Biết rằng $\displaystyle\frac{1}{1.2 .3}+\frac{1}{2.3 .4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{a n^{2}+b n}{c n^{2}+d n+16}$, Trong đó $a, b, c, d, n$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $T=(a+c)(b+d)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right]$
Suy ra: $\displaystyle\frac{1}{1.2 .3}+\frac{1}{2.3 .4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$
$\begin{array}{l}{=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]} \\ {=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]=\frac{n^{2}+3 n}{4 n^{2}+12 n+8}=\frac{2 n^{2}+6 n}{8 n^{2}+24 n+16}}\end{array}$
Đối chiếu với hệ số, ta được: $a=2 ; b=6 ; c=8 ; d=24$
Suy ra: $T=(a+c)(b+d)=300$
Đáp án: C
Các số $x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số $x+\frac{5}{3}, y-1, 2x-3y$ theo thứ đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm $x$ và $y$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ba số $x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y$ lập thành cấp số cộng nên
$(x+6 y)+(8 x+y)=2(5 x+2 y) \Leftrightarrow x=3 y$
+ Ba số $x+\frac{5}{3}, y-1, 2x-3y$ lập thành cấp số nhân nên
$\left(x+\dfrac{5}{3}\right)(2 x-3 y)=(y-1)^{2}$
Thay $x=3 y$ vào ta được $8 y^{2}+7 y-1=0 \Leftrightarrow y=-1$ hoặc $y=\dfrac{1}{8}$
Với $y=-1$ thì $x=-3$ với $y=\dfrac{1}{8}$ thì $x=\dfrac{3}{8}$
Đáp án: A
Cho cấp số cộng $(u_n)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A: ta có
$\begin{array}{l}{u_{m+k}+u_{n-k}=u_{1}+(m+k-1) d+u_{1}+(n-k-1) d} \\ {=u_{1}+(m-1) d+u_{1}+(n-1) d=u_{m}+u_{n}}\end{array}$
Do đó A là phương án đúng
+ Phương án B. Ta có
$\begin{array}{l}{u_{m+k}+u_{m-k}=u_{1}+(m+k-1) d+u_{1}+(m-k-1) d} \\ {=2\left[u_{1}+(m-1) d\right]=2 u_{m}}\end{array}$
Do đó B là phương án đúng
+ phương án C, Ta có
$u_{m}=u_{1}+(m-1) d=u_{1}+(k-1) d+(m-k) d=u_{k}+(m-k) d$
Do đó C là phương án đúng
+ phương án D. Ta có
$\begin{array}{l}{u_{2 n}+u_{n+1}=u_{1}+(2 n-1) d+u_{1}+n d=u_{1}+(3 n-1) d+u_{1}} \\ {=u_{3 n}+u_{1}}\end{array}$
Vậy phương án D sai
Đáp án: D
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $\displaystyle\frac{1}{x+y}, \frac{1}{y+z}, \frac{1}{z+x}$: Ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giả thiết, ta có:
$\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x}=\frac{2}{y+z} \Rightarrow(y+z)(2 x+y+z)} \\ {=2(x+y)(x+z) \Leftrightarrow y^{2}+z^{2}=2 x^{2}}\end{array}$
Suy ra $y^{2}, x^{2}, z^{2}$ hoặc $z^{2}, x^{2}, y^{2}$ lập thành cấp số cộng.
Đáp án: C
Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau, hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây ... Hỏi trong được bao nhiêu hàng cây theo cách này?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử trồng được n hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là $S=1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Theo giả thiết ta có $\dfrac{n(n+1)}{2}=3003 \Leftrightarrow n=77$
Đáp án: A
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{4}-10 x^{2}+m=0$ có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
- Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng thì $9.10^{2}=100.1 . m \Leftrightarrow m=9$
- Với $m=9$ thì phương trình đã cho trở thành
$x^{4}-10 x^{2}+9=0 \Leftrightarrow x=\pm 1 ; x=\pm 3$
Bốn số $-3,-1,1,3$ lập thành cấp số cộng nên $m=9$ là giá trị cần tìm.
Đáp án: B
Cho cấp số nhân $x, 12, y, 192$. Tìm $x$ và $y$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo tính chất của cấp số nhân ta có: $y^{2}=12.192=2304 \Rightarrow y=\pm 48$
Cũng theo tính chất của cấp số nhân ta có: $x y=12^{2}=144$
Với $y=48$ thì $x=3$; với $y=-48$ thì $x=-3$
Đáp án: C
Cho cấp số cộng 1, 7, 13, ...,$x$ thỏa mãn điều kiện $1+7+13+\ldots+x=280$
Tính giá trị của $x$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cấp số cộng 1, 7, 13, ..., $x$ có số hạng đầu $u_{1}=1$ và công sai $d=6$ nên
$\begin{array}{l}{S_{n}=1+7+\ldots+x=\dfrac{n[2.1+(n-1) \cdot 6]}{2}=280} \\ {\Leftrightarrow 3 n^{2}-2 n=280 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=10(t / m)} \\ {n=-\dfrac{28}{3}(l)}\end{array}\right.}\end{array}$
Vậy $x=u_{10}=u_{1}+9 d=1+9.6=55$
Đáp án: B
Cho cấp số cộng $(x_n)$ có $S_{n}=3 n^{2}-2 n$. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $u_{1}=S_{1}=1$ và $u_{2}=S_{2}=8$.
Vậy $d=u_{2}-u_{1}=7$
Đáp án: B
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn trên?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $(a_{n})$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì $a_1=4$.
Dãy số $(b_n)$ có $0 < \dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}} \le \dfrac{1}{3}$ nên dãy số $(b_n)$ là dãy số bị chặn trên cũng bị chặn dưới.
Dãy số $(c_n)$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi $c_1=12$.
Dãy số $(d_n)$ là dãy đan dấu và $d_{2 n}=(-2)^{2 n}=4^{n}$ lớn tùy ý khi n đủ lớn, còn $d_{2 n+1}=(-2)^{2 n+1}=-2.4^{n} $ nhỏ tùy ý khi n đủ lớn
Đáp án: B
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $(a_{n})$ có $a_1=0, a_2=-1$, nên không tăng
Với dãy $(b_{n})$ ta có $b_{n}=5^{n}+1$ (do $(-1)^{2 n}=1 $)
Vì $b_{n+1}=5^{n+1}+1=5.5^{n}+1>b_{n}, \forall n \geq 1$ nên $(b_{n})$ là một dạy số tăng.
Dãy số $(c_{n})$ là một dãy số giảm vì
$c_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{n+1+\sqrt{n+2}}<\frac{1}{n+\sqrt{n+1}}=c_{n}, \forall n \geq 1$
Dãy số $(d_{n})$ là một dãy số giảm vì: $d_{n+1}=\displaystyle\frac{n+1}{n^{2}+2 n+2}<\frac{n}{n^{2}+1}=d_{n}, \forall n \geq 1$
Đáp án: B
Ba số phân biệt có tổng 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là $u_2$ thì số hạng thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng là
$u_9=u_2+7d,u_{44}=u_2+42d$ với d là công sai của cấp số cộng
Theo đề bài ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_2}.{u_{44}} = u_9^2\\\n{u_2} + {u_9} + {u_{44}} = 217\n\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_2}.({u_2} + 42d) = {({u_2} + 7d)^2}\\\n{u_2} + {u_2} + 7d + {u_2} + 42d = 217\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_2} = 7\\\nd = 4\n\end{array} \right.$
Suy ra $u_1=3$ và ${S_n} = \dfrac{n}{2}(2{u_1} + (n - 1)d) = n(2n + 1)=820$
Vậy $n=20$.
Đáp án A
Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_2} + {u_4} = 10\\\n{u_1} + {u_3} + {u_5} = - 21\n\end{array} \right.$ với công bội $q \in \mathbb{Z} $. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân là
Sử dụng công thức ${S_n} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}};{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_2} + {u_4} = 10\\\n{u_1} + {u_3} + {u_5} = - 21\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1}\left( {q + {q^3}} \right) = 10\\\n{u_1}\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = - 21\n\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \dfrac{{1 + {q^2} + {q^4}}}{{q + {q^3}}} = \dfrac{{ - 21}}{{10}} \Leftrightarrow - 21\left( {q + {q^3}} \right) = 10\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10{q^4} + 21{q^3} + 10{q^2} + 21q + 10 = 0 \Leftrightarrow 10{q^2} + 21q + 10 + \dfrac{{21}}{q} + \dfrac{{10}}{{{q^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 10{\left( {q + \dfrac{1}{q}} \right)^2} + 21\left( {q + \dfrac{1}{q}} \right) - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nq + \dfrac{1}{q} = \dfrac{2}{5}\\\nq + \dfrac{1}{q} = - \dfrac{5}{2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nq = - \dfrac{1}{2}\left( L \right)\\\nq = - 2\n\end{array} \right.\\ \Rightarrow {u_1} = - 1 \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \left( { - 1} \right).\dfrac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 341\n\end{array}$
Đáp án C
Cho ba số $x,5,3y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số $x,3,3y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $|3y-x|$ bằng
+) Cấp số nhân có ${u_k}^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}}$
+) Cấp số cộng có $2{u_k} = {u_{k + 1}} + {u_{k - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x,5,3y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $ \Rightarrow x + 3y = 5.2 \Rightarrow {\left( {x + 3y} \right)^2} = 100$
Lại có $x,3,3y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $ \Rightarrow x.3y = {3^2} \Rightarrow 12xy = 36$
$ \Rightarrow \left| {3y - x} \right| = \sqrt {{{\left( {3y - x} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {3y + x} \right)}^2} - 12xy} = 8$
Vậy $|3y-x|=8$
Đáp án A
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\dfrac{{2n}}{{n + 1}}.\sin n\left( {n \in \mathbb{N}} \right)$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
+) Sử dụng định lý kẹp
+) $| \sin x| \le 1$
+) $0 < \dfrac{{2n}}{{n + 1}} < \dfrac{{2n + 2}}{{n + 1}} = 2 \Rightarrow 0 < \dfrac{{2n}}{{n + 1}} < 2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $0 < \dfrac{{2n}}{{n + 1}} < \dfrac{{2n + 2}}{{n + 1}} = 2 \Rightarrow 0 < \dfrac{{2n}}{{n + 1}} < 2( n \in \mathbb{N})$
Do đó $\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}\dfrac{{2n}}{{n + 1}}.\sin n} \right| = \left| {\dfrac{{2n}}{{n + 1}}} \right|.\left| {\sin n} \right| < 2 \Rightarrow - 2 < {u_n} < 2$
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn
Đáp án C
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 3\\\n{u_{n + 1}} = 6{u_n} + 15\n\end{array} \right.$. Giá trị của $u_{2018}$ có dạng $a^{2018}-b$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Từ công thức truy hồi chuyển về cấp số nhân với cách đặt ẩn phụ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_{n + 1}} = 6{u_n} + 15 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 3 = 6\left( {{u_n} + 3} \right)$
Xét $\left( {{v_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}\n{v_1} = {u_1} + 3 = 6\\\n{v_{n + 1}} = 6{v_n}\n\end{array} \right.$ với ${v_n} = {u_n} + 3$. Suy ra $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1=6$, công bội $q=6$ và $v_n-3=u_n$
$\Rightarrow {u_{2018}} = {v_{2018}} - 3 = {v_1}.{q^{2017}} - 3 = {6.6^{2017}} - 3 = {6^{2018}} - 3$
Vậy $a=2b$
Đáp án C
Giả sử tổng $8 + 88 + 888 + ... + 88...8$( tổng đó có 2019 số hạng) bằng $ \dfrac{a}{b}\left( {\dfrac{{{c^{2020}} - c}}{b} - 2019} \right)$. Giá trị của $2b-a-c$ là
+) Đưa tổng các số về dạng tổng cấp số nhân
+) Sử dụng tổng cấp số nhân ${S_n} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $8 + 88 + 888 + ... + 88...8 = \dfrac{8}{9}\left( {9 + 99 + 999 + ... + 99...9} \right)$
$\begin{array}{l} = \dfrac{8}{9}\left[ {\left( {10 - 1} \right) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + ...\left( {{{10}^{2019}} - 1} \right)} \right] = \dfrac{8}{9}\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2019}} - 2019} \right)\\ = \dfrac{8}{9}\left[ {\dfrac{{10\left( {1 - {{10}^{2019}}} \right)}}{{1 - 10}} - 2019} \right] = \dfrac{8}{9}\left[ {\dfrac{{{{10}^{2020}} - 10}}{9} - 2019} \right]\n\end{array}$
Vậy $2b-a-c=0$
Đáp án C
Ba số tự nhiên phân biệt $x,y,z$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; ba số $x,y - 4,z$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân; đồng thời các số $x + 1;y - 1,z - 6$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Khi đó tích $xyz$ bằng
+) Cấp số cộng ${u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}$
+) Cấp số nhân ${u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} = {u_k}^2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ba số tự nhiên phân biệt $x,y,z$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra $x + z = 2y(1)$
ba số $x,y - 4,z$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân suy ra $xz = {\left( {y - 4} \right)^2}(2)$
ba số $x + 1;y - 1,z - 6$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân suy ra $\left( {x + 1} \right)\left( {z - 6} \right) = {\left( {y - 4} \right)^2}(3)$
$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right) - \left( 2 \right)} - xz + zx + z - 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow z = 6x + 6$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nz = 6x + 6\\\ny = \dfrac{{7x + 6}}{2}\\\nx\left( {6x + 6} \right) = {\left( {\dfrac{{7x + 6}}{2} - 4} \right)^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 2\\\ny = 10\\\nz = 18\n\end{array} \right.$(Do $x,y,z$ là ba số tự nhiên)
Vậy $xyz=360$
Đáp án D
Bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn sao cho $C_n^1,C_n^2,C_n^3$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
+) Sử dụng công thức tổ hợp
+) Cấp số cộng có $2{u_k} = {u_{k + 1}} + {u_{k - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \ge 3$
Ta có $C_n^1,C_n^2,C_n^3$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2C_n^2 = C_n^1 + C_n^3 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow 6\left( {n - 1} \right) = 6 + \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nn = 2\left( L \right)\\\nn = 7\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Vậy có duy nhất giá trị của n
Đáp án B
Có bao nhiêu cặp số $(a;b)$ sao cho ba số $3;a;b$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số $3,a,\dfrac{{9b}}{5}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân
+) Cấp số cộng có $2{u_k} = {u_{k + 1}} + {u_{k - 1}}$
+) Cấp số nhân có ${u_k}^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ba số $3;a;b$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $ \Rightarrow 2a = 3 + b$
Ba số $3,a,\dfrac{{9b}}{5}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $ \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{27b}}{5}$
$ \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{27}}{5}\left( {2a - 3} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\na = 9\\\na = \dfrac{9}{5}\n\end{array} \right.$
Vậy có 2 cặp số
Đáp án C