Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các số tự nhiên có bốn chữ số. Tính xách suất để số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{a b c d}(a \neq 0 ; 0 \leq a, b, c, d \leq 9 ; a, b, c, d \in \mathbb{N})$
+ $a$ có 9 cách chọn
+ $b, c, d$ có 10 cách chọn
Không gian mẫu có số phần tử là $n(\Omega)=9.10^{3}$
* Gọi $A$ là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau
TH1: Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong $\overline{a b c d}$
+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có 9.10 = 90 cách chọn 2 chữ số còn lại
+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 8.9 = 72 cách chọn.
+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có 9.9 cách chọn
Vậy trường hợp này có $90+72+81=243$ số
TH2: Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.
+3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị
+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn
Vậy trường hợp này có $9+8=17$ số
TH3: Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số
Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=243+17+1=261$
Xác suất cần tìm là $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{261}{9.10^{3}}=0,029$
Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A$ là biến cố: " nam, nữ đứng xen kẽ nhau".
- Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega)=10 !$
- Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5!.5!$
- Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5 ! .5 !$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=5 ! .5 !+5 ! .5 !=28800} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{28800}{10 !}=\dfrac{1}{126}}\end{array}$
Gieo ba con súc sắc. Xác suất để được nhiều nhất hai mặt 5 là.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega)=6^{3}$.
Gọi $A$ là biến cố " Xuất hiện nhiều nhất 2 mặt 5" hay $A$: " Xuất hiện không quá hai mặt 5"
Khi đó $\overline{A}$: " Xuất hiện cả ba mặt đều là 5"
$\Rightarrow n(\overline{A})=6^{3}-1 \Rightarrow P(\overline{A})=\dfrac{1}{216}$
Xác suất biến cố $A$ là: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{1}{216}=\dfrac{215}{216}$
An và Bình cùng tham gia kì thi THPTQG năm 2018, ngoài thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng kí thi thêm đúng hai môn tự chọn khác trong ba môn Vật Lí, Hóa học và Sinh học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển Đại học. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 8 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố: "An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề".
Số khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là $C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$
Số khả năng Bình chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là $C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$
Do đó, số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=C_{3}^{2} \cdot 8^{2} \cdot C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$.
Bây giờ ta đếm số khả năng để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề:
Số khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là $C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$
Sau khi An chọn thì Bình có 2 cách chọn 2 môn thi tự chọn đề có đúng một môn thi tự chọn với An, để chung mã đề với An thì số cách chọn mã đề 2 môn thi của Bình là 1.8=8 cách. Như vậy, số cách chọn môn thi và mã đề thi của Bình là 2.8.
Do đó: $n(A)=C_{3}^{2} \cdot 8^{2} .2 .8$
Bởi vậy: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{C_{3}^{2} \cdot 8^{2} \cdot 2.8}{C_{3}^{2} \cdot 8^{2} \cdot C_{3}^{2} \cdot 8^{2}}=\dfrac{1}{12}$
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách xếp 10 người vào 10 chỗ là $10!$
Kí hiệu học sinh các lớp 12C là C
Ta xếp 5 học sinh của lớp 12C trước, khi đó xảy ra các trường hợp sau:
+TH1: $C x C x C x C x C x$ với x là ghế trống.
Khi đó, số cách xếp 5 vị trí là $5!$ và số cách xếp vào 5 vị trí x là $5!$
Nên có $5 ! .5 !$ cách xếp.
+ TH2: $x C x C x C x C x C$ cũng có $5!.5!$ cách xếp.
+ TH3: $C x x C x C x C x C$ ở đó hai vị trị $xx$ phải là 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B.
Số cách chọn 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B và 2 vị trí đó là $2.3.2!$
Ba ghế trống còn lại có $3!$ cách xếp.
Do đó có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.
+ TH4: $C x C x x C x C x C$ cũng có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.
+TH5: $C x C x x C x C x C$ cũng có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.
+TH6: $C x C x x C x C x C$ cũng có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.
Vậy có $2.5 ! .5 !+4.5 ! .2 .3 .2 ! .3 !=63360$ cách xếp.
Xác suất cần tính là: $\dfrac{63360}{10 !}=\dfrac{11}{630}$
Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trước hết ta tính xác suất để trong một lượt gieo thứ k không được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.
Số phần tử của không gian mẫu là $C_{2}^{1} \cdot C_{6}^{1}=12$.
Số cách gieo để được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp là $C_{1}^{1} \cdot C_{1}^{1}=1$. Vậy $P\left(A_{k}\right)=\dfrac{12-1}{12}=\dfrac{11}{12}$.
Gọi A là biến cố trong 3 lượt gieo có ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.
Khi đó $P(A)=1-P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)=1-\left(\dfrac{11}{12}\right)^{3}=\dfrac{397}{1728}$.
Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để có cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố "Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn", suy ra $\overline{A}$ là biến cố "Số cuốn sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn" = "Thầy X chắc chắn đã lấy hết số sách của một môn học".
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=C_{15}^{8}=6435$
TH1: Lấy hết 4 cuốn môn Toán và thêm 4 trong 11 cuốn còn lại có $C_{4}^{4} \cdot C_{11}^{4}$ cách.
TH2: Lấy hết 5 cuốn môn Lí và thêm 3 trong 10 cuốn còn lại có $C_{5}^{5} \cdot C_{10}^{3}$ cách.
TH3: Lấy hết 6 cuốn môn Hóa và thêm 2 trong 9 cuốn còn lại có $C_{6}^{6} \cdot C_{9}^{2}$ cách
$\begin{array}{l}{n(\overline{A})=C_{4}^{4} \cdot C_{11}^{4}+C_{5}^{5} \cdot C_{10}^{3}+C_{6}^{6} \cdot C_{9}^{2}=486 \Rightarrow P(\overline{A})=\dfrac{54}{715}} \\ {\Rightarrow P(A)=1-P(\overline{A})=\dfrac{661}{715}}\end{array}$
Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được năm ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là 0,5; 0,5.
Xét tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai thắng 2 ván.
Để người thứ nhất chiến thắng thì người thứ nhất cần thắng 1 ván và người thứ hai thắng không quá hai ván.
Có ba khả năng:
TH1: Đánh 1 ván. Người thứ nhất thắng xác suất là 0,5.
TH2: Đánh 2 ván. Người thứ nhất thắng ván thứ hai xác suất là $(0,5)^{2}$.
TH3: Đánh 3 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là $(0,5)^{3}$
Vậy $P=0,5+(0,5)^{2}+(0,5)^{3}=\dfrac{7}{8}$.
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $\overline{a b c d}$, trong đó $1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 9$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=9.10^{3}=9000$
Từ giả thiết: $1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 9 \Rightarrow 1 \leq a < b+1 < c+1 < d+1 \leq 9+3=12$
Số cách chọn a, b, c, d và sắp xếp chúng theo một thứ tự duy nhất là $C_{12}^{4}=495$
Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{495}{9000}=0,055$.
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết 45.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=A_{10}^{8}-A_{9}^{7}$
Gọi A là tập hợp các số a có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45.
Khi đó a chia hết cho 5 và 9
TH1: a có hàng đơn vị là 0;7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ số $\{1 ; 8\},\{2 ; 7\},\{3 ; 6\},\{4 ; 5\}$, có $4.7!$ số.
TH2: a có hàng đơn vị là 5;7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số $\{0 ; 9\},\{1 ; 8\},\{2 ; 7\},\{3 ; 6\}$Không có bộ $\{0 ; 9\}$, có 7 số
Có bộ $\{0 ; 9\}$ , có $C_{3}^{2}(7 !-6 !)$ số.
$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=4.7 !+C_{3}^{2}(7 !-6 !) } \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{4.7 !+C_{3}^{2}(7 !-6 !)}{A_{10}^{8}-A_{9}^{7}}=\dfrac{53}{2268}}\end{array}$