Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Khi tính xác suất của biến cố " Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh", ta được kết quả
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố "Lấy lần thứ hai được viên bi xanh". Có hai trường hợp xảy ra
TH1. Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là $ P_{1}=\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7}=\dfrac{5}{14}$
TH2. Lấy làn thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là
$P_{2}=\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{56}$
Vậy $(A)=P_{1}+P_{2}=\dfrac{5}{14}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{35}{56}=\dfrac{5}{8}$
Đáp án: A
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{26}$ trong khai triển nhị thưc Newton của $\left(\dfrac{1}{x^{4}}+x^{7}\right)^{n}$, biết $C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{20}-1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}+C_{2 n+1}^{n+1}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1}=2^{2 n+1}$
Vì $C_{2 n+1}^{k}=C_{2 n+1}^{2 n+1-k}$ nên:
$\begin{array}{l}{C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}+C_{2 n+1}^{n}+C_{2 n+1}^{n-1}+\ldots+C_{2 n+1}^{0}=2^{2 n+1}} \\ {\Leftrightarrow 2\left(C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}\right)=2^{2 n+1}} \\ {\Leftrightarrow C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{2 n}} \\ {\Leftrightarrow C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{2 n}-C_{2 n+1}^{0}=2^{2 n}-1}\end{array}$
Do đó: $2^{2 n}-1=2^{20}-1 \Leftrightarrow n=10$
Khi đó: ${\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^{ - 4}}} \right)^{10 - k}} \cdot {x^{7k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k - 40}}$
Hệ số chứa $x^{26}$ ứng với giá trị $k : 11 k-40=26 \Rightarrow k=6$
Vậy hệ số chứa $x^{26}$ là: $C_{10}^{6}=210$
Đáp án: A
Có 3 chiếc hộp. Hộp A chứa 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Hộp B chứa 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Hộp C chứa 2 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy từ một bi từ hộp đó. Xác suất để được một bi đỏ là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xác suất lấy được 1 hộp bi trong 3 hộp bi là: $\dfrac{1}{3}$
Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp A là $\dfrac{C_{3}^{1}}{C_{8}^{1}}=\dfrac{3}{8}$
Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp B là $\dfrac{C_{2}^{1}}{C_{4}^{1}}=\dfrac{1}{2}$
Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp C là $\dfrac{C_{2}^{1}}{C_{5}^{1}}=\dfrac{2}{5}$
Xác suất để lấy được 1 bi đỏ là: $\dfrac{1}{3} \cdot\left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{17}{40}$
Đáp án: D
Trong một môn học, thầy giáo cho 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi để gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có trường hợp sau
TH1: Đề thi gồm 2D, 2TB, 1K: $C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{2} \cdot C_{5}^{1}$
TH2: Đề thi gồm 2D, 1TB, 2K: $C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{2}$
TH3: Đề thi gồm 3D, 1TB, 1K: $C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{1}$
Vậy có: $C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{2} \cdot C_{5}^{1}+C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{2}+C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{1}=56875$ đề kiểm tra
Đáp án: C
Đa thức $P(x)=\left(1+3 x+2 x^{2}\right)^{10}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{20} x^{20}$. Tìm $a_{15}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $P(x) = {\left( {1 + 3x + 2{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {3x + 2{x^2}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(3x)^{k - i}} \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^i}$
$ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {.3^{k - i}}{.2^i}{x^{k + i}}$
với $0 \leq i \leq k \leq 10$
Do đó $k+i=15$ với các trường hợp
$k=10, i=5 \text { hoặc } k=9, i=6 \text { hoặc } k=8, i=7$
Vậy $a_{15}=C_{10}^{10} \cdot C_{10}^{5} \cdot 3^{5} \cdot 2^{5}+C_{10}^{9} \cdot C_{9}^{6} \cdot 3^{3} \cdot 2^{6}+C_{10}^{8} \cdot C_{8}^{7} \cdot 3.2^{7}$
Đáp án: D
Với n là số nguyên dương, gọi $a_{3 n-3}$ là hệ số của $x^{3 n-3}$ trong khai triển đa thức của $\left(x^{2}+1\right)^{n}(x+2)^{n}$. Tìm n để $a_{3 n-3}=26 n$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{\left(x^{2}+1\right)^{n}=C_{n}^{0} x^{2 n}+C_{n}^{1} x^{2 n-2}+C_{n}^{2} x^{2 n-4}+\ldots+C_{n}^{n}} \\ {(x+2)^{n}=C_{n}^{0} x^{n}+2 C_{n}^{1} x^{n-1}+2^{2} C_{n}^{2} x^{n-2}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}}\end{array}$
Dễ dàng kiểm tra $n=1, n=2$ không thỏa mãn điều kiện bài toán
Với $n \geq 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ phân tích
$x^{3 n-3}=x^{2 n} \cdot x^{n-3}=x^{2 n-2} \cdot x^{n-1}$
Do đó hệ số $x^{3 n-3}$ trong khai triển thành đa thức của
$\left(x^{2}+1\right)^{n}(x+2)^{n}$ là: $a_{3 n-3}=2^{3} \cdot C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{3}+2 \cdot C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{1}$
Suy ra $a_{3 n-3}=26 n \Leftrightarrow \dfrac{2 n\left(2 n^{2}-3 n+4\right)}{3}=26 n \Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$ hoặc $n=5$
Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm
Đáp án: A
Có hai hộp bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số $1,2, \dots, 9$. Hộp II có một số bi được đánh số. Lấy ngẫu nhiên một hộp viên bi, Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là $\dfrac{3}{10}$. Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi X là biến cố: " lấy được cả hai viên bi mang số chẵn"
Gọi A là biến cố: " lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I"
$\Rightarrow P(A)=\dfrac{C_{4}^{1}}{C_{9}^{1}}=\dfrac{4}{9}$
Gọi B là biến cố: "lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II" $P(B)=\dfrac{3}{10}$
Ta thấy hai biến cố A, B là 2 biến cố độc lập với nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
$P(X)=P(A . B)=P(A) \cdot P(B)=\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{2}{15}$
Đáp án: A
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 3 có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các chữ số $\{2,2,3,3,3, a, b\}$ với $a, b \in\{0,1,4,5,6,7,8,9\}$, ể cả số 0 đứng đầu
Ta được $7 !$ số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai chữ số 2 cho nhau hoặc các chữ số 3 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả
$\dfrac{7 !}{2 ! .3 !}=420$ số
Vì có $A_{8}^{2}$ cách chọn $ a, b$ nên ta có: $420 . A_{8}^{2}=23520$ số
TH chữ số 0 đứng đầu: Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số $\{2,2,3,3,3, x\}$ với $x \in\{1,4,5,6,7,8,9\}$
Tương tự như trên ta tìm được $\dfrac{6 !}{2 ! .3 !} A_{7}^{1}=420$ số
Vậy số các số thỏa mãn: $23520-420=23100$
Đáp án: A
Tính tổng $S=\dfrac{1}{2018}\left(C_{2018}^{1}\right)^{2}+\dfrac{2}{2017}\left(C_{2018}^{2}\right)^{2}+\ldots+\dfrac{2017}{2}\left(C_{218}^{2017}\right)^{2}+\dfrac{2018}{1}\left(C_{2018}^{2018}\right)^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $C_{n}^{k}=\dfrac{n-k+1}{k} \cdot C_{n}^{k-1}$ với $\forall k \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}, n \geq k$ nên:
$\begin{array}{l}{S=\dfrac{1}{2018} C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{1}+\dfrac{2}{2017} C_{2018}^{2} . C_{2018}^{2}+\ldots} \\ {+\dfrac{2017}{2} C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2017}+\dfrac{2018}{1} C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{2018}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{S=\frac{1}{2018} C_{2018}^{1} \cdot \frac{2018}{1} C_{2018}^{0}+\frac{2}{2017} C_{2018}^{2} \cdot \frac{2017}{2} C_{2018}^{1}} \\ {+\ldots+\frac{2017}{2} C_{2018}^{2017} \cdot \frac{2}{2017} C_{2018}^{2018}+\frac{2018}{1} C_{2018}^{2018} \cdot \frac{1}{2018} C_{2018}^{2018}}\end{array}$
$=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{0}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{1}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{2017}$
Mà $C_{2018}^{k}=C_{2018}^{2018 \cdot k}$ suy ra
$S=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{2017}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{1}$
Mặt khác ta có:
$\begin{array}{l}{(1+x)^{2018}=\sum\limits_{k=0}^{2018} C_{2018}^{k} x^{k}} \\ {\Rightarrow(1+x)^{2018} \cdot(1+x)^{2018}=\sum\limits_{k=0}^{2018} C_{2018}^{k} x^{k} \cdot \sum\limits_{l=0}^{2018} C_{2018}^{l} x^{l}} \\ {=\sum\limits_{k, l=0}^{2018} C_{2018}^{k} \cdot C_{2018}^{l} \cdot x^{k+l}(1)}\end{array}$
Suy ra hệ số của số hạng chứa $x^{2019}$ trong khai triển của (1) là
$S=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{2018}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{1}$
Lại do $(1+x)^{2018} \cdot(1+x)^{2018}=(1+x)^{4036}$
$(1+x)^{4036}=\sum\limits_{n=0}^{4036} C_{4036}^{n} x^{n}(2)$
Suy ra hệ số của số hạng chứa $x^{2019}$ trong khai triển của (2) là $C_{4036}^{2019}$
Vậy $S=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{2017}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{1}=C_{4036}^{2019}$
So sánh với các đáp án bằng máy tính bỏ túi ta được $S=\dfrac{2018}{2019} C_{4036}^{2018}$
Đáp án: D
Tìm số tự nhiên n thoả mãn
$\dfrac{C_{n}^{0}}{1.2}+\dfrac{C_{n}^{1}}{2.3}+\dfrac{C_{n}^{2}}{3.4}+\ldots+\dfrac{C_{n}^{n}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{2^{100}-n-3}{(n+1)(n+2)}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{\dfrac{C_{n}^{k}}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !(k+1)(k+2)}} \\ {=\dfrac{(n+2) !}{(n-k) !(k+2) !(n+1)(n+2)}=\dfrac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+1)(n+2)}}\end{array}$
Suy ra: $\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{n}^{k}}{(k+1)(k+2)}=\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+1)(n+2)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{C_{n}^{0}}{1.2}+\dfrac{C_{n}^{1}}{2.3}+\dfrac{C_{n}^{2}}{3.4}+\ldots+\dfrac{C_{n}^{n}}{(n+1)(n+2)}$$=\dfrac{C_{n+2}^{2}+C_{n+2}^{3}+C_{n+2}^{4}+\ldots+C_{n+2}^{n+2}}{(n+1)(n+2)}$ (*)
Ta xét khai triển sau: $(1+x)^{n+2}=C_{n+2}^{0}+x . C_{n+2}^{1}+x^{2} \cdot C_{n+2}^{2}+x^{3} \cdot C_{n+2}^{3}+\ldots+x^{n+2} \cdot C_{n+2}^{n+2}$
Chọn $x=1 \Rightarrow 2^{n+2}=C_{n+2}^{0}+C_{n+2}^{1}+C_{n+2}^{2}+C_{n+2}^{3}+\ldots+C_{n+2}^{n+2}$
Do đó: $(*) \Leftrightarrow \dfrac{2^{100}-n-3}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{2^{n+2}-C_{n+2}^{0}-C_{n+2}^{1}}{(n+1)(n+2)} \Leftrightarrow 2^{100}=2^{n+2} \Leftrightarrow n=98$
Đáp án: B