Xét phép quay tâm O, góc quay $\alpha \neq k 2 \pi, k \in Z$. Hỏi có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua $Q(O ; \alpha)$ đã cho
Áp dụng tính chất của phép quay: Phép quay tâm O góc quay $\alpha \neq k 2 \pi, k \in Z$ biến điểm O thành chính nó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép quay tâm O góc quay $\alpha \neq k 2 \pi, k \in Z$ biến điểm O thành chính nó.
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là $4 x+3 y+5=0 \text { và } x+7 y-4=0$. Nếu có phép quay biến thành đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay $\varphi\left(0 \leq \varphi \leq 180^{\circ}\right)$ là:
Khi phép quay góc $\phi$ biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$ thì góc giữa 2 đường thẳng $(a,b)$ bằng góc $\phi$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $a: 4 x+3 y+5=0 $có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{a}}=(4 ; 3)$
Đường thẳng $b: x+7 y-4=0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{b}}=(1 ; 7)$.
Góc $\alpha$ là góc tạo bởi a và b ta có:
$\cos \alpha=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{a}}, \overrightarrow{n_{b}}\right)\right|=\dfrac{|4.1+3.7|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}} \sqrt{1^{2}+7^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha=45^{0}$
Vậy $\varphi=45^{0}$.
Đáp án: A
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng $a : 2 x+y+5=0$ và $b : x-2 y-3=0$. Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\vec{n}_{a}=(2 ; 1), \vec{n}_{b}=(1 ;-2) \Rightarrow \vec{n}_{a} \cdot \vec{n}_{b}=0 \Rightarrow a \perp b$
Do đó tồn tại phép quay góc $90^{0}$ biến đường thẳng này thành đường thẳng kia.
Đáp án: B
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm $A(1;0)$ thành điểm $A^{\prime}(0 ; 1)$. Khi đó nó biến điểm $M(1;-1)$ thành điểm:
- Vẽ hình tượng trưng và xác định góc quay
- Sử dụng biểu thức của phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết, kết hợp với hình vẽ ta thấy góc quay là $\dfrac{\pi}{2}$.
Khi đó phép quay tâm O góc quay $\dfrac{\pi}{2}$ biến điểm $M(1;-1)$ thành điểm $M^{\prime}(1 ; 1)$.
Đáp án: B
Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O, góc quay $\alpha\left(0<\alpha \leq 360^{\circ}\right)$ biến hình vuông đã cho thành chính nó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 4 phép quay biến hình vuông thành chính nó là
$Q\left(O ; 90^{\circ}\right), Q\left(O ; 180^{\circ}\right), Q\left(O ; 270^{0}\right), Q\left(O ; 360^{\circ}\right)$
Đáp án: D.
Cho hình chữ nhật tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc $\alpha \text { vói } 0 \leq \alpha<2 \pi$, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $0 \leq \alpha<2 \pi$ nên ta có các góc quay $0 ; \pi$.
Đáp án: B
Cho phép quay $Q(O ; \alpha)$ biến điểm A thành điểm M và các khẳng định sau:
a) O cách đều A và M
b) O thuộc đường tròn đường kính AM.
c) $\widehat{A O M}=\alpha$
Số khẳng định đúng là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép quay tâm O góc $\alpha$ biến điểm A thành điểm M khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{O A=O M} \\ {\widehat{A O M}=\alpha}\end{array}\right.$
Vậy khẳng định a) và c) đúng, khẳng định b) sai vì O là tâm đường tròn đi qua hai điểm A, M chưa chắc AM là đường kính của đường tròn ấy.
Đáp án: B
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M(1;1)$. Hỏi trong bốn điểm được cho ở các phương án dưới đây, điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc $45^{0}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi điểm $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của điểm $M(1 ; 1)$ qua phép quay tâm O góc $45^{0}$ nên ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=\cos 45^{0}-\sin 45^{0}=0} \\ {y^{\prime}=\sin 45^{0}+\cos 45^{0}=\sqrt{2}}\end{array} \Rightarrow M^{\prime}(0 ; \sqrt{2}) \equiv B\right.$
Đáp án: B
Cho phép quay $Q_{(O, \varphi)}$ biến điểm A thành điểm $A^{\prime}$ và biến điểm M thành điểm $M^{\prime}$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Sử dụng lý thuyết của phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì với góc quay khác $k \pi(k \in \mathbb{Z})$ thì hai vecto $\overrightarrow{A M} \text { và } \overrightarrow{A^{\prime} M^{\prime}}$ không cùng phương $\Rightarrow \overrightarrow{A M} \neq \overrightarrow{A^{\prime} M^{\prime}}$.
Đáp án: A
Cho tam giác đều tâm O. Với giá trị nào dưới đây của $\varphi$ thì phép quay $Q_{(O, \varphi)}$ biến tam giác đều thành chính nó?
Sử dụng tính chất của phép quay
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các góc quay để biến tam giác đều thành chính nó là $0 ; \dfrac{2 \pi}{3} ; \dfrac{4 \pi}{3} ; 2 \pi$.
Đáp án: B
Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc $\alpha \text { với } 0 \leq \alpha<2 \pi$, biến tam giác trên thành chính nó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $0 \leq \alpha<2 \pi$ nên ta có các góc quay $0 ; \dfrac{2 \pi}{3} ; \dfrac{4 \pi}{3}$.
Đáp án: C
Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A sai vì thiếu điều kiện $O M=O M^{\prime}$
C sai, phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên phép quay là 1 phép dời hình.
D hiển nhiên sai vì $O M=O M^{\prime}$
Đáp án: B
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì phép quay bảo toàn khoảng cách nên $O M^{\prime}=O M$
Đáp án: C
Gọi m là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm I góc quay $\alpha$ (biết rằng I không nằm trên d), đường thẳng d song song với m khi:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta dễ thấy chỉ có phép quay tâm I góc quay $\varphi=-\pi$ biến d thành m sao cho $d//m$.
Đáp án: B
Cho hai đường thẳng bất kì d và $d^{\prime}$. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng $d^{\prime}$?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng.
Đáp án: D
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm $M(2 ; 0) \text { và } N(0 ; 2)$. Phép quay tâm O biến điểm M thành điểm N, khi đó quay góc quay của nó là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có M thuộc tia Ox, N thuộc tia $O y \Rightarrow \varphi=90^{\circ}$.
Đáp án: C
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hiển nhiên A đúng.
Do $(A )=A^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{O A=O A^{\prime}} \\ {\left[\widehat{A O A^{\prime}}=180^{\circ} \quad \Rightarrow D_{O}=Q_{\left(O ; 180^{\circ}\right)}=Q_{\left(O ;-180^{\circ}\right)} \Rightarrow\right.} \\ {\widehat{A O A^{\prime}}=-180^{\circ}}\end{array}\right.$B và D đúng.
Ảnh của hai phép quay tâm O góc quay $90^{\circ}$ và phép quay tâm O góc quay $-90^{\circ}$ đối xứng nhau qua O.
Đáp án: C
Phép quay tâm O góc $-90^{0}$ biến đường tròn $(C) : x^{2}+y^{2}-4 x+1=0$ thành đường tròn có phương trình:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn (C) có tâm $I(2 ; 0)$, bán kính $R=\sqrt{2^{2}+0^{2}-1}=\sqrt{3}$
$Q_{\left(O ;-90^{\circ}\right)}(I)=I^{\prime}(0 ;-2) \Rightarrow Q_{\left(O ; 90^{\circ}\right)} :(C) \mapsto\left(C^{\prime}\right)$ có tâm $I^{\prime}(0 ;-2)$ và bán kính $R^{\prime}=R=\sqrt{3}$
Vậy phương trình đường tròn $\left(C^{\prime}\right)$ là:
$(x-0)^{2}+(y+2)^{2}=3 \Leftrightarrow x^{2}+(y+2)^{2}=3$
Đáp án: D
Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng $60^{0}$ (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD. Ảnh của cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay $60^{0}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết suy ra ABC là nửa tam giác đều, do đó $AC=2AB$.
Xét phép quay tâm A góc quay $60^{0}$, ta có:
+ Biến B thành K
+ Biến C thành D
Vậy ảnh của BC là KD
Đáp án: D
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm $A(1;0)$ thành điểm $A^{\prime}(0 ; 1)$. Khi đó nó biến điểm $M(1;-1)$ thành điểm:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép quay tâm O biến điểm $A(1;0)$ thành điểm $A^{\prime}(0 ; 1)$ là phép quay tâm O góc $90^{0}$
Gọi $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của điểm $M(1;-1)$ qua phép quay tâm O góc $90^{0}$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=1 . \cos 90^{0}+1 . \sin 90^{\circ}} \\ {y^{\prime}=1 . \sin 90^{\circ}-1 . \cos 90^{\circ}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=1} \\ {y^{\prime}=1}\end{array} \Rightarrow M^{\prime}(1 ; 1)\right.\right.$
Đáp án: B