Phương trình $\tan x=\cot x$ có tất cả các nghiệm là :
Chuyển cot về tan rồi giải phương trình lượng giác cơ bản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\tan x=\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k \pi}{2} ;(k \in \mathbb{Z})$
Phương trình $\sqrt{3} \cos x+\sin x=-2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0 ; 4035 \pi]$
Sử dụng công thức cos tổng ( hiệu) để đưa phương trình về dạng cơ bản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\sqrt{3} \cos x+\sin x=-2 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos x+\dfrac{1}{2} \sin x=-1} \\ {\Leftrightarrow \cos \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=-1 \Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{6}=-\pi+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})} \\ {\Leftrightarrow x=\dfrac{-5 \pi}{6}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})}\end{array}$
Do nghiệm thuộc đoạn $[0 ; 4035 \pi]$ nên $0 \leq-\dfrac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \leq 4035 \pi \Leftrightarrow \dfrac{5}{12} \leq k \leq \dfrac{24215}{12}$
Do k nguyên nên $k \in\{1,2,3, \ldots, 2017\}$
Vậy phương trình có 2017 nghiệm thỏa mãn đề bài
Giải phương trình $\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin 2 x$
Sử dụng công thức sin tổng (hiệu) đưa phương trình về dạng cơ bản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\begin{array}{l}{\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin 2 x \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin x+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos x=\sin 2 x} \\ {\Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin 2 x \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x+\dfrac{\pi}{4}=2 x+k 2 \pi} \\ {x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-2 x+k 2 \pi}\end{array}\right.(k \in \mathbb{Z})}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\dfrac{\pi}{4}-k 2 \pi} \\ {x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k 2 \pi}{3}}\end{array}\right.(k \in \mathbb{Z})$
Tập xác định D của hàm số $y=\dfrac{\tan x-1}{\sin x}$ là :
+) $\dfrac{P x}{Q x}$ xác định nếu $Q x \neq 0$
+) $\tan u x$ xác định nếu $u(x) \neq k \pi$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định khi $\left\{\begin{array}{l}{\cos x \neq 0} \\ {\sin x \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \neq k \pi} \\ {x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi}\end{array} \Leftrightarrow x \neq \dfrac{k \pi}{2}\right.\right.$
Vậy TXĐ của hàm số là $D=\mathbb{R} \backslash\left\{\dfrac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$
Khi x thay đổi trong khoảng $\left(\dfrac{5 \pi}{4} ; \dfrac{7 \pi}{4}\right)$ thì $y=\sin x$ lấy mọi giá trị thuộc :
Xét các giá trị đặc biệt trong khoảng trên rồi lấy giá trị của $\sin x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{3 \pi}{2} \in\left(\dfrac{5 \pi}{4} ; \dfrac{7 \pi}{4}\right)} \\ {\sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)=-1 \quad \Rightarrow-1 \leq y<\dfrac{-\sqrt{2}}{2}} \\ {\sin \left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)=\sin \left(\dfrac{7 \pi}{4}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
Tập giá trị của hàm số $\mathrm{y}=\sin 2 x+\sqrt{3} \cos 2 x+1$là đoạn $[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]$. Tính tổng T=a+b ?
+) Sử dụng công thức cos tổng (hiệu)
+) $\cos (u(x)) \in[-1 ; 1]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathrm{y}=\sin 2x +\sqrt{3} \cos 2x+1=2\left[\dfrac{1}{2} \sin 2 x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x\right]+1=2 \cos \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+1$
Do $-1 \leq \cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{6}\right) \leq 1 \Rightarrow-1 \leq 2 \cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{6}\right)+1 \leq 3$
Do đó $\mathrm{T}=\mathrm{a}+\mathrm{b}=(-1)+3=2$
Nghiệm của phương trình $2 \sin x=1$ có dạng nào sau đây?
Sử dụng công thức $\begin{array}{l}{\sin (f(x))=\sin (g(x))} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{f(x)=g(x)+k 2 \pi} \\ {f(x)=\pi-g(x)+k 2 \pi}\end{array} k \in \mathbb{Z}\right.}\end{array}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\sin x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x=\sin \dfrac{\pi}{6}$
$\left[\begin{array}{c}{x=\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\dfrac{5 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Giải phương trình $\cot (3 x-1)=-\sqrt{3}.$
Sử dụng $\cot \left( {f\left( x \right)} \right) = \cot \left( {g\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\cot (3 x-1)=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \cot (3 x-1)=\cot \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
$\Leftrightarrow 3 x-1=-\dfrac{\pi}{6}+k \pi \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\pi}{18}+k \dfrac{\pi}{3}(k \in \mathbb{Z})$
Hay $x=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5 \pi}{18}+\dfrac{k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Từ phương trình $(1+\sqrt{3})(\cos x+\sin x)-2 \sin x \cos x-\sqrt{3}-1=0$, nếu ta đặt $t=\cos x+\sin x$ thì giá trị của $t$ nhận được là:
Đặt $t=\sin x+\cos x$ biểu diễn $\sin x \cos x$ theo $t$ rồi giải phương trình ẩn $t$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=\sin x+\cos x(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x=\dfrac{t^{2}-1}{2}$
Phương trình trở thành $(1+\sqrt{3}) t-\left(t^{2}-1\right)-\sqrt{3}-1=0$
$\Leftrightarrow t^{2}-(1+\sqrt{3}) t+\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{t=1} \\ {t=\sqrt{3}(L)}\end{array} \Leftrightarrow t=1\right.$
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\left(m^{2}+1\right)$ vô nghiệm.
Phương trình $a\sin \left( {f\left( x \right)} \right) + b\cos \left( {f\left( x \right)} \right) = c$ vô nghiệm khi ${a^2} + {b^2} < {c^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 1^{2}+1^{2}<\left[\sqrt{2}\left(m^{2}+1\right)\right]^{2}$
$\Leftrightarrow m^{4}+2 m^{2}>0 \Leftrightarrow m^{2}\left(m^{2}+2\right)>0 \Leftrightarrow m^{2}>0 \Leftrightarrow m \neq 0$
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $(m-2) \sin 2 x=m+1$ nhận $x=\dfrac{\pi}{12}$ làm nghiệm.
Thay $x=\dfrac{\pi}{12}$ vào phương trình để tìm $m$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $x=\dfrac{\pi}{12}$ là một nghiệm của phương trình $(m-2) \sin 2 x=m+1$ nên ta có:
$\begin{array}{l}{(m-2) \cdot \sin \dfrac{2 \pi}{12}=m+1 \Leftrightarrow \dfrac{m-2}{2}=m+1 \Leftrightarrow m-2=2 m+2} \\ {\Leftrightarrow m=-4}\end{array}$
Vậy $m=-4$ là giá trị cần tìm.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=2017 \cos \left(8 x+\dfrac{10 \pi}{2017}\right)+2016.$
Sử dụng $-1 \leq \cos \left(f(x)\right) \leq 1, \forall x \in \mathbb R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định trên $\mathbb R.$
Ta có $-1 \leq \cos \left(8 x+\dfrac{10 \pi}{2017}\right) \leq 1, \forall x \in \mathbb R$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow-2017 \leq 2017 \cos \left(8 x+\dfrac{10 \pi}{2017}\right) \leq 2017, \forall x \in \mathbb R} \\ {\Leftrightarrow-1 \leq 2017 \cos \left(8 x+\dfrac{10 \pi}{2017}\right)+2016 \leq 4033, \forall x \in \mathbb R}\end{array}$
Ta có $y=-1 \text { khi } \cos \left(8 x+\dfrac{10 \pi}{2017}\right)=-1 ; y=4033$ khi $\cos \left(8 x+\dfrac{10 \pi}{2017}\right)=1$
Vậy $\min y=-1 ; \max y=4033$
Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-\cos 2017 x}$ là:
Hàm số $y = \sqrt {f\left( x \right)} $ xác định khi $f\left( x \right) \ge 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $y=\sqrt{1-\cos 2017 x}$ xác định khi $1-\cos 2017 x \geq 0$
Mặt khác ta có $-1 \leq \cos 2017 x \leq 1$ nên $1-\cos 2017 x \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Tính tổng $T$ các nghiệm của phương trình $\sin 2 x-\cos x=0$ trên $[0 ; 2 \pi].$
Sử dụng $\sin \left( {f\left( x \right)} \right) = \sin \left( {g\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\sin 2 x-\cos x=0 \Leftrightarrow \sin 2 x=\cos x \Leftrightarrow \sin 2 x=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{2 x=\dfrac{\pi}{2}-x+k 2 \pi} \\ {2 x=\pi-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k 2 \pi}{3}} \\ {x=\dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array}\right.\right.$
Vì $x \in[0 ; 2 \pi]$, suy ra
$\left[\begin{array}{l}{0 \leq \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k 2 \pi}{3} \leq 2 \pi} \\ {0 \leq \dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi \leq 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{-\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{11}{4} \Rightarrow k \in\{0 ; 1 ; 2\}} \\ {-\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{3}{4} \Rightarrow k \in\{0\}}\end{array}\right.\right.$
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;2\pi]$ là: $\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5 \pi}{6} ; \dfrac{3 \pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \rightarrow T=3 \pi$
Cho hai hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x-3}+3 \sin ^{2} x$ và $g(x)=\sin \sqrt{1-x}$. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?
Điều kiện để tồn tại hàm chẵn hoặc hàm lẻ là tập xác định phải đối xứng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x-3}+3 \sin ^{2} x$ có tập xác định là $D=\mathbb{R} \backslash\{3\}$.
Ta có $x=-3 \in D$ nhưng $-x=3 \notin D$ nên $D$ không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số $f(x)$ không chẵn không lẻ.
Xét hàm số $g(x)=\sin \sqrt{1-x}$ có tập xác định là $D_{2}=[1 ;+\infty)$. Dễ thấy $D_{2}$ không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số $g(x)$ không chẵn không lẻ.
Đáp án: D.
Chu kỳ của hàm số $y = 3\sin \dfrac{x}{2}$ là số nào sau đây?
Hàm số $y = 3\sin \left( {\alpha x} \right)$ có chu kỳ tuần hoàn là $T = \dfrac{{2\pi }}{\alpha }$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có chu kỳ của hàm số là $T = \dfrac{{2\pi }}{\alpha } = 4\pi $
Tập xác định của hàm số $y=\dfrac{\tan x}{\cos x -2}$ là :
Mẫu số phải khác 0 và tử số phải xác định
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\cos x \le 1 \Leftrightarrow \cos x - 1 \le 0 \Leftrightarrow \cos x - 2 < 0$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
Đáp án C
Hàm số $y=1-\cos ^2 4x$ là
Sử dụng dấu hiệu nhận biết của hàm chẵn và hàm lẻ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\ny = 1 - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}4x\\\nf\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - 4x} \right) = {\sin ^2}4x = f\left( x \right)\n\end{array}$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn
Đáp án B
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
Xét từng đáp án và sử dụng hàm số lẻ khi $\left\{ \begin{array}{l}\nx \in D\\ - x \in D\\\nf\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét đáp án A ta có tập xác định là $\mathbb{R}$
$f\left( { - x} \right) = 3\sin \left( { - x} \right).\cos \left( { - 2x} \right) = - 3\sin x.\cos 2x = - f\left( x \right)$
Suy ra hàm số $y = 3\sin x.\cos 2x$ là hàm số lẻ
Đáp án A
Điều kiện có nghiệm của phương trình $a\sin \left( {\alpha x} \right) + b\cos \left( {\alpha x} \right) = c$ là
Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với $\sin \left( {\alpha x} \right)$ và $\cos \left( {\alpha x} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với $\sin \left( {\alpha x} \right)$ và $\cos \left( {\alpha x} \right)$ là $a^2 + b^2 \ge c^2$
Đáp án C