Giải phương trình $\cos x \cos 2 x \cos 4 x \cos 8 x=\dfrac{1}{16}$
Nhân cả 2 vế với sinx rồi sử dụng công thức nhân đôi để đưa phương trình về dạng cơ bản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\cos x \cos 2 x \cos 4 x \cos 8 x=\dfrac{1}{16}} \\ {\Leftrightarrow 16 \sin x \cos x \cos 2 x \cos 4 x \cos 8 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow 8 \sin 2 x \cos 2 x \cos 4 x \cos 8 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow 4 \sin 4 x \cos 2 x \cos 8 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow 2 \sin 8 x \cos 8 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow 2 \sin 8 x \cos 8 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow \sin 16 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{16 x=x+k 2 \pi}(k \in \mathbb{Z}) \\ {16 x=\pi-x+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})}\end{array}\right.}\end{array}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\dfrac{k 2 \pi}{15}}(k \in \mathbb{Z}) \\ {x=\dfrac{\pi}{17}+\dfrac{k 2 \pi}{17}(k \in \mathbb{Z})}\end{array}\right.$
Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng $(0 ; 100 \pi)$ của phương trình $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2}\right)^{2}+\sqrt{3} \cos x=3$. Tổng các phần tử của S là:
- Sử dụng công thức nhân đôi và công thức sin tổng
- Giải phương trình rồi cho $x$ thỏa mãn điều kiện để tìm tổng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2}\right)^{2}+\sqrt{3} \cos x=3 \Leftrightarrow 1+\sin x+\sqrt{3} \cos x=3$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \sin x+\sqrt{3} \cos x=2} \\ \displaystyle {\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x=1 \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}}\end{array}$
Theo đề bài ta có $\displaystyle 0 < x < 100\pi \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + k2\pi < 100\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{599}}{{12}}$
Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4, \ldots ; 48 ; 49\}$
Vậy $\displaystyle S=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+2 \pi+\frac{\pi}{6}+2 \times 2 \pi+\ldots . .+\frac{\pi}{6}+49 \times 2 \pi$
$\begin{array}{l}\displaystyle {=\frac{50 \pi}{6}+2 \pi(1+2+3+4+\ldots .+49)} \\ \displaystyle{=\frac{50 \pi}{6}+2 \pi \frac{49(49+1)}{2}=\frac{7375 \pi}{3}}\end{array}$
Đáp án: C
Số nghiệm thuộc đoạn $[0;2017]$ của phương trình $ \dfrac{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}=4 \cos x$ là:
- Xét riêng từng trường hợp rồi giải phương trình
- Kẹp giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\sin x \neq 0$
$\dfrac{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}=4 \cos x \Leftrightarrow \sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}=4 \sin x \cos x$
$\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = 16{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x \Leftrightarrow 1 + |\sin x|}\\ { = 8{{\sin }^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)} (1)\\ {({\text{ với }} \sin x.\cos x \ge 0)} \end{array}$
TH1: $\sin x \ge 0$
$(1) \Leftrightarrow(1+\sin x)\left(8 \sin ^{3} x-8 \sin ^{2} x+1\right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = - 1}\\ {\sin x = \dfrac{1}{2}\quad \qquad }\\ {\sin x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{4}} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sin x \ge 0} $ $\left[\begin{array}{l}{\sin x=\dfrac{1}{2}} \\ {\sin x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}\end{array}\right.$
$\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi }\\ {x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}{\text{ vì }}\sin x \cdot \cos x \ge 0{\text{ nên }}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \right.$
$\star \sin x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\arcsin \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)+k 2 \pi} \\ {x=\pi-\arcsin \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)+k 2 \pi}\end{array}\right.$ vì $\sin x \cdot \cos x \ge 0$ nên $x=\arcsin \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)+k 2 \pi$
TH2: $\sin x<0$
$(1) \Leftrightarrow(1+\sin x)\left(8 \sin ^{3} x-8 \sin ^{2} x+1\right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = 1}\\ {\sin x =- \dfrac{1}{2}\quad \qquad }\\ {\sin x = \dfrac{{-1 \pm \sqrt 5 }}{4}} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sin x< 0} $ $\left[\begin{array}{l}{\sin x=-\dfrac{1}{2}} \\ {\sin x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}}\end{array}\right.$
$ \star \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi }(k \in \mathbb{Z})\\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } (k \in \mathbb{Z})\end{array}{\rm{ vì }} \ \sin x.\cos x \ge 0 \ {\rm{ nên }} \ x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } (k \in \mathbb{Z})\right.$
Xét nghiệm thuộc đoạn
+ Với $\displaystyle x = \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320$ có 321 nghiệm.
+ Với $\begin{array}{*{20}{l}} \displaystyle {x = \arcsin \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi (k \in \mathbb{Z})= \frac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320} \end{array}$ có 321 nghiệm.
+ Với $\displaystyle x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320$ có 321 nghiệm.
+ Với $\begin{array}{*{20}{l}} \displaystyle {x = \pi - \arcsin \left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi (k \in \mathbb{Z})= \frac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi \le 2017}\\ { \Leftrightarrow 0 \le k \le 320} \end{array}$ có 321 nghiệm.
Vậy có tổng cộng 321.4=1284 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: C
Số nghiệm của phương trình $\sin ^{2015} x-\cos ^{2016} x=2\left(\sin ^{2017} x-\cos ^{2018} x\right)+\cos 2 x $ trên $[-10;30]$ là:
- Tách nhân tử chung rồi xét các trường hợp
- Đánh giá ${\cos ^n}x \le {\cos ^2}x\left( {n \ge 2} \right);{\sin ^n}x \le {\sin ^2}x\left( {n \ge 2} \right)$ để giải phương trình rồi kẹp các giá trị của $x$ trong vùng điều kiện
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\sin ^{2015} x-\cos ^{2016} x=2\left(\sin ^{2017} x-\cos ^{2018} x\right)+\cos 2 x$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \sin ^{2015} x\left(1-2 \sin ^{2} x\right)+\cos ^{2016} x\left(2 \cos ^{2} x-1\right)=\cos 2 x} \\ {\Leftrightarrow \sin ^{2015} x \cdot \cos 2 x+\cos ^{2016} x \cdot \cos 2 x=\cos 2 x} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\cos 2 x=0} \\ {\sin ^{2015} x+\cos ^{2016} x=1}\end{array}\right.}\end{array}$
Với $\cos 2 x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Vì $\displaystyle x \in [ - 10;30] \Rightarrow - 10 \le \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \le 30 \Leftrightarrow - \frac{{20}}{\pi } - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{60}}{\pi } - \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow - 6 \le k \le 18$
Với ${\sin ^{2015}}x + {\cos ^{2016}}x = 1.\text{ Ta có } {\sin^{2015}}x \le {\sin ^2}x;{\cos ^{2016}}x \le {\cos ^2}x$
Do đó $1=\sin ^{2015} x+\cos ^{2016} x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ suy ra
$\left[\begin{array}{l}{\sin x=0, \cos x=\pm 1} \\ {\sin x=1, \cos x=0}\end{array}\right.$
Nếu $\sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi, k \in \mathbb{Z}$
Vì $\displaystyle x \in [ - 10;30] \Rightarrow - 10 \le k\pi \le 30 \Leftrightarrow \frac{{ - 10}}{\pi } \le k \le \frac{{30}}{\pi } \Rightarrow - 3 \le k \le 9$
Nếu $\sin x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}$
$\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ Vì }} \ \displaystyle x \in [ - 10;30] \Rightarrow - 10 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 30 \Leftrightarrow - \frac{5}{\pi } - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{15}}{\pi } - \frac{1}{4}}\\ { \Rightarrow - 1 \le k \le 4} \end{array}$
Ngoài điểm biểu diễn các nghiệm của họ mỗi nghiệm $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2} ; x=k \pi ; x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi$ đều phân biệt nên các nghiệm thỏa mãn bài toán là khác nhau.
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: $13+6+25=44$
Đáp án: D
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sin x \cos x-\sin x-\cos x+m=0$ có nghiệm?
Đặt $t=\sin x+\cos x$ rồi biểu diễn $\sin x. \cos x$ theo $t$ sau đó biện luận phương trình ẩn $t$ với điều kiện sẵn của ẩn $t$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=\sin x+\cos x(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x=\dfrac{t^{2}-1}{2}$
Phương trình trở thành $\dfrac{t^{2}-1}{2}-t+m=0 \Leftrightarrow-2 m=t^{2}-2 t-1$
$\Leftrightarrow(t-1)^{2}=-2 m+2$
Do $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \Rightarrow-\sqrt{2}-1 \leq t-1 \leq \sqrt{2}-1$
$\Rightarrow 0 \leq(t-1)^{2} \leq 3+2 \sqrt{2}$
Vậy phương trình có nghiệm
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 0 \leq-2 m+2 \leq 3+2 \sqrt{2} \Leftrightarrow-\dfrac{1+2 \sqrt{2}}{2} \leq m \leq 1} \\ {\Rightarrow m \in\{-1 ; 0 ; 1\}}\end{array}$
Đáp án: C.
Gọi $M,m$ lần lượt GTLN, GTNN của hàm số $y=2 \sin ^{3} x+\cos ^{3} x$. Giá trị biểu thức $T=M^{2}+m^{2}$ là:
Đánh giá $\sin ^3x; \cos ^3 x$ theo về $\sin ^2 x; \cos ^2x $ và sử dụng $\sin ^2 x+ \cos ^2 x=1$ để đánh giá tiếp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $-1 \leq \sin x \leq 1 ;-1 \leq \cos x \leq 1$
$\begin{array}{l}{\sin ^{3} x+\sin ^{2} x=\sin ^{2} x(\sin x+1) \geq 0} \\ {\sin ^{3} x-\sin ^{2} x=\sin ^{2} x(\sin x-1) \leq 0}\end{array}$
Do đó $-\sin ^{2} x \leq \sin ^{3} x \leq \sin ^{2} x$
Tương tự $-\cos ^{2} x \leq \cos ^{3} x \leq \cos ^{2} x$
$\Rightarrow-2 \sin ^{2} x-\cos ^{2} x \leq y \leq 2 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x$
Mà $\left\{\begin{array}{l}{-2 \sin ^{2} x-\cos ^{2} x=-1-\sin ^{2} x \geq-1-1=-2} \\ {2 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1+\sin ^{2} x \leq 1+1=2}\end{array}\right.$ nên $-2 \leq y \leq 2$
Vậy $M=2$ đạt được khi $\sin x=1, \cos x=0.$
$m=-2$ đạt được $\sin x=-1, \cos x=0.$
Do đó $M^{2}+m^{2}=8.$
Đáp án: D.
Xác định tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=f(x)=3 m \sin 4 x+\cos 2 x$ là hàm chẵn.
- Các điều kiện để hàm chẵn là tập xác định có tính đối xứng và $f(x)=f(-x)$
- Cho $f(x)=f(-x)$ và giải phương trình ẩn m
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow-x \in D$
Ta có $f(-x)=3 m \sin 4(-x)+\cos 2(-x)=-3 m \sin 4 x+\cos 2 x$
Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì
$f(-x)=f(x), \forall x \in D \Leftrightarrow-3 m \sin 4 x+\cos 2 x=3 m \sin 4 x+\cos 2x,\forall x \in D$
$\Leftrightarrow 6 m \sin 4 x=0, \forall x \in D \Leftrightarrow m=0$
Đáp án: C.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2 \cos ^{2} x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x+1$
Hạ bậc và sử dụng bất đẳng thức $ - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin \left( {u\left( x \right)} \right) + b\cos \left( {u\left( x \right)} \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y=2 \cos ^{2} x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x+1=2 \cos ^{2} x-1-\sqrt{3} \sin 2 x+2$
$=\cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x+2(*)$
Mà $-\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}} \leq \cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x \leq \sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}$
Nên $-2 \leq \cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x \leq 2$
$\Rightarrow 0 \leq \cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x+2 \leq 4$ hay $0 \leq y \leq 4, \forall x \in \mathbb R.$
Vậy $\min y=0 ; \max y=4.$
Đáp án: A.
Phương trình $\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2 \tan \left(2 x+\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ có nghiệm là
Biến đổi từ $\tan $ sang $\cot $ và sử dụng công thức nhân đôi để giải phương trình ẩn $\cot x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2 \tan \left(2 x+\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \Leftrightarrow \cot x-2 \cot 2 x=1$
ĐK: $\left\{\begin{array}{l}{\sin x \neq 0} \\ {\sin 2 x \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{k \pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\right.$
Khi đó phương trình tương đương:
$\begin{array}{l}{\cot x-2 \cot 2 x=1} \\ {\Leftrightarrow \cot x-2 \cdot \dfrac{1-\tan ^{2} x}{2 \tan x}=1} \\ {\Leftrightarrow \cot x-\dfrac{\tan x \cdot \cot x-\tan ^{2} x}{\tan x}=1} \\ {\Leftrightarrow \cot x-(\cot x-\tan x)=1 \Leftrightarrow \tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k \pi(k \in \mathbb{Z})(T M D K)}\end{array}$
Đáp án: B
Nghiệm của phương trình $\tan 4 x . \cot 2 x=1$ là:
Tìm điều kiện xác định và giải phương trình sau đó đối chiếu lại điều kiện
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}{\cos 4 x \neq 0} \\ {\sin 2 x \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{4 x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi} \\ {2 x \neq k \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \neq \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k \pi}{4}} \\ {x \neq \dfrac{k \pi}{2}}\end{array}\right.\right.\right.$
Khi đó, dễ thấy $\cot 2 x \neq 0$ nên phương trình tương đương:
$\begin{array}{l}{\tan 4 x . \cot 2 x=1 \Leftrightarrow \tan 4 x=\dfrac{1}{\cot 2 x}} \\ {\Leftrightarrow \tan 4 x=\tan 2 x \Leftrightarrow 4 x=2 x+k \pi} \\ {\Leftrightarrow x=\dfrac{k \pi}{2} (k \in \mathbb{Z})}\end{array}$
Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.
Đáp án: D