Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của biến cố B: " Có ít nhất một số nghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3"
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3. Do đó có 67 tấm thẻ không chia hết cho 3
Vây, số cách chọn 5 tấm thẻ mà không có tấm thẻ nào ghi số chia hết chô 3 là số cách chọn 5 trong 67 tấm thẻ: $C_{67}^{5}$
Vậy $n(B)=C_{100}^{5}-C_{67}^{5}$
Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển $\left(x^{3}-\dfrac{2}{x}\right)^{n}$, biết rằng $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78$ với $x>0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78 \Leftrightarrow \dfrac{n !}{(n-1) ! 1 !}+\dfrac{n !}{(n-2) ! 2 !}=78$
$\Leftrightarrow n+\dfrac{n(n-1)}{2}=78 \Leftrightarrow n^{2}+n-156=0 \Leftrightarrow n=12$
Khi đó: $f(x) = {\left( {{x^3} - \frac{2}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {( - 2)^k}{x^{36 - 4k}}$
Số hạng không chứa x ứng với k: $36-4 k=0 \Rightarrow k=9$
Số hạng không chứ x là: $(-2)^{9} C_{12}^{9}=-112640$
Đáp án: A
Từ các số $0,1,2,3,4,5,6$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $ 1,2,3,4,5,6$ số cách chọn được A là $A_{3}^{2}=6$. Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa A và ba trong 4 số $0 ; 2 ; 4 ; 6$. Gọi $\overline{a b c d} ; a, b, c, d \in\{A, 0,2,4,6\}$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH1: Nếu $a=A$ có 1 cách chọn a và $A_{4}^{3}$ cách chọn $b, c, d$
TH2: $a \neq A$ có 3 cách chọn a
+) Nếu $b=A$ có 1 cách chọn b và $A_{3}^{2}$ cách chọn $c, d$
+) Nếu $c=A$ có 1 cách chọn c và $A_{3}^{2}$ cách chọn $b, d$
Vậy có $A_{3}^{2}\left(A_{4}^{3}+3\left(1 . A_{3}^{2}+1 . A_{3}^{2}\right)\right)=360$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đáp án: A
Một bình đựng 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất để được 3 quả cầu khác màu:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép thử: Lấy ngẫu nhiên ba quả cầu
Ta có $n(\Omega)=C_{12}^{3}=220$
Biến cố A: Lấy được 3 quả cầu khác màu
$\begin{array}{l}{n(A)=5.4 .3=60} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{11}}\end{array}$
Đáp án: C
Một con súc xắc đồng chất được đổ 6 lần. Xác suất để được được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 làn là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $n(\Omega)=6.6 .6 .6 .6 .6=6^{6}$
Có các trường hợp sau:
Số bằng 5 xuất hiện 5 làn, lần còn lại xuất hiện 1 trong 5 số $1,2,3,4,6$
Có $C_{6}^{5} \cdot C_{5}^{1}=30$ kết quả thuận lợi
Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow $ Có 1 kết quả thuận lợi
Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần, lần còn lại xuất hiện 1 trong 5 số $1,2,3,4,5$
$\Rightarrow \operatorname{có} C_{6}^{5} \cdot C_{5}^{1}=30$ kết quả thuận lợi
Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow $ có 1 kết quả thuận lợi
Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là
$P=\dfrac{30+1+30+1}{6^{6}}=\dfrac{31}{23328}$
Đáp án: A
Gieo một đồng tiền 5 lần. Xác định và tính số phần tử của biến cố C: " Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa"
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số trường hợp xuất hiện mặt sấp 3 lần là $C_{5}^{3}=10$
Số trường hợp xuất hiện mặt sấp 4 lần là $C_{5}^{4}=5$
Số trường hợp xuất hiện mặt sấp 5 lần là $C_{5}^{5}=1$
Vậy số phần tử của biến cố " Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa" là: $10+5+1=16$
Đáp án: A
Từ các số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $y=23$, xét các số $x=\overline{a b c d e}$ trong đó $a, b, c, d, e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\{0,1, y, 4,5\}$
Có $P_{5}-P_{4}=96$ số như vậy
Khi ta hoán vị $2,3$ trong y ta được hai số khác nhau
Nên có $96.2=192 $ số thỏa mãn yêu cầu
Đáp án: A
Cho hai đường thẳng song song a và b.Trên đường thẳng a lấy 6 điểm phân biệt; trên đường thẳng b lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng a và b . Tính xác xuất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách chọn 3 điểm từ 11 điểm đã cho là : $n(\Omega)= C_{11}^3=165$
Để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác thì thỏa mãn 3 điểm đó không thẳng hàng.
Do đó có hai trường hợp xảy ra :
- Thứ nhất có hai điểm trên đường thẳng a và một điểm trên đường thẳng b là $C_6^2.C_5^1$ cách
- Thứ hai có một điểm trên đường thẳng a và hai điểm trên đường thẳng b là $C_6^1.C_5^2$ cách
Từ đây suy ra số cách chọn 3 điểm để tạo thành một tam giác là : $C_6^2.C_5^1+C_5^2.C_6^1=135$ cách
Vậy xác suất cần tính là $P=\dfrac{135}{165}=\dfrac{9}{11}$
Đáp án B
Lập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 1 số trong các số lập được. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 25.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có $n\left( \Omega \right) = 9.9.8.7 = 4536$
Gọi số đó là $\overline {abcd} $. Số đó muốn chia hết cho 25 thì điều kiện là $cd$ chia hết cho $25$
Suy ra $cd \in \left\{ {25;50;75} \right\}$
TH1: $cd \in \left\{ {25;75} \right\}$ có 2 cách chọn, a có 7 cách chọn, b có 7 cách chọn nên có $2.7.7=98$ số
Th2: $cd=50$ có 1 cách chọn, a có 8 cách chọn, b có 7 cách chọn nên có $8.7=56$ số
Suy ra $n(A)=154$
Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{154}}{{4536}} = \dfrac{{11}}{{342}}$
Đáp án D
Có bao nhiêu giá trị dương của n thỏa mãn $C_{n - 1}^4 - C_{n - 1}^3 - \dfrac{5}{4}A_{n - 2}^2 < 0$
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp để giải bất phương trình ẩn n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} n - 1 \ge 4\\ n - 1 \ge 3\\ n - 2 \ge 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow n \ge 5 (n \in \mathbb{N})$
Ta có
$\begin{array}{l} C_{n - 1}^4 - C_{n - 1}^3 - \dfrac{5}{4}A_{n - 2}^2 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{4!\left( {n - 5} \right)!}} - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 4} \right)!}} - \dfrac{{5\left( {n - 2} \right)!}}{{4\left( {n - 4} \right)!}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 5} \right)!}}\left( {\dfrac{{n - 1}}{{24}} - \dfrac{{n - 1}}{{6\left( {n - 4} \right)}} - \dfrac{5}{{4\left( {n - 4} \right)}}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n - 1}}{{24}} - \dfrac{{n - 1}}{{6\left( {n - 4} \right)}} - \dfrac{5}{{4\left( {n - 4} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n - 4} \right) - 4\left( {n - 1} \right) - 5.6 < 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 22 < 0\\ \Leftrightarrow n \in \left( { - 2;11} \right)\\ \Rightarrow n \in \left\{ {5;6;7;8;9;10} \right\} \end{array}$
Đáp án A
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?
Coi bộ số 1,2,3 là một số X sử dụng giao hoán, chỉnh hợp và phần bù để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Sắp xếp bộ ba số 1, 2, 3 sao cho 2 đứng giữa 1,3 có 2 cách.
Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 kể cả trường hợp số 0 đứng đầu là: $2.C_7^4.5!$ số
Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3, có số 0 đứng đầu là: $2.C_6^3.4!$ số
Suy ra số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $2.C_7^4.5!-2.C_6^3.4!=7440$ số
Đáp án C
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $A_n^3+2A_n^2=100$. Hệ số của $x^5$ trong khai triển $(1-3x)^{2n}$ bằng
Sử dụng công thức chỉnh hợp để giải phương trình tìm n sau đó tìm hệ số cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \ge 3 ; n \in \mathbb{N}$
Ta có $A_n^3+2A_n^2=100$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2n\left( {n - 1} \right) = 100\\ \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 100 = 0 \Leftrightarrow n = 5\left( {t/m} \right)\n\end{array}$
Số hạng tổng quát khi khai triển nhị thức trên là ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{.1^{10 - k}}.{\left( { - 3x} \right)^k} = {\left( { - 3} \right)^k}.C_{10}^k{x^k}$
Hệ số của $x^5$ khi $k=5$. Do đó hệ số của $x^5$ là $-3^5.C_{10}^5$
Đáp án A
Tổng $C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + ... + C_{2019}^{2019}$ bằng
Sử dụng đẳng thức $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}$
$\Rightarrow C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}}$
$ \Leftrightarrow C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}} - 1$
Đáp án D
Xét khai triển $\left( {1 + ax} \right){\left( {1 - 3x} \right)^6}$ , hệ số của số hạng chứa $x^3$ là $675$ . Tìm giá trị của $a$
- Sử dụng khai triển ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$
- Đồng nhất hệ số và giải phương trình ẩn $a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\left( {1 - 3x} \right)^6} = C_6^0 - 3C_6^1x + 9C_6^2{x^2} - 27C_6^3{x^3} + ...$
Hệ số của $x^3$ trong khai triển $\left( {1 + ax} \right){\left( {1 - 3x} \right)^6}$ là $9aC_6^2-27C_6^3$
Theo đề bài ta có $9aC_6^2 - 27C_6^3 = 675 \Leftrightarrow a = 9$
Đáp án A
Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \dfrac{3}{x}} \right)^{12}} + {\left( {2{x^3} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{21}}$ thì $f(x)$ có bao nhiêu số hạng?
- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $
- Xét có bao nhiêu số mũ của các số hạng có trùng nhau sau đó tính số số hạng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\left( {{x^2} + \dfrac{3}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{x^{24 - 24k}}{{.3}^k}{x^{ - k}} = } \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{3^k}{x^{24 - 3k}}} $
${\left( {2{x^3} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{21}} = \sum\limits_{i = 0}^{21} {C_{21}^i{2^{21 - i}}{x^{63 - 3i}}.{x^{ - 2i}}} = \sum\limits_{i = 0}^{21} {C_{21}^i{2^{21 - i}}{x^{63 - 5i}}} $
Xét phương trình $24 - 3k = 63 - 5i \Leftrightarrow 5i = 3\left( {k + 13} \right) \Rightarrow $ $k$ chia cho $5$ dư $2$ mà $0 \le k \le 12 $ nên có 3 giá trị của $k$
Do đó có 3 số hạng trong hai khai triển trùng nhau
Với khai triển ${\left( {{x^2} + \dfrac{3}{x}} \right)^{12}}$ có 13 số hạng. Với khai triển ${\left( {2{x^3} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{21}}$ có 22 số hạng
Vậy tổng số số hạng trong khai triển $f(x)$ là $35-3=32$
Đáp án B
Trong mặt phẳng cho tập hợp $P$ gồm 89 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 điểm đều thuộc P là
Sử dụng nguyên lí của tổ hợp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng luôn tạo thành duy nhất 1 tam giác
Vậy với 89 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành $C_{89}^3$ tam giác
Đáp án C
Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên chơi nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 84. Hỏi số ván tất cả các vận động viên đã chơi?
Số ván $x$ vận động viên đã chơi là $2.C_x^2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số vận động viên nam là $n$
Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2C_n^2=n(n-1)$
Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $2.2.n=4n$
Vậy ta có $n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12$
Vậy số ván các vận động viên chơi là $2.C_{14}^2=182$
Đáp án C
.
Giả sử ${S_{2020}} = \dfrac{1}{{C_3^3}} + \dfrac{1}{{C_4^3}} + \dfrac{1}{{C_5^3}} + ... + \dfrac{1}{{C_{2020}^3}} = \dfrac{a}{b}$. Giá trị của $a-b$ bằng
Sử dụng công thức tổ hợp sau đó rút gọn để tìm công thức tổng quát của tổng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} \Rightarrow \dfrac{1}{{C_n^3}} = \dfrac{6}{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} = \dfrac{3}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)}} - \dfrac{3}{{\left( {n - 1} \right)n}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{2020}} = \dfrac{6}{{1.2.3}} + \dfrac{6}{{2.3.4}} + \dfrac{6}{{3.4.5}} + ... + \dfrac{6}{{2018.2019.2020}}\\ = \dfrac{3}{{1.2}} - \dfrac{3}{{2.3}} + \dfrac{3}{{2.3}} - \dfrac{3}{{3.4}} + ... + \dfrac{3}{{2018}} - \dfrac{3}{{2019}} + \dfrac{3}{{2019}} - \dfrac{3}{{2020}}\n\end{array}$
$= \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{{2020}} = \dfrac{{6054}}{{4040}}$
Vậy $a-b=2016$
Đáp án A
Từ các chữ số $0,2,3,5,6,8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau
+) Tính số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số đó
+) Sử dụng phần bù để tính số các số chữ số 0 và 5 không đứng nhau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số $0,2,3,5,6,8$ là $6!-5!$
Số các số chữ số 0 và 5 đứng nhau $2.5!-4!$
Số các số chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau là $6!-5!-(2.5!-4!)=384$
Đáp án A
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $5,6,7,8,9$. Tính tổng tất cả các số thuộc tập S
+) Tính được số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số trên
+) Tìm số lần lặp lại của các số ở mỗi hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn
+) Tính từng tổng của hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ $5,6,7,8,9$ là $5!=120$ số
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số $5,6,7,8,9$ xuất hiện ở hàng đơn vị là $4!=24$ lần
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là $24.(5+6+7+8+9)=840$
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần
Vậy tổng các chữ số thuộc tập S là $840.(1+10+10^2+10^3+10^4)=9333240$
Đáp án C