Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4$, thực hiện lần lượt phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=2$ và phép quay tâm $O$ góc $90^{0}$ biến đường tròn $(C)$ thành đường tròn nào?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2 ; 2)$ và bán kính $R=2$
Gọi
$I^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=V_{(O, 2)}(I) \Rightarrow \overrightarrow{O I^{\prime}}=2 \overrightarrow{O I} \Rightarrow\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=2(2 ; 2) \Rightarrow I^{\prime}(4 ; 4)$
$\Rightarrow$ Ảnh của đường tròn $(C)$ qua $V_{(O ; 2)}(I)$ là đường tròn tâm $I^{\prime}(4 ; 4)$ và bán kính $R^{\prime}=|2| \cdot R=4$
Gọi $\begin{array}{l}{I^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime} ; y^{\prime \prime}\right)=Q_{\left(O, 90^{\circ}\right)}\left(I^{\prime}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=4 \cos 90-4 \sin 90=-4} \\ {y^{\prime \prime}=4 \sin 90+4 \cos 90=4}\end{array}\right.} \\ {\Rightarrow I^{\prime \prime}(-4 ; 4)}\end{array}$
Phép quay không làm thay đổi bán kính của đường tròn, do đó ảnh của đường tròn $(C\')$ qua phép quay $Q_{\left(O ; 90^{\circ}\right)}$ là đường tròn có tâm $I^{\prime \prime}(-4 ; 4)$ và bán kính bằng 4, do đó có phương trình: $(x+4)^{2}+(y-4)^{2}=16$.
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hai đường thẳng $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ lần lượt có phương trình $x-2 y+1=0$ và $x-2 y+4=0$, điểm $I(2 ; 1)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ khi đó giá trị của $k$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lấy $A(-1 ; 0) \in \Delta_{1}$, gọi $A^{\prime}(x ; y)$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ ta có: $\overrightarrow{I A^{\prime}}=k \overrightarrow{I A}$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow(x-2 ; y-1)=k(-3 ;-1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x-2=-3 k} \\ {y-1=-k}\end{array}\right.} \\ {\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=-3 k+2} \\ {y=-k+1}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(-3 k+2 ;-k+1)\right.}\end{array}$
$V_{(I ; k)}\left(\Delta_{1}\right)=\Delta_{2}, V_{(I ; k)}(A)=A^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} \in \Delta_{2}$
Thay tạo độ điểm $A\'$ vào phương trình đường thẳng $\Delta_{2}$ ta có:
$-3 k+2-2(-k+1)+4=0 \Leftrightarrow-k+4=0 \Leftrightarrow k=4$
Đáp án: D
Cho đường tròn $(O ; R)$ và một điểm $A$ cố định. Một điểm $M$ thay đổi trên $(O ; R)$, gọi $N$ là trung điểm của đoạn $AM$. Khi $M$ thay đổi trên $(O ; R)$, tập hợp các điểm $N$ là.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{A N}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A M}$
$\Rightarrow$ Phép vị tự $V_{\left(A ; \frac{1}{2}\right)}(M)=N $
Vậy khi $M$ thay đổi trên $(O ; R)$ thì điểm $N$ thay đổi trên đường tròn $(T)$ là ảnh của đường tròn $(O ; R)$ qua phép vị tự $V_{\left(A ; \dfrac{1}{2}\right)}$
Gọi $I$ là ảnh của $O$ qua $V_{\left(A ; \dfrac{1}{2}\right)}$ ta có $\overrightarrow{A I}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A O} \Rightarrow I$ là trung điểm của $OA$. Vậy $(T)$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{R}{2}$ với $I$ là trung điểm của $AO$
Đáp án: C
Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Phép vị tự tâm $G$ biến $H$ thành $O$ có tỉ số là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $H$ và $O$ lần lượt là trực tâm vầ tam đường tròn ngoại tiếp tâm $A B C$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, kẻ đường kính $BK$.
Xét đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ có $\widehat{B C K}$ nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \widehat{B C K}=90^{0} \Rightarrow B C \perp C K$
Mà $A H \perp B C \Rightarrow A H / / C K$
Tương tự ta chứng minh được $A K / / C H$
$\Rightarrow$ Tứ giác$AHCK$ là hình bình hành $\Rightarrow A H=C K$
Có $OM$ là đường trung bình của tam giác $B C K \Rightarrow O M / / C K / / A H$ và $O M=\dfrac{1}{2} C K=\dfrac{1}{2} A H$
Gọi $G=A M \cap O H$ ta dễ thấy $\Delta A G H \sim \Delta M G O(g \cdot g)$
$\Rightarrow \dfrac{A G}{M G}=\dfrac{A H}{O M}=2=\dfrac{H G}{O G}$, mà $AM$ là trung tuyến của tam giác $A B C \Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Vậy $H, G, O$ thẳng hàng, với $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ và $\dfrac{H G}{O G}=2 \Rightarrow \overrightarrow{G O}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{G H}$
$\Rightarrow V_{\left(G ;-\dfrac{1}{2}\right)}(H)=O$
Đáp án: C
Phép vị tự tâm $I(-1 ; 1)$ tỉ số $k=\dfrac{1}{3}$ biến đường thẳng $d : x-y+4=0$ thành đường thẳng có phương trình nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $d\'$ là ảnh của $d$ qua $V_{\left(I ; \frac{1}{3}\right)} \Rightarrow d^{\prime} / / d \Rightarrow$phương trình $d\'$ có dangj $x-y+c=0(c \neq 4)$
Lấy điểm $A(0 ; 4) \in d$, gọi $V_{\left(I ; \frac{1}{3}\right)}(A)=A^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) \Rightarrow \overrightarrow{I A^{\prime}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{I A}$
$\Rightarrow\left(x^{\prime}+1 ; y^{\prime}-1\right)=\dfrac{1}{3}(1 ; 3) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}+1=\dfrac{1}{3}} \\ {y^{\prime}-1=1}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-\dfrac{2}{3}} \\ {y^{\prime}=2}\end{array}\right.\right.$
$\Rightarrow A^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3} ; 2\right)$
$V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)}(d)=d^{\prime} ; V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)}(A)=A^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} \in d^{\prime}$
Thay tọa độ điểm $A\'$ vào phương trình đường thẳng $d\'$ ta có:
$-\dfrac{2}{3}-2+c=0 \Leftrightarrow c=\dfrac{8}{3}(t m)$
Vậy phương trình đường thẳng $d\'$ là: $x-y+\dfrac{8}{3}=0 \Leftrightarrow 3 x-3 y+8=0$
Đáp án: A
Phép vị tự tâm $I(-1 ; 1)$ tỉ số $k=\dfrac{1}{3}$ biến đường tròn $(C) : x^{2}+y^{2}=9$ thành đường tròn có phương trình nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $K(0 ; 0)$ bán kính $R=3$
Gọi $K^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của điểm $K$ qua phép vị tự $V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)}$ ta có:
$\overrightarrow{I K^{\prime}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{I K} \Rightarrow\left(x^{\prime}+1 ; y^{\prime}-1\right)=\dfrac{1}{3}(1 ;-1) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}+1=\dfrac{1}{3}} \\ {y^{\prime}-1=-\dfrac{1}{3}}\end{array}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-\dfrac{2}{3}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{2}{3}}\end{array} \Rightarrow K^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)\right.$
Gọi $(C\')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép vị tự $V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)} \Rightarrow$ đường tròn $(C\')$ có tâm $K^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)$ và bán kính $R^{\prime}=\left|\dfrac{1}{3}\right| \cdot R=1$, do đó $(C\')$ có phương trình $\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^{2}=1$
Đáp án: D
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy $ cho $A(1 ; 2), B(-3 ; 1)$. Phép vị tự tâm $I(2 ;-1)$ tỉ số $k=2$ biến điểm $A$ thành $A’$, phép đối xứng tâm $B$ biến $A’$ thành $B’$. Tọa độ điểm $B’$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{V_{(I, 2)}(A)=A^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) \Rightarrow \overrightarrow{I A^{\prime}}=2 \overrightarrow{I A} \Rightarrow\left(x^{\prime}-2 ; y^{\prime}+1\right)=2(-1 ; 3)} \\ {\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}-2=-2} \\ {y^{\prime}+1=6}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=0} \\ {y^{\prime}=5}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(0 ; 5)\right.\right.}\end{array}$
$B$ là trung điểm của $A^{\prime} B^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=2 \cdot(-3)-0=-6} \\ {y^{\prime \prime}=2.1-5=-3}\end{array} \Rightarrow B^{\prime}(-6 ;-3)\right.$
Đáp án: C
Phép vị tự tỉ số $k=2$ biến tam giác $A B C$ có số đo các cạnh $3,4,5$ thành tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có diện tích là giá trị nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$V_{(I, k)}(\Delta A B C)=\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow \Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \sim \Delta A B C$ theo tỉ số
$k \Rightarrow \dfrac{S_{\Delta A B C^{\prime}}}{S_{\Delta A B C}}=k^{2}=4 \Rightarrow S_{\Delta A B C^{\prime}}=4 S_{\Delta A B C}$
Ta có $3^{2}+4^{2}=5^{2} \Rightarrow \Delta A B C$ là tam giác vuông
$\begin{array}{l}{\Rightarrow S_{\Delta A B C}=\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=6} \\ {\Rightarrow S_{\triangle A^{\prime} P C^{\prime}}=4.6=24}\end{array}$
Đáp án: D
Phép vị tự nào sau đây biến đường tròn $(C) :(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4$ thành đường tròn $\left(C^{\prime}\right) :(x-5)^{2}+(y-3)^{2}=4$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $K(3 ; 1)$ và bán kính $R=2$, đường tròn $(C\')$có tâm $K^{\prime}(5 ; 3)$và bán kính $R^{\prime}=2$
$\Rightarrow|k|=\dfrac{R^{\prime}}{R}=1 \Rightarrow k=\pm 1, \mathrm{mà} I^{\prime} \neq I \Rightarrow k \neq 1 \Rightarrow k=-1$
Giả sử phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến $K$ thành $K\'$ ta có: $\overrightarrow{I K^{\prime}}=-\overrightarrow{I K} \Rightarrow I$ là trung điểm của $K K^{\prime} \Rightarrow I(4 ; 2)$
Đáp án: A
Cho hình bình hành $ABCD$. Điểm G là trọng tâm của tam giác $ABC$. Phép vị tự tâm G tỉ số k biến điểm B thành điểm D. Giá trị của k là
+) Sử dụng công thức ${V_{\left( {O,k} \right)}}\left( I \right) = A \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} = k\overrightarrow {OI} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${V_{\left( {G,k} \right)}}\left( B \right) = D \Leftrightarrow \overrightarrow {GD} = k\overrightarrow {GB} $
Vì G là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {GB} = - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BO} $
Ta có $\overrightarrow {GD} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow {BO} = \left( { - 2} \right).\left( { - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BO} } \right) = - 2\overrightarrow {GB} $
Vậy $k=-2$