Phương trình $\sin ^{3} x+\cos ^{3} x=1-\dfrac{1}{2} \sin 2 x$ có nghiệm là :
Sử dụng công thức nhân đôi biến đổi phương trình về phương trình đơn giản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(\sin x+\cos x)(1-\sin x \cdot \cos x)=1-\sin x \cdot \cos x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{1-\sin x \cdot \cos x=0(l)} \\ {\sin x+\cos x=1}\end{array} \Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=k 2 \pi} \\ {x=\dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array}\right.\right.(k \in \mathbb{Z})$
Giải phương trình $\sin 2 x=\cos ^{4} \dfrac{x}{2}-\sin ^{4} \dfrac{x}{2}$
Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi rồi biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\sin 2 x=\cos ^{4} \dfrac{x}{2}-\sin ^{4} \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x=\cos ^{2} \dfrac{x}{2}-\sin ^{2} \dfrac{x}{2}} \\ {\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x-\cos x=0 \Leftrightarrow \cos x(2 \sin x-1)=0}\end{array}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{\cos x=0} \\ {\sin x=\dfrac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\dfrac{\pi}{2}+k \pi} \\ {x=\dfrac{\pi}{6}+ k2 \pi} \\ {x=\dfrac{5 \pi}{6}+ k2 \pi}\end{array}\right.\right.(k \in \mathbb{Z})$
Nghiệm của phương trình $2 \sin x+1=0$ là được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở điểm nào?
Giải phương trình lượng giác cơ bản rồi biểu diễn nghiệm lên đường tròn lượng giác
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$2 \sin x+1=0 \Leftrightarrow \sin x=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=-\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\dfrac{7 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array}(k \in Z)\right.$
Vậy chỉ có hai điểm E và F thỏa mãn
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\tan x+m \cot x=8$ có nghiệm.
Biểu diễn cot về tan sau đó tìm điều kiện để phương trình ẩn tan có nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+) Nếu $m=0$ thì phương trình trở thành $\tan x=8$ có nghiệm nên $m=0$ thỏa mãn.
+) Nếu $m \neq 0$ thì:
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{\sin x \neq 0} \\ {\cos x \neq 0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{\tan x \neq 0} \\ {\cot x \neq 0}\end{array}\right.\right.$
Phương trình $\tan x+m \cot x=8 \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{m}{\tan x}=8$
$\Leftrightarrow \tan ^{2} x-8 \tan x+m=0(*)$
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm $\tan x \ne 0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\Delta^{\prime}=(-4)^{2}-m \geq 0} \\ {0^{2}-8.0+m \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m \leq 16} \\ {m \neq 0}\end{array}\right.\right.$
Kết hợp hai trường hợp ta được $m \le 16$
Cho $x$ thỏa mãn $2 \sin 2 x-3 \sqrt{6}|\sin x+\cos x|+8=0$. Tính $\sin 2x.$
Đặt $t=|\sin x+\cos x|$ rồi biểu diễn $\sin 2x$ theo $t$ sau đó giải phương trình ẩn t
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=|\sin x+\cos x|=\sqrt{2}\left|\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|$
Vì $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) \in[-1 ; 1] \Rightarrow t \in[0 ; \sqrt{2}]$
Ta có:
$t^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x=t^{2}-1$
Phương trình đã cho trở thành
$\begin{array}{l}{2\left(t^{2}-1\right)-3 \sqrt{6} t+8=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{t=\dfrac{\sqrt{6}}{2}} \\ {t=\sqrt{6}(L)}\end{array}\right.} \\ {\sin 2 x=t^{2}-1=\dfrac{1}{2}}\end{array}$
Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thuộc $[0;20 \pi]$ của phương trình $ 2 \cos ^{2} x-\sin x-1=0$. Khi đó giá trị của S bằng:
Chuyển $\cos^2x $ về theo $\sin ^2x$ rồi giải phương trình bậc 2 đối với $\sin x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$2 \cos ^{2} x-\sin x-1=0 \Leftrightarrow-2 \sin ^{2} x-\sin x+1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{\sin x=-1} \\ {\sin x=\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-\dfrac{\pi}{2}+k_{1} 2 \pi} \\ {x=\dfrac{\pi}{6}+k_{2} 2 \pi \quad\left(k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{Z}\right)} \\ {x=\dfrac{5 \pi}{6}+k_{3} 2 \pi}\end{array}\right.$
Do $x \in[0 ; 20 \pi]$ nên
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \le - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi \le 20\pi }\\ {0 \le \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi \le 20\pi }\\ {0 \le \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi \le 20\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{1}{4} \le {k_1} \le \dfrac{{41}}{4}}\\ { - \dfrac{1}{{12}} \le {k_2} \le \dfrac{{119}}{{12}}}\\ { - \dfrac{5}{{12}} \le {k_3} \le \dfrac{{115}}{{12}}} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{k_{1} \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 10\}} \\ {k_{2} \in\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9\}} \\ {k_{3} \in\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9\}}\end{array}\right.$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn $[0 ; 20 \pi]$ là:
$S=\sum_{k_{1}=1}^{10}\left(-\dfrac{\pi}{2}+k_{1} 2 \pi\right)+\sum_{k_{2}=0}^{9}\left(\dfrac{\pi}{6}+k_{2} 2 \pi\right)+\sum_{k_{2}=0}^{9}\left(\dfrac{5 \pi}{6}+k_{3} 2 \pi\right)=295 \pi$
Đáp án: B
Tổng các nghiệm của phương trình $2 \cos 3 x(2 \cos 2 x+1)=1 ;x\in [-4 \pi ; 6 \pi)$ là:
Biến đổi tích thành tổng đưa phương trình về dạng cơ bản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $\sin x=0 \Leftrightarrow x=m \pi$ thay vào phương trình thấy không thỏa mãn.
Xét $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq m \pi$
$\begin{array}{l}{2 \cos 3 x(2 \cos 2 x+1)=1} \\ {\Leftrightarrow 2[\cos 5 x+\cos x]+2 \cos 3 x=1} \\ {\Leftrightarrow 2 \sin x \cos 5 x+2 \sin x \cos 3 x+2 \sin x \cos x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow(\sin 6 x-\sin 4 x)+(\sin 4 x-\sin 2 x)+\sin 2 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow \sin 6 x=\sin x}\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\ x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7} \end{array} \right.\\ x \ne m\pi \end{array} \right.(k,l \in \mathbb{Z} )$
Biểu diễn các điểm của hai họ nghiệm $x=\dfrac{k 2 \pi}{5} \text { và } x=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{l 2 \pi}{7}$ trên đường tròn đơn vị ta thấy các điẻm đều không trùng nhau. Do đó
+ Với $\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{k 2 \pi}{5}} \\ {x \neq m \pi} \\ {x \in[-4 \pi ; 6 \pi]}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{k \in\{-10 ;-9 ;-8 ; \ldots 14 ; 15\}} \\ {k \notin\{-10 ;-5 ; 0 ; 5,10,15\}}\end{array}\right.\right.$
Suy ra các giá trị $x \text { cần loại bỏ là }-4 \pi,-2 \pi, 0,2 \pi, 4 \pi, 6 \pi . \text { Tổng các giá trị này là } 6 \pi$
+ Với $\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{l 2 \pi}{7}} \\ {x \neq m \pi} \\ {x \in[-4 \pi ; 6 \pi]}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{l \in\{-14 ;-13 ;-12 ; \ldots 19 ; 20\}} \\ {l \notin\{-4 ;-11 ; 3 ; 10 ; 17\}}\end{array}\right.\right.$
Suy ra các giá trị cần loại bỏ là $-\pi,-3 \pi, \pi, 3 \pi, 5 \pi .$ Tổng các giá trị này là $5 \pi.$
Vậy tổng nghiệm $\displaystyle S=\left[\sum_{k=-10}^{15}\left(\frac{k 2 \pi}{5}\right)-(6 \pi)\right]+\left[\sum_{l=-14}^{20}\left(\frac{\pi}{7}+\frac{l 2 \pi}{7}\right)-5 \pi\right]=50 \pi$
Đáp án: C
Giải phương trình sau $\tan \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right) \cdot \tan \left(\dfrac{\pi}{3}+2 x\right)=1$
Tìm điều kiện và giải phương trình sau đó đối chiếu lại điều kiện
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{\pi}{3}-x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi} \\ {\displaystyle\frac{\pi}{3}+2 x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \neq-\dfrac{\pi}{6}-k \pi} \\ {x \neq \dfrac{\pi}{12}+k \dfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.\right.$
$\begin{array}{l}{\mathrm{pt} \Leftrightarrow \tan \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)=\cot \left(\dfrac{\pi}{3}+2 x\right) \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}-2 x+k \pi} \\ {\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k \pi}\end{array}$
(Loại)
Đáp án: D
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x+y=\dfrac{2 \pi}{3}} \\ {\tan x \cdot \tan y=3}\end{array}\right.$
- Tìm điều kiện xác định
- Thế $y$ theo $x$ từ phương trình $(1)$ xuống phương trình $(2)$ sau đó sử dụng công thức $\tan (a+b)$ rồi giải phương trình ẩn $\tan x$ và đối chiếu điều kiện đã tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi} \\ {y \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi}\end{array}\right.$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x+y=\dfrac{2 \pi}{3}} \\ {\tan x \cdot \tan y=3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{y=\dfrac{2 \pi}{3}-x} \quad(1) \\ {\tan x . \tan \left(\dfrac{2 \pi}{3}-x\right)=3}\quad(2)\end{array}\right.\right.$
(2) $\Leftrightarrow \tan x \dfrac{\tan \dfrac{2 \pi}{3}-\tan x}{1+\tan \dfrac{2 \pi}{3} \cdot \tan x}=3 \Leftrightarrow \tan ^{2} x-2 \sqrt{3} \tan x+3=0 \Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k \pi$
Từ (1) $\Leftrightarrow y=\dfrac{\pi}{3}-k \pi$
Đáp án: C
Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {2 - \cos x - \sqrt 3 \sin x} $ là :
- Phần tử trong căn phải lớn hơn 0
- Sử dụng miền giá trị của hàm số cos
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l} \cos x + \sqrt 3 \sin x = 2\left( {\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) = 2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \le 2\\ \Rightarrow 2 - \cos x - \sqrt 3 \sin x \ge 0 \end{array}$
Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$
Đáp án B
Cho $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha = 3$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{5{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }}$
Sử dụng công thức liên hợp giữa tan và cos là $1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\tan \alpha = 3$ nên $\cos \alpha \ne 0$
$P = \dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{5{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\dfrac{{5{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \dfrac{{\left( {3\tan \alpha - 2} \right)\left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{5{{\tan }^3}\alpha + 4}} = \dfrac{{70}}{{139}}$
Đáp án C
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn : $\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2}$ và $\cos \alpha = \dfrac{{ - \sqrt {10} }}{5}$. Tính giá trị của $A = \dfrac{{\cot \alpha }}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}$
Sử dụng các công thức liên hệ giữa sin cos và cot để tính giá trị của A
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0$
$\cos \alpha = \dfrac{{ - \sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \dfrac{{ - \sqrt {15} }}{5}$
$ \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$
$A = \dfrac{{\cot \alpha }}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{5}$
Đáp án A
Giá trị lớn nhất của hàm số $y= 6\sin 2x+8\cos 2x+3$ là
Sử dụng bất đẳng thức ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\n{\left( {6\sin 2x + 8\cos 2x} \right)^2} \le \left( {{6^2} + {8^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 100\\ \Rightarrow - 10 \le 6\sin 2x + 8\cos 2x \le 10\\ \Rightarrow - 7 \le 6\sin 2x + 8\cos 2x + 3 \le 13\n\end{array}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $13$
Đáp án C
Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin 2x - \sin x$
- Sử dụng công thức nhân đôi rồi đưa về phương trình có nhân tử nhân tử chung
- Lấy ra các họ nghiệm sau đó tìm nghiệm âm lớn nhất
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\n\left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin 2x - \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = 2\sin x.\cos x - \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos x = \dfrac{1}{2}\\\n2\sin x + \cos x = \sin x\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos x = \dfrac{1}{2}\\\n\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\\nx = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \n\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\n\end{array}$
Vậy nghiệm âm lớn nhất là $- \dfrac{\pi }{4}$
Đáp án B
Giả sử nghiệm của phương trình $8\cot 2x = \dfrac{{\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right).\sin 2x}}{{{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x}}$ có dạng $x = \dfrac{\pi }{a} + \dfrac{{k\pi }}{b}\left( {k \in \mathbb{Z};a,b \in \mathbb{N}^* } \right)$. Giá trị của $a+2b$ là
+) Tìm điều kiện xác định của phương trình
+) Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$
Ta có $8\cot 2x = \dfrac{{\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right).\sin 2x}}{{{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x}} \Leftrightarrow 8\cot 2x = \dfrac{{\cos 2x.\sin 2x}}{{{{\cos }^4}x - {{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x}}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{8\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \dfrac{{\cos 2x.\sin 2x}}{{1 - \dfrac{3}{4}{{\sin }^2}2x}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos 2x = 0\\\n{\sin ^2}2x = 8 - 6{\sin ^2}2x\n\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos 2x = 0\\\n7{\sin ^2}2x = 8\left( {VN} \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$
Vậy $a+2b=8$
Đáp án C
Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {2 - cos x + \sin x} $
- Phần tử trong căn phải lớn hơn 0
- Sử dụng miền giá trị của hàm số cos
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\n\cos x - \sin x = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x} \right) = \sqrt 2 \cos (x + \dfrac{\pi }{4})\\ = > 2 - \sqrt 2 \cos (x + \dfrac{\pi }{4}) > 0\n\end{array}$
=> Tập xác định hàm số là $D=\mathbb{R}$.
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác sau:
$\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{4 + 2\sin 2x}}{{\sin 2x}} - 2\sqrt 3 = 2\left( {\cot x + 1} \right)$
Đưa về phương trình bậc hai 1 ẩn là $\tan x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình tượng đương:
$\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{4 + 2\sin 2x}}{{\sin 2x}} - 2\sqrt 3 = 2\left( {\cot x + 1} \right)$
$\begin{array}{l} < = > \sqrt 3 \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + \dfrac{4}{{\sin 2x}} - 2\sqrt 3 = 2\cot x\\ < = > \sqrt 3 {\tan ^2}x + 2\tan x - \sqrt 3 = 0\\ < = > \left[ \begin{array}{l}\n\tan x = - \sqrt 3 \\\n\tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\n\end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi \\\nx = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \n\end{array} \right.\n\end{array}$
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác sau:
$\sin x + \dfrac{1}{2}\sin 2x = 1 + \cos x + {\cos ^2}x$
- Phân tích đa thức thành nhân tử
- Sử dụng khoảng giá trị hàm số cos để loại nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình tương đương:
$\begin{array}{l} < = > \left( {\sin x - 1} \right)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ < = > (\sin x - 1)(\sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4}) + 2) = 0\\ < = > \sin x = 1\\ < = > x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \n\end{array}$
Cho phương trình: $\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {\cot ^2}x + m(\tan x + \cot x) + 2 = 0$
Tìm m để phương trình có nghiệm.
- Giải phương trình giao với đường thẳng y=m
- Lập bảng biến thiên tìm điều kiện của m
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số
$f(t) = - \dfrac{{1 + {t^2}}}{t}(\left| t \right| \ge 2) = > f\'\left( t \right) = \dfrac{{1 - {t^2}}}{t} = 0 < = > t = \pm 1$
Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi: $\left[ \begin{array}{l}\nm \ge \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\\\nm \le - \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\n\end{array} \right.$
Số nghiệm phương trình lượng giác sau:
$5\cos x + 12\sin x = 13$ trong khoảng $(0;4\pi )$
Đưa về công thức tổng của hàm sin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13$
Khi đó : $\begin{array}{l}\n\dfrac{5}{{13}}\cos x + \dfrac{{12}}{{13}}\sin x = 1\\ = > \sin (x + 0,39) \approx 1 = > x = \dfrac{\pi }{2} - 0,39 + k2\pi \n\end{array}$
Do $x \in (0;4\pi )$ => Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm