Giá trị của $A=\lim \dfrac{2 n^{2}+3 n+1}{3 n^{2}-n+2}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$A=\lim \dfrac{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}{3-\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^{2}}}=\dfrac{2}{3}$
Đáp án C
Cho $u_{n}=\dfrac{n^{2}-3 n}{1-4 n^{3}}$. Khi đó $\lim u_{n}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim u_{n}=\lim \dfrac{n^{2}-3 n}{1-4 n^{3}}=\lim \dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n^{3}}-4}=\dfrac{0}{-4}=0$
Đáp án A
Giá trị của $A=\lim \dfrac{2 n+1}{1-3 n}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim \dfrac{2 n+1}{1-3 n}=\lim \dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}-3}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$
Đáp án C
Giá trị của $C=\lim \sqrt{\dfrac{3.3^{n}+4^{n}}{3^{n+1}+4^{n+1}}}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{C=\lim \sqrt{\dfrac{3.3^{n}+4^{n}}{3^{n+1}+4^{n+1}}}=\lim \sqrt{\dfrac{3.3^{n}+4^{n}}{3.3^{n}+4.4^{n}}}} \\ {=\lim \sqrt{\dfrac{3 \cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+1}{3 \cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+4}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}}\end{array}$
Đáp án B
Cho $u_{n}=\dfrac{3^{n}+5^{n}}{5^{n}}$ . Khi đó $\lim u_{n}$ bằng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim u_{n}=\lim \dfrac{3^{n}+5^{n}}{5^{n}}=\lim \dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}+1}{1}=\dfrac{1}{1}=1$
Đáp án B
Giá trị $\lim \left(n^{3}-2 n+1\right)$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $n^{3}-2 n+1=n^{3}\left(1-\dfrac{2}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}\right)$
VÌ $\lim n^{3}=+\infty$ và $\lim \left(1-\dfrac{2}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}\right)= 1 > 0$ nên $\lim \left(n^{3}-2 n+1\right)=+\infty$
Đáp án D
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng $+\infty ?$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim \dfrac{1+n^{2}}{5 n+5}=\lim \dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}+1}{\dfrac{5}{n}+\dfrac{5}{n^{2}}}=+\infty$
Đáp án B
Cho $u_{n}=\dfrac{n^{2}-3 n}{1-4 n^{2}}$ . Khi đó $\lim u_{n}$ bằng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim u_{n}=\lim \dfrac{n^{2}-3 n}{1-4 n^{2}}=\lim \dfrac{1-\dfrac{3}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}-4}=\dfrac{1}{-4}=-\dfrac{1}{4}$
Đáp án B
Cho $u_{n}=\dfrac{1-4 n}{5 n}$ .Khi đó $\lim u_{n}$ bằng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim u_{n}=\lim \dfrac{1-4 n}{5 n}=\lim \dfrac{\dfrac{1}{n}-4}{5}=\dfrac{-4}{5}=-\dfrac{4}{5}$
Đáp án B
Giá trị của $D=\lim \dfrac{n^{3}-3 n^{2}+2}{n^{4}+4 n^{3}+1}$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$D=\lim \dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{n^{2}}+\dfrac{2}{n^{4}}}{1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{1}{n^{4}}}=\dfrac{0+0+0}{1+0+0}=0$
Đáp án C
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{3 x^{2}-4}-\sqrt{3 x-2}}{x+1}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{3 x^{2}-4}-\sqrt{3 x-2}}{x+1}=\dfrac{\sqrt[3]{12-4}-\sqrt{6-2}}{3}=\dfrac{0}{3}=0$
Đáp án cần chọn là: C.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to -2} \left(3 x^{2}-3 x-8\right)$ bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -2} \left(3 x^{2}-3 x-8\right)=3 \cdot(-2)^{2}-3 \cdot(-2)-8=12+6-8=10$
Đáp án cần chọn là: D.
Tính $\lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{2}-x+7\right)$ bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{2}-x+7\right)=(-1)^{2}-(-1)+7=9$
Đáp án cần chọn là: C.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-x^{3}}{(2 x-1)\left(x^{4}-3\right)}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-x^{3}}{(2 x-1)\left(x^{4}-3\right)}=\dfrac{1-1^{3}}{(2.1-1)\left(1^{4}-3\right)}=0$
Đáp án cần chọn là: C.
Giới hạn $\lim \dfrac{{{{2.3}^n} - {{3.4}^n} + {5^n}}}{{{3^n} + {4^n} - {5^n}}}$ bằng
$\lim {\left( a \right)^n} = 0\left( {\forall a < 1} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\lim \dfrac{{{{2.3}^n} - {{3.4}^n} + {5^n}}}{{{3^n} + {4^n} - {5^n}}} = \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^n} - 1}} = - 1$
Đáp án D
Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^n}}}$
+) Áp dụng cấp số nhân để rút gọn dãy số
+)$\lim {\left( a \right)^n} = 0\left( {\forall a < 1} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_n} = 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^n}}} = 2 + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right)$
$= 2 + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 3 - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}$
Do đó $\lim {u_n} = \lim \left[ {3 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = 3$
Đáp án C
Cho các hàm số $y = x,y = - {x^2} - 2x,y = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}$. Có bao nhiêu hàm số liên tục tại điểm $x=1$
+) Hàm số liên tục tại 1 điểm $x_0$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hai hàm số $y = x,y = - {x^2} - 2x$ liên tục tại điểm $x=1$. Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$
Hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}$ không xác định tại $x=1$ nên hàm số không liên tục tại $x=1$
Vậy có 2 hàm số liên tục tại điểm $x=1$
Đáp án B
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\left( {x \ne 1} \right)\\\n3m\left( {x = 1} \right)\n\end{array} \right.$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số gián đoạn tại điểm $x=1$
Hàm số gián đoạn tại điểm $x_0$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$
Hàm số gián đoạn tại điểm $x=1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \ne f\left( {1} \right)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} \ne 3m \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} \ne 3m\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) \ne 3m \Leftrightarrow 3m \ne 3 \Leftrightarrow m \ne 1\n\end{array}$
Đáp án B
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ để phương trình $2{x^3} - 10x + a = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(-1;0)$
Phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(a;b)$ khi $f(a).f(b)<0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình $2{x^3} - 10x + a = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(-1;0)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {8 + a} \right).a < 0\\ \Leftrightarrow - 8 < a < 0\left( {a \in \mathbb{Z} } \right)\n\end{array}$
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số $a$
Đáp án C
Số thập phân vô hạn tuần hoàn $2,131131...$( chu kì 131) dưới dạng số hữu tỉ có dạng là $2+\dfrac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z})$. Giá trị của $b-7a$ là
+) Số thập vô hạn tuần hoàn $a,\left( b \right) = a + \dfrac{b}{{{{10}^c}}} + \dfrac{b}{{{{10}^{2c}}}} + ... + \dfrac{b}{{{{10}^{nc}}}} + ...$ với $c$ là số chữ số của $b$
+) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn ${u_1}.q + {u_1}.{q^2} + ...{u_1}.{q^n} + ... = {u_1}.\dfrac{1}{{1 - q}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $2,131131... = 2 + \dfrac{{131}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{131}}{{{{10}^6}}} + ... + \dfrac{{131}}{{{{10}^{3n}}}} + ...$
$\begin{array}{l} = 2 + 131.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^3}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + ... + \dfrac{1}{{{{10}^{3n}}}} + ...} \right)\\ = 2 + 131.\dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^3}}}}} = 2 + \dfrac{{131}}{{999}}\n\end{array}$
Vậy $b-7a=82$
Đáp án D