Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O,biết $OA=a$. Phép quay $Q_{(C, \pi)}$ biến A thành $A^{\prime}$, biến B thành $B^{\prime}$. Độ dài đoạn $A^{\prime}B^{\prime}$ là:
- Sử dụng tính chất của phép quay
- Áp dụng định lý cosin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$Q_{(C ; \pi)}(A)=A^{\prime}, Q_{(C ; \pi)}(B)=B^{\prime} \Rightarrow Q_{(C ; \pi)}(A B)=A^{\prime} B^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} B^{\prime}=A B$
Xét tam giác cân OAB có $\widehat{A O B}=\dfrac{360^{0}}{5}=72^{0}$
Áp dụng định lí Cosin ta có:
$\begin{aligned} A B^{2} &=O A^{2}+O B^{2}-2 . O A . O B . \cos \widehat{A O B} \\ &=a^{2}+a^{2}-2 a^{2} \cdot \cos 72^{0}=2 a^{2}\left(1-\cos 72^{0}\right)=2 a^{2} \cdot 2 \sin ^{2} 36^{0}=4 a^{2} \sin ^{2} 36^{0} \end{aligned}$
$\Rightarrow A B=2 a \sin 36^{0} \Rightarrow A^{\prime} B^{\prime}=2 a \sin 36^{0}$
Đáp án: D
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $d: x-y+4=0$. Hỏi trong 4 đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành d qua phép quay tâm $I(0;3)$ góc quay $\pi$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta$, ta có: $Q_{(I ; \pi)} : \Delta \mapsto d \Rightarrow Q_{(I ;-\pi)} : d \mapsto \Delta$
Ta lấy hai điểm bất kì thuộc d và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay $Q(I ;-\pi)$
Lấy $A(0 ; 4) ; B(-4 ; 0) \in d$
Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}$ lần lượt là ảnh của A và B qua phép quay $Q(I ;-\pi)$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{I A=I A^{\prime}} \\ {\widehat{A I A^{\prime}}=-180^{\circ}}\end{array} \Rightarrow\right.$ I là trung điểm của $A A^{\prime} \Rightarrow A^{\prime}(0 ; 2)$
Tương tự ta có I là trung điểm của $B B^{\prime} \Rightarrow B^{\prime}(4 ; 6)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A và B là:
$\dfrac{x-0}{4-0}=\dfrac{y-2}{6-2} \Leftrightarrow \dfrac{x}{4}=\dfrac{y-2}{4} \Leftrightarrow x-y+2=0$
Đáp án: C
Cho lục giác đều ABCDEF, tâm O, thực hiện lần lượt phép quay tâm O góc quay $60^{0}$ và phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{O C}$ thì ảnh của tam giác ABO là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{\begin{array}{l}{Q_{\left(O ; 60^{\circ}\right)}(A)=F} \\ {Q_{\left(O ; 60^{\circ}\right)}(B)=A \Rightarrow Q_{\left(O ; 60^{\circ}\right)}(A B O)=F A O} \\ {Q_{\left(O, 60^{\circ}\right)}(O)=O}\end{array}\right.$
$\left\{ \begin{array}{l} {T_{\overrightarrow {OC} }}(F) = O\\ {T_{\overrightarrow {OC} }}(A) = B\\ {T_{\overrightarrow {OC} }}(O) = C \end{array} \right. \Rightarrow {T_{\overrightarrow {OC} }}(FAO) = OBC$
$\Rightarrow \triangle A O B \stackrel{Q_{(O;60^{0})}}{\longrightarrow} \Delta F A O \stackrel{T_{\vec{OC}}}{\longrightarrow} \Delta O B C$
Đáp án: A
Cho hình vuông ABCD trong đó $A(1 ; 1), B(-1 ; 1), C(-1 ;-1), D(1 ;-1)$. Xét phép quay $Q\left(O ; \dfrac{\pi}{4}\right)$. Giả sử hình vuông $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ là ảnh của ABCD qua phép quay đó. Gọi S là diện tích hình vuông $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ nằm ngoài hình vuông ABCD. Tính S.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{Q_{\left(o ; \dfrac{\pi}{4}\right)}(A)=A^{\prime}, Q_{\left(o ; \dfrac{\pi}{4}\right)}(B)=B^{\prime}, Q_{\left(o ; \dfrac{\pi}{4}\right)}(C)=C^{\prime}, Q_{\left(o ; \dfrac{\pi}{4}\right)}^{(D)}} \ {=D^{\prime}}\end{array}$
như hình vẽ.
Ta có: $O A^{\prime}=O A=\sqrt{2} \Rightarrow A^{\prime} H=\sqrt{2}-1$
Dễ thấy tam giác $A^{\prime} E F$ là tam giác vuông cân tại $A^{\prime} $
$\Rightarrow E F=2 A^{\prime} H=2(\sqrt{2}-1)$
$\Rightarrow S_{\Delta A^{\prime} E F}=\dfrac{1}{2} A^{\prime} H \cdot E F=\dfrac{1}{2}(\sqrt{2}-1) \cdot 2(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2}-1)^{2}$
Vậy diện tích hình vuông $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ nằm ngoài hình vuông ABCD là
$S=4(\sqrt{2}-1)^{2}=4(3-2 \sqrt{2})=12-8 \sqrt{2}$
Đáp án: B
Cho $\Delta_{1} : 2 x-y+1=0, \Delta_{2} : 2 x-y+2=0, \Delta_{3} : y-1=0$.
Phép quay $Q_{\left(I, 180^{\circ}\right)}$ biến $\Delta_{1}$ thành $\Delta_{2}$, biến $\Delta_{3}$ thành chính nó. Tìm tọa độ điểm I.
Sử dụng tính chất của phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép quay $Q_{\left(I, 180^{\circ}\right)}$ biến $\Delta_{3}$ thành chính nó, do đó $I \in \Delta_{3} \Rightarrow I(a ; 1)$
Lấy điểm $A(0 ; 1) \in \Delta_{1} ; Q_{\left(I ; 180^{\circ}\right)}(A)=A^{\prime} \Rightarrow I$ là trung điểm của $A A^{\prime} \Rightarrow A^{\prime}(2 a ; 1)$
Phép quay $Q_{\left(I, 180^{\circ}\right)}$ là phép đối xứng tâm I, biến $\Delta_{1} \mapsto \Delta_{2} \Rightarrow A^{\prime} \in \Delta_{2}$, thay vào ta có:
$2.2 a-1+2=0 \Leftrightarrow 4 a+1=0 \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}$
Vậy $I\left(-\dfrac{1}{4} ; 1\right)$
Đáp án: D
Cho tam giác ABC tâm O và các đường cao $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều quay của kim đồng hồ). Ảnh của đường cao $A A^{\prime}$ qua phép quay $Q\left(O ; 240^{0}\right)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$Q_{\left(O ; 240^{\circ}\right)}(A)=B, Q_{\left(O ; 240^{\circ}\right)}\left(A^{\prime}\right)=B^{\prime} \Rightarrow Q_{\left(O ; 240^{\circ}\right)}\left(A A^{\prime}\right)=B B^{\prime}$
Đáp án: A
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $d: 2x-y+1=0$. Để phép quay tâm I góc quay $2017 \pi$ biến d thành chính nó thì tọa độ của I là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$Q_{(I ; 2017 \pi)}=Q_{(I ; \pi)}$ là phép đối xứng tâm I, do đó để phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành chính nó thì $I \in d$, xét bốn đáp án ta thấy chỉ có đáp án D, điểm $I(0 ; 1) \in d$.
Đáp án: D
Khẳng định nào sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép quay và phép tịnh tiến đều là phép dời hình, do đó các đáp án A, C, D đúng.
Đáp án B sai vì phép quay có góc quay $90^{0}$ biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó.
Đáp án: B
Cho hình thoi ABCD có góc $\widehat{A B C}=60^{\circ}$ (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh CD qua phép quay $Q_{\left(A, 60^{\circ}\right)}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phép quay tâm A góc quay $60^{\circ}$:
+ Biến C thành B;
+ Biến D thành C.
Vậy ảnh của của CD là BC.
Đáp án: B
Cho đường thẳng $d : 3 x-y+1=0$, đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau là ảnh của d qua phép quay tâm $O(0 ; 0) \text { góc } 90^{\circ}$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$Q\left(O ; 90^{\circ}\right)$ Biến đường thẳng d thành đường thẳng $d^{\prime} \text { và } d^{\prime} \perp d$, khi đó phương trình $d^{\prime}$ có dạng $x+3 y+c=0$
Lấy $A(0 ; 1) \in d$, gọi $A^{\prime}$ là ảnh của A qua $Q\left(O ; 90^{\circ}\right) \Rightarrow A^{\prime}(-1 ; 0)$ và $A^{\prime} \in d^{\prime} \Rightarrow-1+3.0+c=0 \Leftrightarrow c=1$
Vậy phương trình đường thẳng $d^{\prime} : x+3 y+1=0$.
Đáp án: B