Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C) :(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4$. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ và phép quay tâm O góc quay $90^{0}$ sẽ biến (C) thành đường tròn nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi ${V_{\left( {O;\frac{1}{2}} \right)}}\left( {\left( C \right)} \right) = \left( {C\'} \right)$ nên đường tròn $(C\')$ có tâm $I^{\prime}(1 ; 1)$ và $R\'=1$.
Ta lại có: $Q_{\left(O ; 90^{0}\right)}\left(\left(C^{\prime}\right)\right)=\left(C^{\prime \prime}\right)$ có bán kính $R^{\prime \prime}=1 \text { và tâm } I^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime} ; y^{\prime \prime}\right)$ được xác định :
$\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=-y^{\prime}=-1} \\ {y^{\prime \prime}=x^{\prime}=1}\end{array} \Rightarrow I^{\prime \prime}(-1 ; 1)\right.$
Vậy phương trình đường tròn $(C\'\') $ là: $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$.
Đáp án: D
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d : 2 x-y=0$ thỏa mãn phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=-2$ và phép đối xứng trục Oy sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng nào dưới đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $V_{(O ;-2)}(d)=d^{\prime} \Rightarrow d^{\prime} / / d \text { hoặc } d^{\prime} \equiv d$
$\Rightarrow d^{\prime} \text { có dạng: } 2 x-y+c=0$
Chọn $N(1 ; 2) \in d : V_{(O ; 2)}(N)=N^{\prime}(-2 ;-4) \in d^{\prime} \Rightarrow-4+4+c=0 \Rightarrow c=0$.
=> phương trình đường thẳng $d^{\prime} : 2 x-y=0$.
Qua phép đối xứng trục $O y . D_{o y}\left(d^{\prime}\right)=d^{\prime \prime}$.
Suy ra phương trình ảnh $d^{\prime \prime}$ cần tìm là $-2 x-y=0$.
Đáp án: A
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $M(2 ; 4)$. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ và phép quay tâm O góc quay $-90^{0}$ sẽ biến điểm M thành điểm nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = {M^\prime }\left( {{x^\prime };{y^\prime }} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {O{M^\prime }} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OM} \Rightarrow {M^\prime }(1;2)$
$Q_{\left(O ;-90^{\circ}\right)}\left(M^{\prime}\right)=M^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime} ; y^{\prime \prime}\right)$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=x^{\prime} \cos \alpha-y^{\prime} \sin \alpha} \\ {y^{\prime \prime}=x^{\prime} \sin \alpha+y^{\prime} \cos \alpha}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=y^{\prime}=2} \\ {y^{\prime \prime}=-x^{\prime}=-1}\end{array} \Rightarrow M^{\prime \prime}(2 ;-1)\right.\right.$
Đáp án: A
Cho $\Delta A B C$ có đường cao $A H, H$ nằm giữa $BC$. Biết $A H=4, H B=2, H C=8$. Phép đồng dạng F biến $\Delta H B A$ thành $\Delta H A C$. $F$ được hình thành bởi phép biến hình nào?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\begin{aligned} Q_{\left(H,-90^{\circ}\right)}(B) &=E ; V_{(H ; 2)}(E)=A \\ Q_{\left(H,-90^{\circ}\right)}(A) &=F ; V_{(H ; 2)}(F)=C \end{aligned}$
Do đó, nếu ta thực hiện liên tiếp hai phép biến hình là phép quay tâm H góc quay $-90^{0}$ và phép vị tự tâm H tỉ số k=2 ta sẽ được phép đồng dạng biến tam giác $\Delta H B A$ thành $\Delta H A C$.
Đáp án: C
Cho hình vẽ sau:
Xét phép đồng dạng biến hình thang $HICD$ thành hình thang $LJIK$. Tìm khẳng định đúng?
- Xét từng phương án
- Áp dụng tính chất của phép đối xứng tâm và phép vị tự
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: Phép đối xứng tâm $I$ biến hình thang $HICD$ thành hình thang $KIAB$
Phép vị tự tâm $C$ tỉ số $k= \dfrac12$ biến hình thang $KIAB$ thành hình thang $LJIK$
Đáp án: B
Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $5$. Phép đồng dạng tỷ số $k=3$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A\'B\'C\'$. Diện tích của tam giác $A\'B\'C\'$ là
Áp dụng tính chất của phép đồng dạng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép đồng dạng tỉ số $k$ biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số $|k|$
Theo đề bài ta có phép vị tự tỉ số $k=2$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A\'B\'C\'$ nên $A\'B\'=3AB;A\'C\'=3AC$
Mặt khác ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \left( {BAC} \right) = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{2}.3AB.3AC.\sin \left( {BAC} \right) = 45$
$ \Rightarrow \dfrac{1}{2}A\'B\'.A\'C\'.\sin \left( {B\'A\'C\'} \right) = 45 \Rightarrow {S_{A\'B\'C\'}} = 45$
Đáp án B
Cho đường tròn $(C)$ tâm $I(-1;2)$ có bán kính $R=2$. Thực hiện liên tiếp phép đồng dạng $(T)$ bao gồm : Vị tự tâm $O$ tỉ số $k=2$ và phép quay $Q_{(0;\varphi )}$ với $\cos \varphi = - \dfrac{3}{5}$, $\varphi$ là góc tù . Ảnh của đường tròn $(C)$ qua $(T)$ là:
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $I(a;b)$ tỉ số $k$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {x’ - a} \right) = k\left( {x - a} \right)\\ \left( {y’ - b} \right) = k\left( {y - b} \right) \end{array} \right.$
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm $I(a;b)$ góc quay $\phi$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x’ - a = \left( {x - a} \right)\cos \phi - \left( {y - b} \right)\sin \phi \\ y’ - b = \left( {x - a} \right)\sin \phi + \left( {y - b} \right)\cos \phi \end{array} \right.$
- Sử dụng lý thuyết của phép vị tự và phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$ biến điểm $I(-1;2)$ thành điểm $I’(a;b)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {OI’} = 2\overrightarrow {OI} = 2\left( { - 1;2} \right) = \left( { - 2;4} \right) \Rightarrow I’\left( { - 2;4} \right)$
$\cos \varphi = - \dfrac{3}{5}$, $\varphi$ là góc tù $\Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{4}{5}$
Phép quay $Q_{(0;\varphi )}$với $\cos \varphi = - \dfrac{3}{5}$, $\varphi$ là góc tù biến điểm $I’$ thành $I’’$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’ = \left( { - 2 - 0} \right)\cos \varphi - \left( {4 - 0} \right)\sin \varphi +0 = - 2\\ y’ = \left( { - 2 - 0} \right)\sin \varphi + \left( {4 - 0} \right)\cos \varphi +0 =- 4 \end{array} \right.$
Phép vị tự tỉ số $k=2$ biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R’$ nên $R’=2R=4$
Phép quay biến đường tròn thành đường tròn khác có cùng bán kính
Vậy đường tròn là $(x+2)^2+(y+4)^2=16$
Cho đường tròn $(C):(x-3)^2+y^2=1$ . Thực hiện phép đồng dạng $T$ bao gồm 2 phép liên tiếp: Vị tự tâm $I(3;1)$ , tỉ số $k=-3$ và phép quay $Q_{(0;\varphi)}$ với $\cos \varphi = \dfrac{7}{{25}}$ , $\varphi$ là góc nhọn. Ảnh của $(C)$ qua $T$ là đường tròn $(C’)$ có dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=c$. Tính $a+2b+3c$
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $I(a;b)$ tỉ số $k$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {x’ - a} \right) = k\left( {x - a} \right)\\ \left( {y’ - b} \right) = k\left( {y - b} \right) \end{array} \right.$
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm $I(a;b)$ góc quay $\phi$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x’ - a = \left( {x - a} \right)\cos \phi - \left( {y - b} \right)\sin \phi \\ y’ - b = \left( {x - a} \right)\sin \phi + \left( {y - b} \right)\cos \phi \end{array} \right.$
- Sử dụng lý thuyết của phép vị tự và phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $A(3;0)$ bán kính $R=1$
Ta có phép vị tự tâm $I(3;1)$ tỉ số $k=-3$ biến điểm $A(3;0)$ thành điểm $A’(a;b)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {IA\'} = - 3\overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right) \Rightarrow A\' = \left( {3;4} \right)$
$\cos \varphi = \dfrac{7}{{25}}$ , $\varphi$ là góc nhọn $ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{24}}{{25}}$
Ta có phép quay $Q_{(0;\varphi)}$ với $\cos \varphi = \dfrac{7}{{25}}$ , $\varphi$ là góc nhọn biến điểm $A\'$ thành điểm $A\'\'$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = \left( {3 - 0} \right)\cos \varphi - \left( {4 - 0} \right)\sin \varphi + 0 = - 3\\\ny\' = \left( {3 - 0} \right)\sin \varphi + \left( {4 - 0} \right)\cos \varphi + 0 = 4\n\end{array} \right.$
Phép vị tự tỉ số $k=-3$ biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R’$ nên $R’=3R=3$
Phép quay biến đường tròn thành đường tròn khác có cùng bán kính
Nên phương trình đường tròn là $(x+3)^2+(y-4)^2=9$
Đáp án A
Cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=2$ . Thực hiện phép đồng dạng bao gồm phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k=-2$ và phép tịnh tiến vecto $\overrightarrow v = (2;5)$ ta thu được đường tròn $(C’)$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến tâm của $(C’)$
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $I(a;b)$ tỉ số $k$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {x’ - a} \right) = k\left( {x - a} \right)\\ \left( {y’ - b} \right) = k\left( {y - b} \right) \end{array} \right.$
- Sử biểu thức tọa độ của phép vị tự
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k=-2$ biến điểm $I(1;2)$ thành $I\'$
$\Rightarrow \overrightarrow {OI\'} = - 2\overrightarrow {OI} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow I\' = \left( { - 2; - 4} \right)$
Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v = (2;5)$ biến điểm $I\' = \left( { - 2; - 4} \right)$ thành $I\'\'$
$\Rightarrow \overrightarrow {I\'II\'} = \overrightarrow v = \left( {2;5} \right) \Rightarrow I\'\' = \left( {0;1} \right)$
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm của $(C’)$ là $OI\'\'=1$
Đáp án A
Phép đồng dạng $(T)$ thực hiện bằng phép liên tiếp phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-4$ và phép quay ${Q_{\left( {0;\varphi } \right)}}$, trong đó $\cos \varphi = \dfrac{3}{5}$ , $\varphi$ là góc nhọn. Ảnh của đường tròn $(x+2)^2+(y+4)^2=1$ có dạng $(x-a)^2+(y+b)^2=a+b+c$ qua $(T)$
Tính $a-2b+3c$
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $I(a;b)$ tỉ số $k$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {x’ - a} \right) = k\left( {x - a} \right)\\ \left( {y’ - b} \right) = k\left( {y - b} \right) \end{array} \right.$
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm $I(a;b)$ góc quay $\phi$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x’ - a = \left( {x - a} \right)\cos \phi - \left( {y - b} \right)\sin \phi \\ y’ - b = \left( {x - a} \right)\sin \phi + \left( {y - b} \right)\cos \phi \end{array} \right.$
- Sử dụng lý thuyết của phép vị tự và phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;-4)$ bán kính $R=1$
Ta có phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-4$ biến điểm $I(-2;-4)$ thành $I\'$
$ \Rightarrow \overrightarrow {OI\'} = - 4\overrightarrow {OI} = \left( {8;16} \right) \Rightarrow I\' = \left( {8;16} \right)$
$\cos \varphi = \dfrac{3}{5}$ , $\varphi$ là góc nhọn $ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{4}{5}$
Ta có phép quay ${Q_{\left( {0;\varphi } \right)}}$, trong đó $\cos \varphi = \dfrac{3}{5}$ , $\varphi$ là góc nhọn biến điểm $I\'(8;16)$ thành điểm $I\'\'$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = \left( {8 - 0} \right)\cos \varphi - \left( {16 - 0} \right)\sin \varphi + 0 = - 8\\\ny\' = \left( {8 - 0} \right)\sin \varphi + \left( {16 - 0} \right)\cos \varphi + 0 = 16\n\end{array} \right.$
Phép vị tự tỉ số $k=-4$ biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R’$ nên $R’=4R=4$
Phép quay biến đường tròn thành đường tròn khác có cùng bán kính
Nên phương trình đường tròn là $(x+8)^2+(y-16)^2=16$
Vậy $a-2b+3c=64$
Đáp án C