Cho đường thẳng $d:3x-y+3=0$ . Viết phương trình của đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép dời hình có được thực hiện bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm $I(1;1)$ và phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v = (1;2)$
Lấy một điểm thuộc đường thẳng rồi thực hiện lấy đối xứng tâm với điểm đó
Phép đối xứng tâm và tịnh tiến nên ta có dạng của phương trình $d’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $F = {T_{\overrightarrow v }}o{D_I}$ là phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm $I$ và phép tịnh tiến $ {T_{\overrightarrow v }}$
Gọi ${d_1} = D(d),d’ = {T_{\overrightarrow v }}({d_1}) = > d’ = F(d)$
Do $d’$ song song hoặc trùng với $d$ do đó phương trình của $d’$ có dạng : $3x-y+c=0$ .
Lấy $( - 1;0) \in d$ . ta có: ${D_I}(M) = M’(3;2)$
Lại có: ${T_{\overrightarrow v }}(M’) = M’’(3 + 1;2 + 2) = > M’’(4;4)$ nên $F(M)=M’’(4;4)$
Mà $M’’ \in d’ =>8+c=0=>c=-8$
Vậy : $d’:3x-y-8=0$
Cho phép dời hình $F$ có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm $M(x_M;y_M)$ có ảnh là điểm $M’(x’;y’)$ theo công thức F: $\left\{ \begin{array}{l} x’ = {x_M} - 1\\ y’ = {y_M} + 2 \end{array} \right.$
Viết phương trình đường tròn $(C’)$ là ảnh của đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-1=0$ qua phép dời hình $F$.
Thực hiện phép dời hình với tâm đường tròn $(C)$ , bán kính không thay đổi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C):(x-1)^2+(y-2)^2=6$ có tâm $I(1;2)$ và bán kính $R=\sqrt{6}$
Qua phép dời hình $F$ biến tâm $I(1;2)$ thành tâm $I\'(x\';y\')$ trong đó : $\left\{ \begin{array}{l} x’ = {x} - 1=0\\ y’ = {y} + 2=4 \end{array} \right.$
Vậy : Phương trình đường tròn $(C’)$ là ảnh của đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-1=0$ qua phép dời hình $F$là
$(C’):x^2+(y-4)^2=6$
Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, cho đường thẳng $d:3x-y+6=0$. Tìm phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v $ có giá song song với $Oy$ biến $d$ thành $d\'$ đi qua điểm $A(1;3)$
Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của $\overrightarrow v $ . Để tìm tọa độ của $\overrightarrow v $ ta có thể giả sử $\overrightarrow v=(a;b)$ , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn $a,b$ và giải hệ tìm $a;b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow v $ có giá song song với $Oy$ nên $\overrightarrow v =(0;k)(k \ne 0)$
Lấy $M(x;y) \in d=>3x-y+6=0(*)$
Gọi $M\'(x\';y\')=T_{\overrightarrow v }(M)$$ = > \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = x\\\ny\' = y + k\n\end{array} \right.$ thay vào $(*)$ => $3x\'-y\'+k+6=0$
Hay $T_{\overrightarrow v }(d)=d\':3x-y+k+6=0$ mà $d$ đi qua $A(1;3)=>k=-6$
Vậy: $\overrightarrow v =(0;-6)$
Trong hệ trục tọa độ $(Oxy)$, xác định tọa độ các đỉnh $C$ và $D$ của hình bình hành $ABCD$ biết $A(3;4),B(-1;2)$ và giao điểm các đường chéo là $I(1;1)$
C và D là phép dời hình của điểm $I$ qua vecto $\overrightarrow {AI}$, $\overrightarrow {BI}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $C(x;y)$ , ta có: $\overrightarrow {IC} = (x - 1;y - 1),\overrightarrow {AI} = ( - 2; - 3),\overrightarrow {BI} = (2; - 1)$
Vì $I$ là trung điểm $AC$ nên $C = {T_{\overrightarrow {AI} }}(I) < = > \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} $
$ < = > \left\{ \begin{array}{l}\nx - 1 = - 2\\\ny - 1 = - 3\n\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\ny = - 2\n\end{array} \right. = > C( - 1; - 2)$
Vì $I$ là trung điểm $BD$ nên $D = {T_{\overrightarrow {BI} }}(I) < = > \overrightarrow {ID} = \overrightarrow {BI}$
$ < = > \left\{ \begin{array}{l}\nx - 1 = 2\\\ny - 1 = - 1\n\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}\nx = 3\\\ny = 0\n\end{array} \right. = > D(3;0)$
Trong mặt phẳng $(Oxy)$, cho đường tròn $(C):(x+3)^2+(y-4)^2=4$ . Viết phương trình đường tròn $(C’)$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép dời hình có được khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v =(2;2)$ và phép quay tâm $O$ góc quay $90^o$
Thực hiện lần lượt các phép quay
Chú ý khi thực hiện phép quay tâm $O$ góc quay $90^o$ thì bảo toàn khoảng cách đến $O$ và quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $90^o$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C):(x+3)^2+(y-4)^2=4$ có tâm $I(-3;4)$ , bán kính $R=2$
Khi thực hiện phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v =(2;2)$ , biến tâm $I(-3;4)$ thành tâm $I\'$ , khi đó $II\' = \overrightarrow v $
=>$I\'(-1;6)$
Ta thấy $I\'$ thuộc góc phần tư thứ II , khi thực hiện phép quay tâm $O$ góc quay $90^o$ sẽ được điểm $I\'\'$ thuộc góc phần tư thứ III => tọa độ $I\'\'(-6;-1)$
Vậy : Đường tròn $(C’):(x+6)^2+(y+1)^2=4$
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho phép dời hình $F$ có quy tắc đặt ảnh tương ừng điểm $M(x_M;y_M)$ có ảnh là điểm $M’(x’;y’)$ theo công thức $F:\left\{ \begin{array}{l} x’ = {x_M} + 2\\ y’ = {y_M} - 3 \end{array} \right.$ . Tìm tọa độ điểm $A’$ là ảnh của điểm $A(2;6)$ qua phép dời hình $F$
$A’$ là ảnh của điểm $A(2;6)$ qua phép dời hình $F$ nên thay tọa độ $A$ vào công thức xác định phép dời hình $F$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$A\'$ là ảnh của $A(2;6)$ qua phép dời hình $F$ . Khi đó tọa độ điểm A thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = x + 2=4\\\ny\' = y - 3=3\n\end{array} \right.$
Vậy : $A\'(4;3)$
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho phép biến hình $f$ xác định như sau: " Với mỗi điểm $M(x;y)$, ta có $M’=f(M)$ sao cho $M’(x’;y’)$ thỏa mãn $x=x’$ và $y’=ax+by,$ với $a,b$ là các hằng số ". Giá trị nào của $a,b$ thì phép biến hình $f$ biến thành phép đồng nhất
Để $f$ là phép đồng nhất là phép biến hình biến điểm $M$ thành $M\'$ sao cho $M \equiv M\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để $f$ là phép đồng nhất $M \equiv M\'$ $<=>\left\{ \begin{array}{l}\nx = x\'\\\ny = y\' = ax + by\n\end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l}\na = 0\\\nb = 1\n\end{array} \right.$
Chọn A
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho phép dời hình $F$ có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm $M(x_M;y_M)$ có ảnh là điểm $M’(x’;y’)$ theo công thức $F:\left\{ \begin{array}{l} x’ = {x_M} + 1\\ y’ = {y_M} + 3 \end{array} \right.$ . Viết phương trình elip $(E’)$ là ảnh của elip $(E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ qua phép dời hình $F$
Thay phép biến hình $F$ vào công thức của elip $E$ ta sẽ được elip $E\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Elip $(E’)$ là ảnh của elip $(E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ qua phép dời hình $F$
Thay phép biến hình $F$ vào công thức của elip $E$ ta sẽ được elip $E\'$ thỏa mãn: $\dfrac{{{(x-1)^2}}}{{25}} + \dfrac{{{(y-3)^2}}}{{16}} = 1$
Chọn B
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v = (1;2)$ . phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v $ biến parabol $(P):y=x^2+x$ thành parabol $(P\')$ . Khi đó phương trình của $(P\')$ là:
Trong mặt phẳng $Oxy$ có đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-4)^2+(y+2)^2=25$ . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục $Ox$ và phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v = (5;1)$ biến $(C)$ thành đường tròn có phương trình $(C)\'$ là:
Thực hiện lần lượt từng phép biến hình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ $(x-4)^2+(y+2)^2=25$ có tâm $I(4;-2)$ , bán kính $R=5$
$I\'$ là ảnh của $I$ qua phép đối xứng trục $Ox$ => $I\'(4;2)$
$I\'\'$ là ảnh của $I\'$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v = (5;1)$ , khi đó : $I\'I\'\' = \overrightarrow v $ => $I\'\'(9;3)$
Vậy : $(C)\':(x-9)^2+(y-3)^2=25$