Giới hạn $\lim \left(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7 n\right)$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\lim \left(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7 n\right)=3^{n}\left(-5+6\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+7 \dfrac{n}{3^{n}}\right)=-\infty$
Đáp án A
Giá trị của $D=\lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}\right)$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $D=\lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}\right)$
$\begin{array}{l}{=\lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-n\right)-\lim \left(\sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}-n\right)} \\ {=\lim \dfrac{\left(\sqrt{n^{2}+2 n}-n\right)\left(\sqrt{n^{2}+2 n}+n\right)}{\sqrt{n^{2}+2 n}+n}-\lim \dfrac{\left[\left(\sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}-n}\right) \cdot\left(\sqrt[3]{\left(n^{3}+2 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}+n\right)\right]}{\sqrt[3]{\left(n^{3}+2 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}+n}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{=\lim \dfrac{n^{2}+2 n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2 n}+n}-\lim \dfrac{n^{3}+2 n^{2}-n^{3}}{\sqrt[3]{\left(n^{3}+2 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}+n}} \\ {=\lim \dfrac{2 n}{\sqrt{n^{2}+2 n}+n}-\lim \dfrac{2 n^{2}}{\sqrt[3]{\left(n^{3}+2 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}+n^{2}}} \\ {=\lim \dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1}-\lim \dfrac{2}{\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{2}}+\sqrt[3]{1+\dfrac{2}{n}}+1}=1-\dfrac{2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}}\end{array}$
Đáp án C
Giá trị của $C=\lim \dfrac{\left(2 n^{2}+1\right)^{4}(n+2)^{9}}{n^{17}+1}$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$C=\lim \dfrac{n^{8}\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)^{4} \cdot n^{9}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{9}}{n^{17}\left(1+\dfrac{1}{n^{17}}\right)}=\lim \dfrac{\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)^{4} \cdot\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{9}}{1+\dfrac{1}{n^{17}}}=\dfrac{2^{4} \cdot 1}{1}=16$
Đáp án C
Giá trị của $D=\lim \dfrac{\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt[3]{3 n^{3}+2}}{\sqrt[4]{2 n^{4}+n+2}-n}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$D=\lim \dfrac{n\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}-\sqrt[3]{3+\dfrac{2}{n^{3}}}\right)}{n\left(\sqrt[4]{2+\dfrac{1}{n^{3}}+\dfrac{2}{n^{4}}}-1\right)}=\dfrac{1-\sqrt[3]{3}}{\sqrt[4]{2}-1}$
Đáp án C
Giới hạn $\lim \dfrac{\sqrt{n^{2}-3 n-5}-\sqrt{9 n^{2}+3}}{2 n-1}$ bằng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim \dfrac{\sqrt{n^{2}-3 n-5}-\sqrt{9 n^{2}+3}}{2 n-1}=\lim \dfrac{\sqrt{1-\dfrac{3}{n}-\dfrac{3}{n^{2}}-\sqrt{9+\dfrac{3}{n^{2}}}}{2-\dfrac{1}{n}}}=\lim \dfrac{1-3}{2}=-1$
Đáp án D
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-9}$ bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-9}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{x-1}{x+3}=\dfrac{3-1}{3+3}=\dfrac{1}{3}.$
Đáp án cần chọn là: D.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x^{2}+6 x+5}{x^{3}+2 x^{2}-1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x^{2}+6 x+5}{x^{3}+2 x^{2}-1}=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{(x+1)(x+5)}{(x+1)\left(x^{2}+x-1\right)}=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x+5}{x^{2}+x-1}=\dfrac{-1+5}{(-1)^{2}+(-1)-1}=-4$
Đáp án cần chọn là: C.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x}}{x^{2}}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x}}{x^{2}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{\left(x^{2}+x\right)-x}{x^{2}\left(\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x}\right)}=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x}}=+\infty$
vì $1>0 ; \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }}\left(\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x}\right)=0$ và $\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x}>0$ với mọi $x>0.$
Đáp án cần chọn là: D.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x^{5}+1}{x^{3}+1}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x^{5}+1}{x^{3}+1}=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{(x+1)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)}{(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)}=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}{x^{2}-x+1}=\dfrac{5}{3}$
Đáp án cần chọn là: D.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-6 x^{2}+11 x-6}{x^{2}-4}$ bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-6 x^{2}+11 x-6}{x^{2}-4}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-1)(x-3)}{x+2}} \\ {=\dfrac{(2-1)(2-3)}{2+2}=\dfrac{-1}{4}}\end{array}$
Đáp án cần chọn là: C.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$ là:
Liên hợp để khử dạng $\infty-\infty$ rồi tính giá trị của giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1}=\dfrac{0}{2}=0$
Đáp án cần chọn là: A.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{x - 1}}\left( {x \ne 1} \right)\\ n\left( {x = 1} \right) \end{array} \right.$ với $m,n$ là các tham số thực. Các giá trị của $m,n$ để hàm số liên tục tại $x=1$, khi đó tổng giá trị $m+n$ bằng
+) Hàm số liên tục tại 1 điểm $x_0$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
+) $\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = c\left( {c \in \mathbb{R} } \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại $x=1$ ta có $\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = n\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{x - 1}} \end{array} \right.$
Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{x - 1}} = n$
Nhận xét $\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{x - 1}} = n\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 5x + m} \right) = 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 6\\ \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + 5x - 6}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 6} \right) = 7\\ \Rightarrow m + n = 1 \end{array}$
Đáp án B
Tính giới hạn $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\left( {\cot x - \dfrac{1}{{\sin x}}} \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin u\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{u\left( x \right)}}{{\sin u\left( x \right)}} = 1;\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} u\left( x \right) = 0} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\nI = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\left( {\cot x - \dfrac{1}{{\sin x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\left( {\dfrac{{\cos x - 1}}{{\sin x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\cos x - 1}}{{{x^2}}}.\dfrac{x}{{\sin x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - 2{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{x^2}}}.\dfrac{x}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - 2{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{4{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}}.\dfrac{x}{{\sin x}} = - \dfrac{1}{2}\n\end{array}$
Đáp án C
Giới hạn $ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right) = - \dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)$. Giá trị $b-3a$ là ?
Nhân liên hợp để khử dạng $\infty.0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\n\sqrt {{x^2} + 2x} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x = \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x} \right) - 2\sqrt {{x^2} + x} = \dfrac{{2{x^2} + 2x + 2x\sqrt {{x^2} + 2x} - 4{x^2} - 4x}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x} }}\\ = 2x.\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} - \left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x}} = \dfrac{{ - 2x}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 1} \right)}}\n\end{array}$
Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - 2{x^2}}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 1} \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 2\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 1 + \dfrac{1}{x}} \right)}} = - \dfrac{1}{4}$
Vậy $b-3a=1$
Đáp án B
Biết $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax - 1} - x} \right) = 5$. Khi đó giá trị của tham số a là:
Nhân liên hợp để khử dạng vô định $\infty - \infty$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ax - 1}}{{\sqrt {{x^2} + ax - 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{a - \dfrac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{a}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{a}{2}$
Theo đề bài lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax - 1} - x} \right) = 5 \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5 \Leftrightarrow a = 10$
Đáp án A
Tính giới hạn $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^a}.\sin \dfrac{1}{{ax}}\left( {a > 0} \right)$
Sử dụng định lí kẹp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $0 \le \left| {{x^a}.\sin \dfrac{1}{{ax}}} \right| \le {x^a}$
Theo nguyên lí kẹp $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^a} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^a}.\sin \dfrac{1}{{ax}} = 0$
Đáp án C
Tìm giới hạn $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos 2x}}{{2\sin \dfrac{{3x}}{2}}}$
+) Sử dụng công thức nhân đôi
+) Sử dụng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos 2x}}{{2\sin \dfrac{{3x}}{2}}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin \dfrac{{3x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}\dfrac{{\dfrac{{3x}}{2}}}{{\sin \dfrac{{3x}}{2}}}.\dfrac{{2\sin x}}{3} = 0$
Đáp án C
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}}$ là:
Chia cả tử và mẫu cho $x^2$ và tính giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với mọi $x < 0$, ta có $\dfrac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = \dfrac{{{x^2}\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^3}}}} }}{{1 - 2x}} = \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^3}}}} }}{{\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^3}}}} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}} \right) = 0$
Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = + \infty $
Đáp án A
Các giá trị của tham số m để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}}\left( {x < 2} \right)\\ mx + m + 1\left( {x \ge 2} \right) \end{array} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$
- Xét tính liên tục của hàm số tại $x=2$
- Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)=f(2)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1 = f\left( 2 \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{x} = \dfrac{1}{2}$
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x \ne 2$
Do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{6}$
Đáp án A
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ sao cho $f(-1)=2;f(4)=7$. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f(x)=5$ trên đoạn $[-1;4]$
Xét hàm $g(x)=f(x)-5$ trên đoạn $[-1;4]$, tìm số nghiệm của $g(x)$ trong đoạn đó và kết luận.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 5 = 0$. Đặt $g(x)=f(x)-5$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\ng\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - 5 = 2 - 5 = - 3\\\ng\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) - 5 = 7 - 5 = 2\n\end{array} \right. \Rightarrow g\left( { - 1} \right)g\left( 4 \right) < 0$
Vậy phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ hay phương trình $f(x)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$
Đáp án B