Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_{1}=1 ; a_{n+1}=-\dfrac{3}{2} a_{n}^{2}+\dfrac{5}{2} a_{n}+1, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Số hạng thứ 2018 của dãy số $(a_n)$ có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Ta có $a_{1}=1 ; a_{2}=2 ; a_{3}=0 ; a_{4}=1 ; a_{2}=2 ; a_{6}=0 ; \dots$
Từ đây chúng ta có thể dự đoán $a_{n+3}=a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với $n=1$ thì $a_{1}=1$ và $a_{4}=1$. Vậy đẳng thức đúng với $n=1$
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k \geq 1$, nghĩa là $a_{k+3}=a_{k}$
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là chứng minh $a_{k+4}=a_{k+1}$
Thật vậy, ta có: $a_{k+4}=-\displaystyle\frac{3}{2} a_{k+3}^{2}+\frac{5}{2} a_{k+3}+1$ (theo hệ thức truy hồi)
Theo giả thiết quy nạp thì $a_{k+3}=a_{k}$ nên $a_{k+4}=-\displaystyle\frac{3}{2} a_{k}^{2}+\frac{5}{2} a_{k}+1=a_{k+1}$
Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$. Suy ra $a_{n+3}=a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$
Từ kết quả phần trên, ta có: nếu $m \equiv p(\bmod 3)$ thì $a_{m}=a_{p}$
Ta có $2018 \equiv 2(\bmod 3)$ nên $a_{2018}=a_{2}=2$
Đáp án: A
Cho dãy số $\left(a_{n}\right) $ xác định bởi $a_{1}=1, a_{2}=2$ và $a_{n+2}=\sqrt{3} \cdot a_{n+1}-a_{n}, \forall n \geq 1$. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất sao cho $a_{n+p}=a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
- Trước hết ta kiểm tra phương án với p nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của $\left(a_{n}\right) $:
$\begin{array}{l}{a_{1}=1 ; a_{1}=2 ; a_{3}=2 \sqrt{3}-1 ; a_{4}=4-\sqrt{3} ; a_{5}=2 \sqrt{3}-2 ; a_{6}=2-\sqrt{3} ; a_{7}=-1} \\ {a_{8}=-2 ; a_{9}=1-2 \sqrt{3} ; a_{10}=\sqrt{3}-4}\end{array}$
Dễ dàng thấy $a_{10}=\sqrt{3}-4 \neq 1=a_{1}$ nên phương án A sai.
- Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy ta được
$\begin{array}{l}{\left(a_{n}\right) : a_{1}=1 ; a_{1}=2 ; a_{3}=2 \sqrt{3}-1 ; a_{4}=4-\sqrt{3} ; a_{5}=2 \sqrt{3}-2 ; a_{6}=2-\sqrt{3} ; a_{7}=-1} \\ {a_{8}=-2 ; a_{9}=1-2 \sqrt{3} ; a_{10}=\sqrt{3}-4 ; a_{11}=2-2 \sqrt{3} ; a_{12}=\sqrt{3}-2 ; a_{13}=1 ; a_{14}=2}\end{array}$
Từ đây ta dự đoán được $a_{n+12}=a_{n}, \forall n \geq 1$
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được $a_{n+12}=a_{n}, \forall n \geq 1$. Vậy số nguyên dương p cần tìm là $p=12$
Đáp án: B
Kí hiệu $k !=k(k-1) \ldots .2 .1, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$. Với $n \in \mathbb{N}^{*}$, Đặt $S_{n}=1.1 !+2.2 !+\ldots+n . n !$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Sử dụng $k.k! = \left( {k + 1 - 1} \right).k! = \left( {k + 1} \right).k! - k! = \left( {k + 1} \right)! - k!$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\nk.k! = \left( {k + 1 - 1} \right).k! = \left( {k + 1} \right).k! - k! = \left( {k + 1} \right)! - k!\\\n{S_n} = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = \left( {2! - 1!} \right) + \left( {3! - 2!} \right) + ... + \left( {\left( {n + 1} \right)! - n!} \right)\\ = \left( {n + 1} \right)! - 1\n\end{array}$
Đáp án B
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ có tất cả số hạng đều dương thỏa mãn $u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{2018}=4\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{1009}\right)$. Chọn kết luận đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $S_{2018}=\dfrac{2018}{2}\left(2 u_{1}+2017 d\right), S_{1009}=\dfrac{1009}{2}\left(2 u_{1}+1008 d\right)$
$\begin{array}{l}{u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{2018}=4\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{1009}\right) \Leftrightarrow \dfrac{2018}{2}\left(2 u_{1}+2017 d\right)} \\ {=4 . \dfrac{1009}{2}\left(2 u_{1}+1008 d\right)} \\ {\Leftrightarrow 2 u_{1}+2017 d=2\left(2 u_{1}+1008 d\right) \Leftrightarrow u_{1}=\dfrac{d}{2}}\end{array}$
Dãy số $\left(u_{n}\right) : \dfrac{d}{2}, \dfrac{3 d}{2}, \dfrac{5 d}{2}, \ldots$
Do đó $u_{3}=\dfrac{5 d}{2}, u_{5}=\dfrac{9 d}{2}, u_{14}=\dfrac{27 d}{2}$
Đáp án: C
Cho dãy $\left(u_{n}\right) : u_{1}=5^{3} u_{n+1}=u_{n}^{2} k \in \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn $u_{1} \cdot u_{2} \dots u_{k}=5^{765}$. Giá trị của k là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{2}=5^{3.2}, u_{3}=5^{3.2 .2}=5^{3.2^{2-1}}, u_{4}=5^{3.2^{2}-1}, \ldots$
Nên đặt $u_{n}=5^{v_{n}}$, với $v_{n}=3.2^{n-1}, n \in \mathbb{N}^{*}$.
$\begin{array}{l}{v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{k}=3 \cdot \dfrac{2^{k}-1}{2-1}=3\left(2^{k}-1\right)} \\ {u_{1} \cdot u_{2} \ldots u_{k}=5^{v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{k}}}\end{array}$
Suy ra $3\left(2^{k}-1\right)=765 \Leftrightarrow 2^{k}-1=255 \Leftrightarrow 2^{k}=256 \Leftrightarrow k=8$
Đáp án: C
Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=\dfrac{1}{5}$ và $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{5 n} u_{n}, \forall n \geq 1$. Tìm tất cả giá trị n để $S=\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{u_{k}}{k}<\dfrac{5^{2018}-1}{4.5^{2018}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{5 n} u_{n} \Leftrightarrow \dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{u_{n}}{n}$
Đặt $v_{n}=\dfrac{u_{n}}{n}, \forall n \geq 1$. Suy ra $\left(v_{n}\right)$ là cấp số nhân có công bội $q=\dfrac{1}{5} \text { và } v_{1}=\dfrac{1}{5}$.
Ta có: $ S=\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{u_{k}}{k}=\sum\limits_{k=1}^{n} v_{k}=v_{1} \dfrac{1-q^{n}}{1-q}=\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5^{n}-1}{5^{n}}=T_{n}$
Do $v_{n}>0, \forall n \geq 1$ nên $\left(T_{n}\right)$ là dãy tăng. Suy ra $T_{n}<\dfrac{5^{2018}-1}{4.5^{2018}}=T_{2018} \Leftrightarrow n<2018$
Đáp án: B
Cho dãy số $\left(a_{n}\right)$ thỏa mãn $a_{1}=1$ và $a_{n}=10 a_{n-1}-1, \forall n \geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để $a_{n}>10^{100}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$a_{n}=10 a_{n-1}-1 \Leftrightarrow a_{n}-\dfrac{1}{9}=10\left(a_{n-1}-\dfrac{1}{9}\right)$ (1).
Đặt $b_{n}=a_{n}-\dfrac{1}{9} \Rightarrow b_{1}=a_{1}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$. Từ (1) $\Rightarrow b_{n}=10 b_{n-1}, \forall n \geq 2$
Dãy $\left(b_{n}\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=10$ nên $b_{n}=b_{1} \cdot q^{n-1}=\dfrac{8}{9} \cdot 10^{n-1}$.
Do đó $a_{n}=b_{n}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9} 10^{n-1}+\dfrac{1}{9}, \forall n=1,2, \ldots$
Ta có: $a_{n}>10^{100} \Leftrightarrow \dfrac{8}{9} 10^{n-1}+\dfrac{1}{9}>10^{100}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của n để $a_{n}>10^{100} \text { là } n=102$
Đáp án: C
Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ bởi công thức suy hồi sau $\left\{\begin{array}{c}{u_{1}=0} \\ {u_{n+1}=u_{n}+n ; n \geq 1}\end{array}\right.$; $u_{218}$ nhận giá trị nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}=n$ , suy ra $\left(v_{n}\right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $v_{1}=u_{2}-u_{1}=1$ và công sai $d=1$.
Xét tổng $S_{217}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{217}$
Ta có: $S_{217}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{217}=\dfrac{217 .\left(v_{1}+v_{217}\right)}{2}=\dfrac{217 .(1+217)}{2}=23653$.
Mà $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ suy ra $\begin{array}{l}{S_{217}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{217}=\left(u_{2}-u_{1}\right)+\left(u_{3}-u_{2}\right)+\ldots+\left(u_{218}-u_{217}\right)=u_{218}-u_{1}} \\ {\Rightarrow u_{218}=S_{217}+u_{1}=23653}\end{array}$
Đáp án: A
Cho tập hợp $A=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 \ldots ; 100\}$. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử tập con bất kì $\{a, b, c\} \in S \Rightarrow 1 \leq a, b, c \leq 100 ; a, b,c$ phân biệt.
$a+b+c=91$
Số bộ a, b ,c là $C_{91-1}^{3-1}$.
Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 số giống nhau, số bộ có 2 số giống nhau là $3.45=135$(bộ).
Vậy $n(\Omega)=\left(C_{90}^{2}-3.45\right) : 3 !=645$.
Gọi A là biến cố " a, b,c lập thành cấp số nhân "
Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q>0.
$a+a q+a q^{2}=91 \Leftrightarrow a\left(1+q+q^{2}\right)=1.91=13.7$
TH1: $\left\{\begin{array}{l}{a=1} \\ {1+q+q^{2}=91}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=1} \\ {q=9}\end{array}\right.\right.$
TH2: $\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {1+q+q^{2}=1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {q=0}\end{array}\right.\right.$ loại
TH3: $\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {1+q+q^{2}=1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {q=0}\end{array}\right.\right.$ thỏa mãn
TH4: $\left\{\begin{array}{l}{a=7} \\ {1+q+q^{2}=13}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=7} \\ {q=3}\end{array}\right.\right.$ thỏa mãn
Vậy $n(A)=3$
$P(A)=\dfrac{3}{645}$.
Đáp án: C
Cho dãy số $\left(u_{n}\right) \text { thỏa mãn } \sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+10}=\sqrt{2 u_{1}+6 u_{2}}$ và ${u_{n + 2}} + {u_n} = 2{u_{n + 1}} + 1 \text{ với mọi }n \ge 1$. Giá trị nhỏ nhất của $n \ {\rm{ để }} \ {u_n} > 5050$ là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+10}=\sqrt{2 u_{1}+6 u_{2}} \Leftrightarrow u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+10=2 u_{1}+6 u_{2}$
$\Leftrightarrow\left(u_{1}-1\right)^{2}+\left(u_{2}-3\right)^{2}=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {u_{2}=3}\end{array}\right.$
Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} \ {\rm{ với }} \ n \ge 1 \Rightarrow {v_1} = {u_2} - {u_1} = 2$
Theo giả thiết $u_{n+2}+u_{n}=2 u_{n+1}+1$
$ \Leftrightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = {v_n} + 1,\forall n \ge 1$
Suy ra $\left(v_{n}\right) \text { là cấp số cộng có công sai } d=1 \Rightarrow v_{n}=v_{1}+(n-1) d=n-3$
Ta có
$\begin{array}{l}{u_{n+1}=\underbrace{u_{n+1}-u_{n}}_{v_{n}}+\underbrace{u_{n-1}}_{v_{n-1}}+\ldots+\underbrace{u_{3}-u_{2}}_{v_{2}}+\underbrace{u_{2}-u_{1}}_{v_{1}}+u_{1}=S_{n}+u_{1}} \\ {\text { Với } S_{n}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{n}=\frac{n}{2}\left(v_{1}+v_{n}\right)=\dfrac{n(n-1)}{2}} \\ {\text { Suy ra: } u_{n+1}=\dfrac{n(n-1)}{2}+1 \Rightarrow u_{n}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}+1}\end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{*{20}{l}} {{u_n} > 5050 \Leftrightarrow \dfrac{{(n - 1)(n - 2)}}{2} + 1 > 5050 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10096 > 0 \Leftrightarrow n} { > 101,99} \end{array}$
Vậy số n nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 102.
Đáp án: D