Từ các chữ số $2;5;7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mỗi cách sắp xếp thứ tự $2;5;7$ được 1 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một.
Vậy số chữ số thỏa mãn là $3!=6$ số
Đáp án C
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có bốn
con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 5 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu
cách chọn đường đi đến nhà Cường?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có 5 cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: $4.5=20$ cách
Đáp án D
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 5 cách chọn món ăn
Có 5 cách chọn quả tráng miệng
Có 3 cách chọn nước uống
Vậy số cách chọn thực đơn là $5.5.3=75$ cách
Đáp án D
Cho 6 chữ số $2,4,5,6,7,9$. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó là
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị là $2,4,6$
Có 6 cách chọn chữ số hàng chục là $2,4,5,6,7,9$
Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm là $2,4,5,6,7,9$
Vậy có $3.6.6=108$ số
Đáp án A
Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn cây bút mực: có 8 cách
Chọn cây bút chì: có 8 cách
Theo quy tắc nhân, số cách mua là: $8.8=64$ cách
Đáp án A
Một nữ sinh trung học khi đến trường có thể chọn một trong hai bộ trang phục là
quần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi.
Nữ sinh có 7 chiếc quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách
chọn trang phục:
Chọn số từng trường hợp sau đó sử dụng đồng thời quy tắc nhân và quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nữ sinh được chọn một trong hai bộ trang phục
Trường hợp 1: Quần trắng + áo dài
- có 7 cách chọn quần trắng
- 5 cách chọn áo dài
Suy ra có 5.7 cách chọn bộ trang phục thứ nhất
Trường hợp 2: Quần xanh + áo sơ mi
- có 4 cách chọn quần xanh
- có 6 cách chọn áo sơ mi
Suy ra có 4.6 = 24 cách chọn bộ trang phục thứ 2
Vậy theo quy tắc cộng thì nữ sinh có 35 + 24 = 59 cách
Đáp án A
Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số trong đó hai
chữ số liền kề nhau phải khác nhau
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số có 4 chữ số cần tìm là $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \left( {{a_1} \ne {a_2} \ne {a_3} \ne {a_4}} \right)$
$a_1$ có 7 cách chọn $(a_1 \neq 0)$
$a_2$ có 7 cách chọn $(a_1 \neq a_2)$
$a_3$ có 7 cách chọn $(a_2 \neq a_3)$
$a_4$ có 7 cách chọn $(a_3 \neq a_4)$
Vậy có $7.7.7.7=2401$ số
Đáp án B
Cho tập $A = \{ 1 ,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ sô đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm là $\overline {abcde} $
Chọn vị trí cho chữ số 2: có 5 vị trí
Do trong A không có phần tử chữ số 0 nên ta giả sử $a=2$ ta có
- a có 1 cách chọn
- b có 8 cách chọn
- c có 7 cách chọn
- d có 6 cách chọn
- e có 5 cách chọn
Vậy có tất cả $5.8.7.6.5=8400$ số
Đáp án C
Một người đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, xe buýt hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy, 30 chuyến xe buýt và 5 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách mà người đó đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một ngày
Sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Người đi sẽ có bốn phương án chọn. Phương án thứ nhất là đi bằng ô tô, mà mỗi ngày có 10 chuyến ô tô nên phương án này có 10 cách chọn. Tương tự, phương án thứ hai là đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn, phương án thứ ba là đi bằng tàu thủy có 3 cách chọn, phương án thứ tư là đi bằng xe buýt có 30 cách chọn, phương án thứ năm là đi bằng máy bay có 5 cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 30 + 5 = 53 cách chọn.
Một người đến văn phòng phẫm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút, vở và thướt, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở, 3 loại thước. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn món quà gồm một bút, một vở và một thước?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Một món quà phải có một bút, một vở và một thước.
Một bút được chọn từ 5 loại bút nên có 5 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn một bút, một vở được chọn từ 4 loại vở nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn một bút và một vở, một thước được chọn từ 3 loại thước nên có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 cách chọn mua quà.
Đáp án C
Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để chọn một chiếc đồng hồ, ta phải chọn một mặt và một dây. Một mặt đồng hồ được chọn từ 3 kiểu mặt nên có 3 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn kiểu mặt đồng hồ thì một dây được chọn từ 4 kiểu dây nên có 4 cách chọn. Vậy ta có: $3.4 = 12$ cách chọn mua đồng hồ.
Đáp án C
Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhât 1 học sinh?
Sử dụng tổ hợp và phần bù
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 15 học sinh là $C_{15}^6=5005$
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là $C_6^6=1$ cách
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 11 là $C_9^6=84$ cách
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 12 là $C_{11}^6-C^6_6=461$ cách
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và 12 là $C_{10}^6-C_6^6=209$ cách
Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là $5005-1-84-461-209=4250$ cách
Đáp án B
Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right)$
Sử dụng công thức chỉnh hợp để khai triển sau đó giải phương trình ẩn n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\nn \in N \\\nn \ge 3\n\end{array} \right.$
Với điều kiện phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 5.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 2\left( {n + 15} \right)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 5n\left( {n - 1} \right) = 2\left( {n + 15} \right)\\ \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} - 5n - 30 = 0\\ \Leftrightarrow n = 3\n\end{array}$
Vậy có duy nhất 1 số tự nhiên thỏa mãn
Đáp án C
Số hạng tổng quát trong khai triển của $(1-2x)^{12}$ là:
Số hạng tổng quát trong khai triển ${\left( {a + b} \right)^n}$ là $C_n^k.{a^{n - k}}{b^k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số hạng tổng quát trong khai triển ${\left( {a + b} \right)^n}$ là $C_n^k.{a^{n - k}}{b^k}$
Do đó số hạng tổng quát trong khai triển ${\left( {1 - 2x} \right)^{12}}$ là $C_{12}^k{\left( { - 1} \right)^{12 - k}}.{\left( {2x} \right)^k} = {\left( { - 1} \right)^k}.C_{12}^k{.2^k}{x^k}$
Đáp án C
Có bao nhiêu cách sắp xếp 37 học sinh thành một hàng dọc?
Sử dụng công thức hoán vị giữa các phần tử
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách sắp xếp 37 học sinh thành một hàng dọc là $37!$
Đáp án B
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ${\left( {3x - 9} \right)^{2019}}$
Trong khai triển nhị thức ${\left( {a + b} \right)^n}\left( {n \in \mathbb{N}{^*}} \right)$ thì số các số hạng là $n+1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong khai triển nhị thức ${\left( {a + b} \right)^n}\left( {n \in \mathbb{N}{^*}} \right) = C_n^0{a^n} + C_n^1.{a^{n - 1}}b + C_n^2.{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$ thì số các số hạng là $n+1$
Suy ra trong khai triển $(3x-9)^{2019}$ có 2020 số hạng
Đáp án B
Với năm chữ số $1,3,4,6,9$ có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2?
Sử dụng quy tắc nhân và hoán vị của các phần tử
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm $\overline {abcde} $
Do $\overline {abcde} $ chia hết cho 2 nên $e$ có 2 cách chọn là $4;6$
Bốn chữ số $a;b;c;d$ được chọn và sắp xếp thứ tự nên có $4!$ cách
Vậy có tất cả $2.4!=48$ số
Đáp án B
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tổng 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.
Sử dụng mối liên hệ giữa xác suất biến cố và xác suất của biến cố đối là $P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số phần tử không gian mẫu là $n({\Omega})=6^2=36$
Gọi A là biến cố " tổng 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn".
$\overline A $ là biến cố " tổng 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số lẻ"
Vì tổng 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số lẻ khi 1 xúc xắc xuất hiện mặt lẻ và 1 xúc xắc xuất hiện mặt chẵn
$ \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 3.3 = 9 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{1}{4}$
Vậy $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 0,75$
Lớp 12A5 có 10 học sinh giỏi, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra 3 học sinh đi dự hội nghị “Đổi mới phương pháp dạy và học” của nhà trường. Tính xác suất để có đúng hai học sinh nam và một học sinh nữ được chọn. Giả sử tất cả các học sinh đó đều xứng đáng được đi dự đại hội như nhau.
Sử dụng nguyên lí của tổ hợp và $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách chọn ba học sinh tùy ý từ 10 học sinh giỏi là $C_{10}^3=120$ cách
Số cách chọn để có đúng 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ là $C_6^2.C_4^1=60$ cách
Vậy xác suất cần tìm là $\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$
Đáp án D
Số hạng chứa $x^{12}$ trong khai triển ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}$ là
Sử dụng khai triển Newton ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^{n - k}}{b^k}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^{10 - k}}.{{\left( { - {x^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.2}^{10 - k}}.{x^{10 + k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}} $
Số hạng chứa $x^{12}$ ứng với $10 + k = 12 \Leftrightarrow k = 2$
Vậy số hạng chứa $x^{12}$ là $C_{10}^2{.2^8}.{x^{12}}$
Đáp án C