Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số $-8,28,-80$
Ba số này không lập thành cấp số nhân vì$\displaystyle\frac{28}{-8} \neq \frac{-80}{28}$
+ Phương án B: Ta có $b_{n+1}=\dfrac{4035}{2018} b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $(b_n)$ là cấp số nhân
+ Phương án C: Ta có $\displaystyle\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\frac{25(n+1)}{n}$ (phụ thuộc vào n không phải là không đổi)
Do đó $\left(c_{n}\right)$ không phải là cấp số nhân.
+ Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số $(d_n)$ là 3, 9, 81. Nhận thấy ba số này không lập thành cấp số nhân nên dãy số này không là cấp số nhân.
Đáp án: B
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=3$ và $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{4}, \forall n \geq 1$ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{4}=\dfrac{1}{4}$ nên $(u_n)$ là cấp số nhân có công bội $q=\dfrac{1}{4}$
Suy ra số hạng tổng quát là $u_{n}=u_{1 \cdot} q^{n-1}=3 \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=3.4^{1-n}$
Đáp án: B
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=3n+5$. Dãy số $(u_n)$ là dãy số
+) Dãy số tăng khi $u_{n+1}-u_n > 0$
+) Dãy số giảm khi $u_{n+1}-u_n < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $\forall n \in \mathbb{N}^*$ ta có $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+5-(3n+5)=3 > 0$
Vậy dãy số tăng
Đáp án D
Cho cấp số cộng $(u_n)$, biết $u_1=3;u_6=18$. Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho là
Sử dụng ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(u_n)$ là cấp số cộng nên ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ $ \Rightarrow {u_6} = {u_1} + 5d$
Mặt khác $u_1=3;u_6=18$$\Rightarrow 18 = 3 + 5d \Leftrightarrow d = 3$
Vậy công sai $d=3$
Đáp án C
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_3=6;u_7=-2$. Khi đó $u_4$ bằng
Sử dụng $u_n=u_1+(n-1)d$ để tìm được số hạng đầu và công sai sau đó tính $u_4$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_3} = 6\\\n{u_7} = - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} + 2d = 6\\\n{u_1} + 6d = - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 10\\\nd = - 2\n\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {u_4} = {u_1} + 3d = 4$
Đáp án B
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $x$ để ba số $1,x,x+2$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
Sử dụng công thức ${u_k}^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để ba số $1,x,x+2$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì $x^2=1(x+2)$
$ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của $x$ thỏa mãn
Đáp án C
Cho 3 số $a + 1;3\sqrt a ;a + 3$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tổng tất cả các giá trị của a là
Sử dụng công thức ${u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để ba số $a + 1;3\sqrt a ;a + 4$ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2a + 4 = 6\sqrt a \Leftrightarrow a - 3\sqrt a + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\sqrt a = 1\\\n\sqrt a = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\na = 1\\\na = 4\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Vậy tổng các giá trị a thỏa mãn là 5
Đáp án C
Tổng $S\left( n \right) = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}$ có dạng tổng quát là
Nhân 2 của tổng $S(n)$ sau đó tách phân số để triệt tiêu các phần tử ở giữa cuối cùng rút gọn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $S\left( n \right) = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow 2S\left( n \right) = \dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + ... + \dfrac{2}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\ = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}} = \dfrac{{2n}}{{2n + 1}}\n\end{array}$
$ \Rightarrow S\left( n \right) = \dfrac{n}{{2n + 1}}$
Đáp án D
Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng: $4,7,10,13,16,...$ và $1,6,11,16,21,...$. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?
+) Đưa về công thức tổng quát của 2 cấp số cộng
+) Cho 2 công thức tổng quát bằng nhau và giải phương trình nghiệm nguyên dương
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $u_n=3n+1,u_m=5m-4$
Xét phương trình $3n + 1 = 5m - 4 \Leftrightarrow 3n = 5\left( {m - 1} \right)$
Suy ra $n$ chia hết cho 5 nên $n$ có dạng $1 \le n=5k \le 100$ suy ra $1 \le k \le 20$
Vậy có 20 số
Đáp án A
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120
Sử dụng mối liên hệ $u_n=u_1+(n-1)d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử bốn số hạng đó là $a-3x,a-x,a+x,a+3x$ với công sai là $d=2x$.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n\left( {a - 3x} \right) + \left( {a - x} \right) + \left( {a + x} \right) + \left( {a + 3x} \right) = 20\\\n{\left( {a - 3x} \right)^2} + {\left( {a - x} \right)^2} + {\left( {a + x} \right)^2} + {\left( {a + 3x} \right)^2} = 120\n\end{array} \right.$
$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n4a = 20\\\n4{a^2} + 20{x^2} = 120\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 5\\\nx = \pm 1\n\end{array} \right.$
Vậy bốn số cần tìm là $2,4,6,8$
Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
Sử dụng mối liên hệ $u_n=u_1+(n-1)d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo đề bài ta có
$\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 2\\\n{u_5} = 22\n\end{array} \right. \Rightarrow 22 = {u_1} + 4d \Leftrightarrow d = 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_2} = 7\\\n{u_3} = 12\\\n{u_4} = 17\n\end{array} \right.$
Đáp án A
Cho $a,b,c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Sử dụng mối liên hệ $2{u_k} = {u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo đề bài ta có $a,b,c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng
$ \Rightarrow a + c = 2b \Leftrightarrow b - a = c - b \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2} = {\left( {c - b} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc$
Đáp án B
Cho $b,a,c$ theo thứ tự lập thành ba cấp số cộng. Hỏi các số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng?
Sử dụng mối liên hệ $2{u_k} = {u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $b,a,c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $2a=b+c$
$ \Rightarrow - 2\left( {2a} \right) = - 2\left( {b + c} \right) \Leftrightarrow \left( { - 2b} \right) + \left( { - 2c} \right) = 2\left( { - 2a} \right)$
Đáp án B
Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó?
Sử dụng mối liên hệ $u_n=u_1+(n-1)d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $n$ là số tuần anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoản tiết kiện thì của mình
Số tiền anh ta tiết kiệm được sau n tuần đó là $S=42+8n$
Theo đề bài ta có $S = 42 + 8n \ge 400 \Leftrightarrow n \ge 44,75 \Rightarrow n = 45$
Vậy kể cả tuần đầu thì tuần thứ 46 anh ta có đủ tiền để mua cây guitar đó
Đáp án D
Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là
Sử dụng mối liên hệ $u_n=u_1.q^{n-1}$ và công thức tổng các số hạng của cấp số nhân ${S_n} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 160\\\n{u_6} = 5\n\end{array} \right. \Rightarrow 5 = {q^5}.{u_1} \Rightarrow q = \sqrt[5]{{\dfrac{5}{{160}}}} = \dfrac{1}{2}$
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là ${S_6} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^6}}}{{1 - q}} = 315$
Đáp án B
Chọn khẳng định đúng trong những khẳng định dưới đây:
- Xét từng phương án riêng
- Cấp số cộng xảy ra khi $u_{n+1}-u_n=d$ với d là hằng số
- Cấp số nhân xảy ra khi $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ với q là hằng số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương án A: Dãy số xác định bởi $u_1=3;u_{n+1}=u_n+5$ là một cấp số cộng với mọi $n \in \mathbb{N}^+$ vì $u_{n+1}-u_n=5$ nên A Sai
Phương án B: Dãy số xác định bởi $u_1=3;u_{n+1}=u_n+n$ không phải là cấp số cộng vì $u_{n+1}-u_n=n$ với n không phải là hằng số
Phương án C: Dãy số xác định bởi $u_1=3;u_{n+1}=3u_n$ là một cấp số nhân với mọi $n \in \mathbb{N}^+$ vì $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=3$ nên C đúng
Đáp án C
Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng. Thế thì một cạnh có thể có độ dài bằng:
Sử dụng công thức $2u_k=u_{k+1}+u_{k-1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $a,b,c$ là độ dài của ba cạnh tam giác
Giả sử $a < b < c$ $\Rightarrow a + c = 2b \Rightarrow a + c = 2\sqrt {{c^2} - {a^2}} \Rightarrow a = 0,6c \Rightarrow a:b:c = 3:4:5$
Một cạnh nào đó phải là bội của một trong ba số $3:4:5$ suy ra 81
Đáp án C
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
- Xét từng phương án
- Sử dụng lý thuyết cấp số cộng và cấp số nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân với công bội là 1 hoặc là một cấp số cộng với công sai là 0
Một cấp số cộng có công sai d dương ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{u_1} + nd} \right) - \left( {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) = d > 0$ là dãy số tăng
Vậy D phát biểu sai
Đáp án D
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Dãy số là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n+1}-u_n=d$ là một hằng số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương án A: ta có $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-n^2=2n+1$ phụ thuộc vào biến $n$ nên $u_n=n^2$ không phải là cấp số cộng
Phương án B: ta có $u_{n+1}-u_n=(-1)^{n+1}.(n+1)-(-1)^n.n$ phụ thuộc vào biến $n$ nên $u_n=(-1)^n.n$ không phải là cấp số cộng
Phương án C: ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}} - \dfrac{n}{{{3^n}}} = \dfrac{{1 - 2n}}{{{3^{n + 1}}}}$ phụ thuộc vào biến $n$ nên $u_n=\dfrac{n}{3^n}$ không phải là cấp số cộng
Đáp án D
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Dãy số là cấp số nhân khi và chỉ khi $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q$ là một hằng số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương án A ta có $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3$ suy ra dãy số $u_n=3^n$ là cấp số nhân với công bội $q=3$
Đáp án A