Trong mặt phẳng tọa $Oxy$ cho phép vị tự tâm $I(2 ; 3)$ tỉ số $k=-2$ biến điểm $M(-7 ; 2)$ thành điểm $M’$ có tọa độ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M^{\prime}(x ; y)$. Suy ra $\overrightarrow{I M}=(-9 ;-1), \overrightarrow{I M^{\prime}}=(x-2 ; y-3)$.
Ta có $V_{(I,-2)}(M)=M^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{I M^{\prime}}=-2 \overrightarrow{I M} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x-2=-2 .(-9)} \\ {y-3=-2 \cdot(-1)}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=20} \\ {y=5}\end{array} \Rightarrow M^{\prime}(20 ; 5)\right.$
Đáp án: B
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M(-2 ; 4)$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi điểm $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$.
$V_{(O ;-2)}(M)=M^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{O M^{\prime}}=-2 \overrightarrow{O M} \Leftrightarrow\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=-2(-2 ; 4)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=4} \\ {y^{\prime}=-8}\end{array} \Rightarrow M(4 ;-8)\right.$
Đáp án: C
Cho hai đường thẳng song song $d,d’$. Có bao nhiêu phép vị tự tỉ số $k=5$ biến $d$ thành $d’$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có vô số phép vị tự tâm không thuộc $d$ với tỉ số $k=5$ biến đường thẳng $d$ thành $d’$
Đáp án: D
Cho hai đường tròn tâm $(I;R)$ và $(I;R’)$ $\left(R \neq R^{\prime}\right)$. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn tâm $(I;R)$ thành đường tròn $(I;R’)$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường tròn đồng tâm $I$, có 2 phép vị tự tâm $I$ tỉ số $\pm \dfrac{R^{\prime}}{R}$ biến đường tròn $(I; R)$ thành $(I; R’)$
Đáp án: C
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: Phép vị tự tâm là tâm đường tròn, tỉ số $k=-1$ vẫn biến đường tròn thành chính nó nên A sai.
Đáp án B: Phép vị tự tâm là trung điểm đoạn thẳng, tỉ số vị tự $k=-1$ biến đoạn thẳng thành chính nó nên B sai.
Đáp án C: Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-1$ biến một elip có tâm $O$ thành chính nó nên $C$ đúng.
Đáp án D: Phép vị tự bất kì không biến một tia đi qua tâm vị tự thành chính nó nên D sai.
Đáp án: C
Khẳng định nào sau đây là sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A, C hiển nhiên đúng.
Đáp án D đúng vì chỉ có phép vị tự tỉ số $k=1$ biến 1 vector thành vector bằng nó, còn phép vị tự kỷ số $k \neq 1$ biến một vector thành một vector cùng phương với nó.
Đáp án: B
Cho hai đường tròn ngoài nhau $(I;R)$ và $(I’;R)$. Có báo nhiêu phép vị tự ( tâm khác $I$ và $I’$) biến đường tròn $(I;R)$ thành $(I’;R)$ bằng nó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phép vị tự $V_{(O ; k)}(I ; R) \mapsto\left(I^{\prime} ; R\right)$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{O I^{\prime}}=k \overrightarrow{O I}} \\ {R^{\prime}=|k| R}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{O I^{\prime}}=k \overrightarrow{O I}} \\ {|k|=1}\end{array} \Rightarrow\right.\right.$ $\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {OI’} = \overrightarrow {OI} \Rightarrow I \equiv I’\,\,(ktm)\\ k = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {OI’} = - \overrightarrow {OI} \\ k = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Vậy có 1 phép vị tự duy nhất biến $(I;R)$ thành $(I’;R)$ là phép vị tự tâm $O$ với $O$ là trung điểm của $II’$ và tỉ số $k =-1$.
Đáp án: B
Cho hai điểm $M(-1 ; 4), M^{\prime}(-4 ; 5)$ . Phép vị tự tỉ số $k=2$ biến $M$ thành $M’$ có tâm là điểm nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi tâm vị tự là điểm $I(x ; y)$ ta có: $V_{(I ; 2)}(M)=M^{\prime} \Rightarrow \overrightarrow{I M^{\prime}}=2 \overrightarrow{I M}$
$\Rightarrow(-4-x ; 5-y)=2(-1-x ; 4-y) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{-4-x=-2-2 x} \\ {5-y=8-2 y}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=2} \\ {y=3}\end{array} \Rightarrow I(2 ; 3)\right.$
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta : x+2 y-1=0$ và điểm $I(1 ; 0)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng $\Delta$ thành $\Delta’$ có phương trình là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để ý thấy $I \in \Delta$ do đó phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng $\Delta$ thành $\Delta’$ trùng với $\Delta$, với mọi $k \neq 0$
Đáp án: B
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(1 ; 2), B(-3 ; 4)$và $I(1 ; 1)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k=-\dfrac{1}{3}$ biến điểm $A$ thành $A’$, biến điểm $B$ thành $B’$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow{A B}=(-4 ; 2)$
Từ giả thiết, ta có $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}=\left(\dfrac{4}{3} ;-\dfrac{2}{3}\right)$
Đáp án: B
Cho đường tròn $(O;3)$ và điểm $I$ nằm ngoài $(O)$ sao cho $O I=9$. Gọi $\left(O^{\prime} ; R^{\prime}\right)$ là ảnh của $(O ; 3)$ qua phép vị tự $V_{(I, 5)}$. Tính $R’$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $R^{\prime}=|k| \cdot R=5 . R=5.3=15$
Đáp án: D
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép vị tự $V$ tỉ số $k=2$ biến điểm $A(1 ;-2)$ thành điểm $A^{\prime}(-5 ; 1)$. Hỏi phép vị tự $V$ biến điểm $B(0 ; 1)$thành điểm có tọa độ nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $B^{\prime}(x ; y)$ là ảnh của $B$ qua phép vị tự $V$.
Suy ra $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=(x+5 ; y-1)$và $\overrightarrow{A B}=(-1 ; 3)$
Theo giả thiết, ta có $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=2 \overrightarrow{A B} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x+5=2 .(-1)} \\ {y-1=2.3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=-7} \\ {y=7}\end{array}\right.\right.$
Đáp án: C
Xét phép vị tự $V_{(I, 3)}$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$. Hỏi chu vi tam giác $A’B’C’$ gấp mấy lần chu vi tam giác $ABC$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Qua phép vị tự $V_{(I, 3)}$ thì $A^{\prime} B^{\prime}=3 A B, B^{\prime} C^{\prime}=3 B C, C^{\prime} A^{\prime}=3 C A$
Vậy chu vi tam giác $A’B’C’$ gấp 3 lần chu vi tam giác $ABC$
Đáp án: C
Cho phép vị tự tỉ số $k=2 \mathrm{}$ biến điểm $A$ thành điểm $B$, biến điểm $C$ thành điểm $D$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
v
Trong mặt phẳng $Oxy$, phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ biến đường thẳng $d : 3 x-2 y+4=0$ thành đường thẳng $d\'$ nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $d\'$ là ảnh của $d$ qua $V_{\left(o ; \dfrac{1}{2}\right)} \Rightarrow d^{\prime} / / d \Rightarrow$ phương trình $d\'$có dạng $3 x-2 y+c=0(c \neq 4)$
Lấy điểm $A(0 ; 2) \in d$, gọi $V_{\left(o ; \dfrac{1}{2}\right)}(A)=A^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) \Rightarrow \overrightarrow{O A^{\prime}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{O A}$
$\Rightarrow\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=\dfrac{1}{2}(0 ; 2) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=0} \\ {y^{\prime}=1}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(0 ; 1)\right.$
Mà $V_{\left(o ; \dfrac{1}{2}\right)}(d)=d^{\prime} ; V_{\left(o, \dfrac{1}{2} \right)}(A)=A^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} \in d^{\prime}.$
Thay tọa độ điểm $A\'$ vào phương trình đường thẳng $d\'$ ta có:
$3.0-2.1+c=0 \Leftrightarrow c=2(t m)$
Vậy phương trình đường thẳng $d\'$ là: $3 x-2 y+2=0$
Đáp án: D
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M(4 ; 6)$ và $M^{\prime}(-3 ; 5)$. Phép vị tự tâm $I$, tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ biến điểm $M$ thành $M’$. Tìm tọa độ tâm vị tự $I$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I(x ; y)$
Suy ra $\overrightarrow{I M}=(4-x ; 6-y), \overrightarrow{I M^{\prime}}=(-3-x ; 5-y)$
Ta có $V_{\left(I, \dfrac{1}{2}\right)}(M)=M^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{I M^{\prime}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{I M} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{-3-x=\dfrac{1}{2}(4-x)} \\ {5-y=\dfrac{1}{2}(6-y)}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=-10} \\ {y=4}\end{array} \Rightarrow I(-10 ; 4)\right.$
Đáp án: D
Với phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\dfrac{1}{2}$ biến đường tròn $(C) :(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=4$ thành đường tròn có phương trình nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1 ; 3)$ bán kính $R=2$
Gọi $I^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của điểm $I$ qua phép vị tự $V_\left(o ; \dfrac{1}{2}\right)$ ta có:
$\overrightarrow{O I^{\prime}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{O I} \Rightarrow\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=\frac{1}{2}(1 ; 3) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=\dfrac{1}{2}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow I^{\prime}\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{2}\right)\right.$
Gọi $(C\')$ có tâm $I^{\prime}\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{2}\right)$ và bán kính $R^{\prime}=\left|\dfrac{1}{2}\right| R=1$, do đó $(C\')$ có phương trình $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=1$
Đáp án: B
Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $-3$ lần lượt biến hai điểm $A, B$ thành hai điểm $C,D$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $V_{(O,-3)}(A)=C \Leftrightarrow \overrightarrow{O C}=-3 \overrightarrow{O A}$ và $V_{(O,-3)}(B)=D \Leftrightarrow \overrightarrow{O D}=-3 \overrightarrow{O B}$.
Khi đó $\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O D}=-3(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B})$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D C}=-3 \overrightarrow{B A} \Leftrightarrow \overrightarrow{D C}=3 \overrightarrow{A B}$
Đáp án: B
Cho đường thẳng $\Delta$ và điểm $O \notin \Delta$. Một điểm $M$ thay đổi trên $\Delta$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $OM$. Khi $M$ thay đổi trên $\Delta$ tập hợp các điển N là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{O N}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{O M}$
$\Rightarrow$ Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ biến điểm $M$ thành điểm $N$.
Vậy khi $M$ thay đổi trên $\Delta$ thì $N$ thay đổi trên đường $a$ là ảnh của $\Delta$ qua phép vị tự $V_\left(o ; \dfrac{1}{2}\right)$.
$\Rightarrow a / / \Delta$ và dễ thấy $d(O ; a)=\dfrac{1}{2} d(O ; \Delta)$
Đáp án: B
Một hình vuông có diện tích bằng 4. Qua phép vị tự $V_{(I,-2)}$thì ảnh của hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết suy ra hình vuông ban đầu có độ dài cạnh bằng 2.
Qua phép vị tự $V_{(I,-2)}$ thì độ dài cạnh của hình vuông tạo thành bằng 4, suy ra diện tích bằng 16.
Vậy diện tích tăng gấp 4 lần
Đáp án: C