrt{\left(u_{n}^{2}+3 u_{n}+1\right)^{2}}=u_{n}^{2}+3 u_{n}+1} \\ {\Rightarrow u_{n+1}+1=u_{n}^{2}+3 u_{n}+2=\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+2\right)} \\ {\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{1}{\left(u_{n}+1\right)\left(u_{n}+2\right)}=\dfrac{1}{u_{n}+1}-\dfrac{1}{u_{n}+2}} \\ {\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n}+2}=\dfrac{1}{u_{n}+1}-\dfrac{1}{u_{n+1}+1}}\end{array}$
Do đó $v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{u_{i}+2}=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{u_{i}+1}-\dfrac{1}{u_{i+1}+1}\right)=\dfrac{1}{u_{1}+1}-\dfrac{1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{u_{n+1}+1}$
Xét $u_{n+1}-u_{n}=u_{n}^{2}+3 u_{n}+1-u_{n}=\left(u_{n}+1\right)^{2}>0$ nên Dãy số tăng
Giả sử
$\begin{array}{l}{\lim u_{n+1}=\lim u_{n}=a>0 \Rightarrow a=a^{2}+3 a+1 \Rightarrow a^{2}+2 a+1=0 \Leftrightarrow a=-1(k t m) \Rightarrow} \\ {\lim u_{n}=+\infty} \ {\Rightarrow \lim v_{n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}}\end{array}$
Đáp án C
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=\dfrac{1}{2}} \\ {u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{u_{n}^{2}+4 u_{n}}+u_{n}}{2},(n \geq 1)}\end{array}\right.$
Đặt $v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{u_{i}^{2}}$ , khẳng định nào sau đây đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\sqrt{u_{n}^{2}+4 u_{n}}+u_{n}}{2}-u_{n}=\dfrac{\sqrt{u_{n}^{2}+4 u_{n}}-u_{n}}{2}>\dfrac{\sqrt{u_{n}^{2}}-u_{n}}{2}=0 \Rightarrow\left(u_{n}\right)$ là dãy tăng
Giả sử $\lim u_{n}=a$ thì $a > 0$ và $a=\dfrac{\sqrt{a^{2}+4 a}+a}{2} \Leftrightarrow a=\sqrt{a^{2}+4 a} \Leftrightarrow a^{2}=a^{2}+4 a \Rightarrow a=0$(Vô lý)
Suy ra $\lim u_{n}=+\infty$
$\begin{array}{l}{u_{n}=\dfrac{\sqrt{u_{n-1}^{2}+4 u_{n-1}}+u_{n-1}}{2}} \\ {\Leftrightarrow 2 u_{n}-u_{n-1}=\sqrt{u_{n-1}^{2}+4 u_{n-1}}} \\ {\Leftrightarrow 4 u_{n}^{2}-4 u_{n} u_{n-1}+u_{n-1}^{2}=u_{n-1}^{2}+4 u_{n-1}} \\ {\Leftrightarrow u_{n}^{2}=\left(u_{n}+1\right) u_{n-1}} \\ {\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n}^{2}}=\dfrac{1}{\left(u_{n}+1\right) u_{n-1}}=\dfrac{1}{u_{n-1}}-\dfrac{1}{u_{n}}}\end{array}$
Do đó
$\begin{array}{l}{v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{u_{i}^{2}}=\dfrac{1}{u_{1}^{2}}+\left(\dfrac{1}{u_{1}}-\dfrac{1}{u_{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{u_{2}}-\frac{1}{u_{3}}\right)+\ldots+\left(\dfrac{1}{u_{n-1}}-\dfrac{1}{u_{n}}\right)=\dfrac{1}{u_{1}^{2}}+\dfrac{1}{u_{1}}-\dfrac{1}{u_{n}}} \\ {=6-\dfrac{1}{u_{n}}} \\ {\Rightarrow \lim v_{n}=\lim \left(6-\dfrac{1}{u_{n}}\right)=6-0=6}\end{array}$
Đáp án D
Tìm tất cả các giá trị của a để $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(\sqrt{2 x^{2}+1}+a x\right)$ là $+\infty.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x=-\infty \text { nên } \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\left(\sqrt{2 x^{2}+1}+a x\right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left(-\sqrt{2+\dfrac{1}{x^{2}}}+a\right)=+\infty$
$\Leftrightarrow\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(-\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}}+a\right)=a-\sqrt{2}<0 \Leftrightarrow a<\sqrt{2}$.
Đáp án cần chọn là: B.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x-1) \sqrt{\dfrac{x^{2}}{2 x^{4}+x^{2}+1}}$ bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x-1) \sqrt{\dfrac{x^{2}}{2 x^{4}+x^{2}+1}}} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\left[-\sqrt{\dfrac{x^{2}(x-1)^{2}}{2 x^{4}+x^{2}+1}}\right]} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\left[-\sqrt{\dfrac{x^{2}\left(x^{2}-2 x+1\right)}{2 x^{4}+x^{2}+1}}\right]}\end{array}$
$\begin{array}{l}{=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[-\sqrt{\dfrac{x^{4}-2 x^{3}+x^{2}}{2 x^{4}+x^{2}+1}}\right]} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\left[-\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{4}}}}\right]=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$
Đáp án cần chọn là: A.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+3 x}-\sqrt{x^{2}+4 x}\right)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+3 x}-\sqrt{x^{2}+4 x}\right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{-x}{\sqrt{x^{2}+3 x}+\sqrt{x^{2}+4 x}}} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}+\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}}=-\dfrac{1}{2}}\end{array}$
Đáp án cần chọn là: B.
Giá trị của giới hạn $\lim \left( {12 + \dfrac{{n\sin 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right)$ là
Sử dụng định lí kẹp để tính giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có với mọi $n \in \mathbb{N}$ ta có $\left| {\dfrac{{n\sin 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \dfrac{n}{{{n^2} + 1}}$
Mặt khác $\lim \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = 0$
$ \Rightarrow \lim \left( {\dfrac{{n\sin 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 0 \Rightarrow \lim \left( {12 + \dfrac{{n\sin 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right) = 12$
Đáp án B
Kết quả của $A = \lim \dfrac{{\sqrt[n]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^4} + 6n} }}$ là
Sử dụng định lí kẹp để tính giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với mọi $n \in \mathbb{N}$ ta có $n! < {n^n} \Rightarrow \sqrt[n]{{n!}} < \sqrt[n]{{{n^n}}} = n$
Suy ra $\lim \dfrac{{\sqrt[n]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^4} + 6n} }} < \lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^4} + 6n} }}$
Ta có $\lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^4} + 6n} }} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{6}{{{n^3}}}} }} = 0$
Tính $P = \lim \left( {\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{1 + 2}} + \dfrac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + \dfrac{1}{{1 + 2 + ... + n}}} \right)$
Thu gọn tổng và tính giới hạn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $1 + 2 + 3 + ... + n$ là tổng của cấp số cộng với số hạng đầu là $1$ công sai $d=1$ nên $1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$
Suy ra $\dfrac{1}{{1 + 2 + 3 + ... + n}} = \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{{n + 1}}$
Ta có $P = \lim \left( {\dfrac{2}{1} - \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{4} + ... + \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right) = \lim \left( {2 - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right) = 2$
Đáp án C