Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là $9.9=81 \Rightarrow n(\Omega)=81^{2}$.
Gọi A là biến cố: "Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung"
TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau $\Rightarrow$Có 81 cách
TH2: Bạn Công viết số có dạng $\overline{a b}$ và bạn Thành viết số có dạng $\overline{b a}$.
$\Rightarrow a \neq b \neq 0 \Rightarrow \cos 9.8=72$ cách.
TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau
+Trùng số 0: Số cần viết có dangj $\overline{a 0}$, Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết ( khác số Công viết)
$\Rightarrow$ Có 9.8 = 72 cách.
+ Trùng số 1: Số cần viết có dạng $\overline{a 1}(a \neq 0, a \neq 1)$ , hoặc $\overline{1 b}(b \neq 1)$.
Nếu Công viết số10, khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng $\overline{a 1}(a \neq 0, a \neq 1)$và 8 cách viết số có dạng $\overline{1 b}(b \neq 1) \Rightarrow$ Có 16 cách.
Nếu Công viết số có dạng $\overline{1 b}(b \neq 0, b \neq 1) \Rightarrow$Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng $\overline{a 1}(a \neq 0, a \neq 1)$ và 8 cách viết số có dạng $\overline{1 b}(b \neq 1)$
$\Rightarrow$ Có $8(7+8)=120$ cách .
Nếu Công viết có dạng $\overline{a 1}(a \neq 0, a \neq 1) \Rightarrow$ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng $\overline{a 1}(a \neq 0, a \neq 1)$ và 8 cách viết số có dạng $\overline{1 b}(b \neq 1)$
$\Rightarrow$Có $8(7+8)=120$cách.
$\Rightarrow$ Có 256 cách viết trùng số 1
Tương tự cho các trường hợp trùng số $2,3,4,5,6,7,8,9$
$\Rightarrow n(A)=81+72+72+256.9=2529$
Vậy $P(A)=\dfrac{2529}{81^{2}}=\dfrac{281}{729}$
Một bình đựng 12 quả cầu được đánh số từ 1 đến 12.Chọn ngẫu nhiên bốn quả cầu. Xác suất để bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố: " bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8".
Số cách chọn 4 trong số 12 quả cầu là $n(\Omega)=C_{12}^{4}=495$.
Số cách chọn 4 trong số 8 số từ 1 đến 8 là $n(A)=C_{8}^{4}=70$
$\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{70}{495}=\dfrac{14}{99}$
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 30. Tính xác suất của biến cố: "số được chọn là số nguyên tố"?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố: " số được chọn là số nguyên tố"
- Không gian mẫu: $\Omega=C_{30}^{1}=30$
- Trong dãy số tự nhiên nhỏ hơn 30 có 10 số nguyên tố.
$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=C_{10}^{1}=10} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{|\Omega|}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}}\end{array}$
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 7 là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=6.6=36$
Gọi $A$: "tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7".
Do đó $n(A)=6$
Vậy $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$
Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập $X=\{6 ; 7 ; 8\}$, trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là $C_{9}^{2}$
+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là $C_{7}^{3}$
+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là $C_{4}^{4}$
Số phần tử của tập S là $n(\Omega)=C_{9}^{2} \cdot C_{7}^{3} \cdot C_{4}^{4}=1260$
Gọi A là biến cố " Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6"
TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại
Số cách sắp xếp là $C_{8}^{1} \cdot C_{7}^{3} \cdot C_{4}^{4}=280 $ cách
TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chữ số 6
Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 686 là 1 cụm thì có 7 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{6}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_{3}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có $7 . C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3}=140$ số
Cách 2: Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 6886 là 1 cụm thì có 6 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{5}^{2}$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_{3}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có $6 . C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{3}=60$ số
Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó coi 68886 là 1 cụm thì có 5 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{4}^{1}$cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_{3}^{3}$cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có $5 . C_{4}^{1} \cdot C_{3}^{3}=20$ số.
Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 688886 là 1 cụm thì có 4 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{3}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có $4 C_{3}^{3}=4$ số
Vậy biến cố $A$ có $280+140+60+20+4=504$ phần tử
Xác suất cần tìm là $P(A)=\dfrac{504}{1260}=\dfrac{2}{5}$
Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy kết quả thu được là một số chi hết cho 3?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:
$X_{1} :\{1 ; 4 ; 7 ; \ldots ; 19\}$: chia cho 3 dư 1 ( có 7 phần tử)
$X_{2} :\{2 ; 5 ; 8 ; \ldots ; 20\}$: chia cho 3 dư 1 ( có 7 phần tử)
$X_{3} :\{3 ; 6 ; 9 ; \ldots ; 18\}$: chia hết cho 3 ( có 6 phần tử)
Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:
+ Cả 3 viên thuộc $X_{1}$, có: $C_{7}^{3}$ cách
+ Cả 3 viên thuộc $X_{2}$, có: $C_{7}^{3}$ cách
+ Cả 3 viên thuộc $X_{3}$, có $C_{6}^{3}$ cách
+ 1 viên thuộc $X_{1}$, 1 viên thuộc $X_{2}$, 1 viên thuộc $X_{3}$, có : 7.7.6 cách
$\Rightarrow$ Số cách thỏa mãn là: $C_{7}^{3}+C_{7}^{3}+C_{6}^{3}+7.7 .6=384$
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=6 !$
Gọi biến cố $A$: " Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ"
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.
Chọn chỗ cho học sinh năm thứ 2 có 4 cách ( không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)
Chọn chỗ cho học sinh năm thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai)
Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ: 3! cách.
$\begin{array}{l}{\Rightarrow n_{A}=6.4 \cdot 2.3 !=288 \text { cách. }} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{288}{6 !}=\dfrac{2}{5}}\end{array}$
Gieo ba đồng xu cân đối, đồng chất. Xác suất để có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=2^{3}=8$
Gọi $A$ là biến cố: " Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp"
Khi đó $A=\{S S N, S N S, N S S\} \text { nên } P(A)=\dfrac{3}{8}$
Có 2 hộp bút chì màu. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có có 8 bút chì màu đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A$ là biến cố: " có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh"
- Không gian mẫu: $|\Omega|=C_{12}^{1} \cdot C_{12}^{1}=144$
- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là: $C_{5}^{1} \cdot C_{4}^{1}$
- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là: $C_{8}^{1} \cdot C_{7}^{1}$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=C_{5}^{1} \cdot C_{4}^{1}+C_{8}^{1} \cdot C_{7}^{1}=76} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{|\Omega|}=\dfrac{76}{144}=\dfrac{19}{36}}\end{array}$
Gieo ba đồng xu cân đối, đồng chất. Xác suất để ba đồng xu ra cùng một mặt là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=2^{3}=8$
Ba đồng xu ra cùng một mặt thì chỉ có thể là $S S S, N N N$ nên: $P(A)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
Một hộp chứa 5 viên bi màu trắng, 15 viên bị màu xanh và 35 viên bi màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 7 viên bi. Xác suất để trong số 7 viên bi được lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A$ là biến cố: " trong số 7 viên bi được lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ"
- Số cách chọn 7 trong 20 viên bi là $C_{55}^{7}$.
- $\overline{A}$ là biến cố: " trong số 7 viên bi được lấy ra không có viên bi màu đỏ nào"
$\begin{array}{l}{=>n(\overline{A})=C_{20}^{7}} \\ {\Rightarrow n(A)=\Omega-n(\overline{A})=C_{55}^{7}-C_{20}^{7}} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{C_{55}^{7}-C_{20}^{7}}{C_{55}^{7}}}\end{array}$
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố: " 2 người được chọn có đúng một người nữ".
Số cách chọn 2 trong 10 người là $n(\Omega)=C_{10}^{2}=45$
Số cách chọn trong đó có 1 nữ và 1 nam là $n(A)=C_{3}^{1} \cdot C_{7}^{1}=21$
$\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15}$
Gieo hai con xúc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tổng hai mặt chia hết cho 3 là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=6^{2}$.
Gọi $A$ là biến cố: " Tổng hai mặt chia hết cho 3", các trường hợp có thể xảy ra của $A$ là:
$A=\{(1 ; 5),(5 ; 1),(1 ; 2),(2 ; 1),(2 ; 3),(3 ; 3),(6 ; 3),(4 ; 5),(5 ; 4)\}$
Do đó $n\left(\Omega_{A}\right)=12$
Vậy $P(A)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$
Một con xúc sắc cân đối, đồng chất được gieo 6 lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=6^{6} $.
TH1: Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần $\Rightarrow$ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.
TH2: Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow$ có 1 khả năng xảy ra.
TH3: Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần $\Rightarrow$ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.
TH4: Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow$ có 1 khả năng xảy ra.
Vậy có $30+1+30+1=62$ khả năng xảy ra biến cố $A$
Vậy $P(A)=\dfrac{62}{6^{6}}=\dfrac{31}{23328}$
Gieo ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc đó bằng nhau là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=6^{3}$
Gọi $A$ là biến cố: " Số chấm trên ba con xúc sắc bằng nhau"
Khi đó các trường hợp có thể có của $A$ là:
$(1 ; 1 ; 1),(2 ; 2 ; 2),(3 ; 3 ; 3),(4 ; 4 ; 4),(5 ; 5 ; 5),(6 ; 6 ; 6)$
Vậy $P(A)=\dfrac{6}{216}=\dfrac{1}{36}$
Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm ở hai lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $n(\Omega)=6^{5}$
Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là:
$\begin{array}{l}{(1 ; 1 ; 2),(1 ; 2 ; 3),(1 ; 3 ; 4),(1 ; 4 ; 5)} \\ {(1 ; 5 ; 6),(2 ; 1 ; 3),(2 ; 2 ; 4),(2 ; 3 ; 5)} \\ {(2 ; 4 ; 6),(3 ; 1 ; 4),(3 ; 2 ; 5),(3 ; 3 ; 6)} \\ {(4 ; 1 ; 5),(4 ; 2 ; 6),(5 ; 1 ; 6)}\end{array}$
Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có 6 khả năng xảy ra nên $n(A)=15.6 .6$
Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{15.6 .6}{6^{5}}=\dfrac{15}{216}$
Có 12 người xếp thành một hàng dọc ( vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác suất để 3 người được chọn không có 2 người nào cạnh nhau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
- Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)=C_{12}^{3}=220$.
- Giả sử chọn 3 người có số thứ trong hàng lần lượt là m,n,p.
Theo giả thiết ta có: $\left\{\begin{array}{l}{ m < n < p} \\ {n-m>1} \\ {p-n>1} \\ {m, n, p \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}\end{array}\right.$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}{a=m} \\ {b=n-1} \\ {c=p-2}\end{array}\right.$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{ a < b < c} \\ {b-a \geq 1} \\ {c-b \geq 1} \\ {1 \leq a < b < c=p-2 \leq 10}\end{array}\right.$
$\Rightarrow a, b, c$ là ba số bất kì trong tập $\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 10\} \Rightarrow$ có $C_{10}^{3}$ hay $n(A)=C_{10}^{3}=120$.
Vậy xác suất là $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{120}{220}=\dfrac{6}{11}$.
Đáp án: B
Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữah hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét các trường hợp sau:
TH1: Giữa hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có $2!. 8!$ cách.
TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{1} .7 !$ cách.
TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{2} .6 !$ cách.
TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{3} .5 !$ cách.
TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{4} .4 !$ cách.
Vậy theo quy tắc cộng có $2 !\left(8 !+A_{4}^{1} 7 !+A_{4}^{2} 6 !+A_{4}^{3} 5 !+A_{4}^{4} 4 !\right)=145152$ cách.
Đáp án: C
Có 20 sinh viên, có bao nhiêu cách chọn ra 4 sinh viên không xét tới tinh thứ tự tham gia câu lạc bộ Văn và 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán khi một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ
Tìm số trường hợp xảy ra khi chọn 4 sinh viên tham gia văn và 4 sinh viên tham gia toán
Tìm số trường hợp chỉ có 1 sinh viên tham gia nhiều nhất 1 câu lạc bộ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách chọn ra 4 sinh viên tham gia clb Văn và clb Toán không xét tới thứ tự
=>$\Omega (A) = C_{20}^4.C_{20}^4$
Gọi A là biến cố một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ
Khi một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất 1 câu lạc bộ thì sau khi chọn bất kì 4 sinh viên câu lạc bộ văn hoặc toán trong 20 sinh viên , ta lại chọn bất kì 4 sinh viên trong 16 sinh viên .
Khi đó ${n_A} = 2.C_{20}^4.C_{16}^4$
Khi đó xác suất của biến cố A là $P\left( A \right) = \dfrac{{2.C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \dfrac{{728}}{{969}}$.
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30 . Chọn ra ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xách suất để có đúng 5 số chia hết cho 3
- Tìm phần tử không gian mẫu là tổ hợp chập 10 của 30 phần tử
- Tìm số phần tử từ 1 đến 30 có bao nhiêu số chia hết cho 3 => chọn ra 5 phần tử
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Khi chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ , ta được không gian mẫu là $\Omega = C_{30}^{10}$
Gọi A là biến cố có đúng 5 số chia hết cho 3 trong 10 tấm thẻ.
Từ 1 đến 30 có 10 số chia hết cho 3 , chọn 5 số trong 10 số này , và chọn ngẫu nhiên 5 số còn lại trong 20 số
=> ${n_A} = C_{10}^5C_{20}^5$
Vậy xác suất của biến cố là $P(A) = \dfrac{{C_{10}^5C_{20}^5}}{{C_{30}^{10}}} = \dfrac{{62016}}{{476905}}$.