Hàm số $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $ có đạo hàm cấp hai là
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, đạo hàm của 1 thương. Lưu ý các hàm số hợp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\' = \sqrt {{x^2} + 1} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$
$\begin{array}{l}\ny\'\' = \dfrac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{4{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\n\end{array}$
Đáp án C
Cho hàm số $y=\dfrac{3 x-2}{1-x}$. Giải bất phương trình $y^{\prime \prime}>0$
Tính $y\'\'$ rồi thay vào giải bất phương trình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y^{\prime}=\dfrac{1}{(x-1)^{2}} \Rightarrow y^{\prime \prime}=\dfrac{-2(x-1)}{(x-1)^{4}}=\dfrac{-2}{(x-1)^{3}}$
Bất phương trình $y^{\prime \prime}>0 \Leftrightarrow \dfrac{-2}{(x-1)^{3}}>0 \Leftrightarrow(x-1)^{3}<0 \Leftrightarrow x<1$
Đáp án: B
Cho hàm số $y=3 x^{5}-5 x^{4}+3 x-2$. Giải bất phương trình $y^{\prime \prime}<0$
Tính $y\'\'$ rồi thay vào giải bất phương trình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y^{\prime}=15 x^{4}-20 x^{3}+3 \Rightarrow y^{\prime \prime}=60 x^{3}-60 x^{2}$
Bất phương trình $y^{\prime \prime}<0 \Leftrightarrow 60 x^{3}-60 x^{2}<0 \Leftrightarrow x^{2}(x-1)<0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x<1} \\ {x \neq 0}\end{array}\right.$
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)=2 x^{2}+16 \cos x-\cos 2 x$. Tính giá trị của $f^{\prime \prime}(\pi)$.
Tính $f\'\'$ sau đó thay $x= \pi$ vào để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f^{\prime}(x)=4 x-16 \sin x+2 \sin 2 x \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=4-16 \cos x+4 \cos 2 x$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(\pi)=24$
Đáp án: A
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\sin 5 x \cos 2 x$
Chuyển tích thành tổng sau đó đạo hàm tính được $y\'\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y=\sin 5 x \cos 2 x=\dfrac{1}{2}(\sin 7 x+\sin 3 x)$
$\Rightarrow y^{\prime}=\dfrac{1}{2}(7 \cos 7 x+3 \cos 3 x) \Rightarrow y^{\prime \prime}=\dfrac{1}{2}(-49 \sin 7 x-9 \sin 3 x)$
Đáp án: D
Cho hàm số $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Tính $y\'\'$ sau đó thay vào từng đáp án để xét tính đúng sai của đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y^{\prime}=\dfrac{\left(2 x-x^{2}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{2 x-x^{2}}}=\dfrac{2-2 x}{2 \sqrt{2 x-x^{2}}}=\dfrac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}$
$y^{\prime \prime}=\dfrac{-\sqrt{2 x-x^{2}}-(1-x) \cdot \dfrac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}}{2 x-x^{2}}$
$=\dfrac{-\left(2 x-x^{2}\right)-(1-x)^{2}}{\sqrt{2 x-x^{2}}\left(2 x-x^{2}\right)}=\dfrac{-2 x+x^{2}-1+2 x-x^{2}}{\sqrt{2 x-x^{2}}\left(2 x-x^{2}\right)}=\dfrac{-1}{\sqrt{\left(2 x-x^{2}\right)^{3}}}$
Thay vào $y^{3} \cdot y^{\prime \prime}+1=\left(\sqrt{2 x-x^{2}}\right)^{3} \cdot \dfrac{-1}{\sqrt{\left(2 x-x^{2}\right)^{3}}}+1=-1+1=0$
Đáp án: A
Cho hàm số $f\left( x \right) = k\sqrt[3]{x} + \sqrt x $. Để hàm số có $f’’\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 1}}{4}$ thì giá trị của $k$ là
Sử dụng công thức tính đạo hàm ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.u’.{u^{n - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{k}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}$
$\Rightarrow f’’\left( x \right) = \dfrac{{ - 2k}}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}} - \dfrac{1}{{4x\sqrt x }}$
$ \Rightarrow f’’\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 2k}}{9} - \dfrac{1}{4}$
$f’’\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 1}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2k}}{9} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4} \Leftrightarrow k = 0$
Vậy $k=0$
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{12}}{x^4} - \sqrt 2 {x^3} + 9{x^2} - 6x + 8$. Giải bất phương trình $f’’\left( x \right) \ge 0$
Sử dụng công thức tính đạo hàm và giải bất phương trình trên tập số thực
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 3\sqrt 2 {x^2} + 18x - 6$
$f’’\left( x \right) = {x^2} - 6\sqrt 2 x + 18 = {\left( {x - 3\sqrt 2 } \right)^2} \ge 0\forall x \in \mathbb{R}$
Đáp án D
Với hàm số $f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}$ thì $f’’\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)$ bằng
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\sin u} \right)’ = \cos u.u’;\left( {\cos u} \right)’ = - \sin u.u’$ để tính đạo hàm cấp hai của hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2} \Rightarrow f’\left( x \right) = 3{\sin ^2}x.\cos x + 2x$
$ \Rightarrow f’’\left( x \right) = 6\sin x.{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x + 2 \Rightarrow f’’\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = 5$
Đáp án D
Cho hàm số $y=\cos ^{2} x$. Tính giá trị của $y^{\prime \prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.
+) Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)\' = n.{u^{n - 1}}.u\';\left( {\sin u} \right)\' = \cos u.u\';\left( {\cos u} \right)\' = - \sin u.u\'$
+) Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=-2 \sin x \cos x=-\sin 2 x \Rightarrow y^{\prime \prime}=-2 \cos 2 x \Rightarrow y^{\prime \prime \prime}=4 \sin 2 x$
$\Rightarrow y^{\prime \prime \prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \sqrt{3}$
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)=2 x^{2}+16 \cos x-\cos 2 x$. Tính giá trị của $f^{\prime \prime}(\pi)$.
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\sin u} \right)’ = \cos u.u’;\left( {\cos u} \right)’ = - \sin u.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f^{\prime}(x)=4 x-16 \sin x+2 \sin 2 x \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=4-16 \cos x+4 \cos 2 x$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(\pi)=24$
Đáp án: A
Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2 x-1}{x+1}$. Giải phương trình $f^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)$
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{(x+1)^{2}} \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{-2(x+1) \cdot 3}{(x+1)^{4}}=\dfrac{-6}{(x+1)^{3}}$
Phương trình $f^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \Leftrightarrow \dfrac{3}{(x+1)^{2}}=\dfrac{-6}{(x+1)^{3}} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{-2}{x+1}=1} \\ {x \neq-1}\end{array} \Leftrightarrow x=-3\right.$
Đáp án: D
Cho hàm số $y=\sin ^{3} x$. Rút gọn biểu thức $M=y^{\prime \prime}+9 y$.
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\sin u} \right)’ = \cos u.u’;\left( {\cos u} \right)’ = - \sin u.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y=\sin ^{3} x \Rightarrow y^{\prime}=3 \sin ^{2} x \cdot \cos x \text { và } y^{\prime \prime}=6 \sin x \cdot \cos ^{2} x-3 \sin ^{3} x$
Khi đó $M=y^{\prime \prime}+9 y=6 \sin x \cdot \cos ^{2} x-3 \sin ^{3} x+9 \sin ^{3} x=6 \sin x\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)=6 \sin x$
Đáp án: B
Cho hàm số $y = \dfrac{m}{4}{x^4} + \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 5x + 2020$. Tìm giá trị tham số m để đạo hàm cấp hai của hàm số là bình phương của một nhị thức.
- Áp dụng công thức đạo hàm
- Tách đạo hàm cấp hai ghép thành bình phương của nhị thức
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y= \dfrac{m}{4}{x^4} + \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 5x + 2020 \Rightarrow y\' = m{x^3} + {x^2} + 1 - 5$
$\Rightarrow y\'\' = 3m{x^2} + 2x + 1 = \left( {3m - 1} \right){x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2}$
Để đạo hàm cấp hai là bình phương của nhị thức thì $3m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$
Đáp án A
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos x\cos 2x\cos 3x$ bằng biểu thức nào dưới đây?
- Áp dụng công thức đạo hàm $\left( {\cos u} \right)’ = - \sin u.u’;\left( {\sin u} \right)’ = \cos u.u’$
- Biến đổi hàm số từ dạng tích về dạng tổng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \cos x\cos 2x\cos 3x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \dfrac{1}{4}\cos 6x + \dfrac{1}{4}\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{4}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = - \dfrac{1}{2}\sin 2x - \sin 4x - \dfrac{3}{2}\sin 6x\\ \Rightarrow y’’ = - \cos 2x - 4\cos 4x - 9\cos 6x \end{array}$
Đáp án B
Cho hàm số $y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
- Rút gọn hàm số về dạng đơn giản nhất sau đó đạo hàm để tìm ra mối quan hệ
- Áp dụng công thức công thức đạo hàm $\left( {\cos x} \right)\' = - \sin x;\left( {\sin x} \right)\' = \cos x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}} = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}} = \sin x + \cos x$
$\Rightarrow y\' = \cos x - \sin x \Rightarrow y\'\' = - \sin x - \cos x \Rightarrow y\'\' + y = 0$
Đáp án D
Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}}$. Phương trình $f’’(x)=0$ có nghiệm là
- Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có ${\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + C_n^1x + ... + C_n^n{x^n}$
- Sử dụng công thức đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng khai triển nhị thức Newton, ta có: $f\left( x \right) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}} = {\left( {1 + x} \right)^{10}}$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 10{\left( {1 + x} \right)^9} \Rightarrow f’’\left( x \right) = 90{\left( {1 + x} \right)^8}$
Phương trình $f’’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90{\left( {1 + x} \right)^8} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$
Đáp án C
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 9t\left( {t > 0} \right)$, t tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là
- Vận tốc triệt tiêu là lúc vận tốc bằng 0, phương trình vận tốc bằng đạo hàm của phương trình chuyển động thẳng
- Gia tốc bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $v\left( t \right) = S\'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\left( s \right)$
$ \Rightarrow a\left( t \right) = S\'\'\left( t \right) = 6t - 6 \Rightarrow a\left( 3 \right) = 12m/{s^2}$
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là $12m/s^2$
Đáp án B
Cho hàm số: $y = \dfrac{{x - 3}}{{x + 4}}$ . Chọn biểu thức đúng
Áp dụng công thức : $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)\' = \dfrac{{u\'v - v\'u}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = \left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}}} \right)\' =\dfrac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}$
$y\'\' = \dfrac{{ - 7\left( {{{\left( {x + 4} \right)}^2}} \right)\'}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}$
Khi đó $\dfrac{y\'\'}y=\dfrac{-2}{x+4}$ => Loại A
Thử đáp án B ta có: $2\dfrac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} - 1} \right).\left( {\dfrac{{ - 14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}} \right) < = > \dfrac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \dfrac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}$
Vậy : Đáp án đúng là B
Tính giá trị biểu thức sau: $\dfrac{{2y’ - xy’’}}{{1 + 2x}}$ biết: $y=x\sin 2x$
Áp dụng công thức $(uv)’ = u’v + v’u$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y’ = \left( {x\sin 2x} \right)’ = x’\sin 2x + x\left( {\sin 2x} \right)’ = \sin 2x + 2x\cos 2x$
$= > y’’ = \left( {\sin 2x} \right)’ + \left( {2x} \right)’\cos 2x + 2x\left( {\cos 2x} \right)’ = 4\cos 2x - 4x\sin 2x$
Khi đó, ta suy ra : $\dfrac{{2y’ - xy’’}}{{1 + 2x}} = \dfrac{{2\sin 2x + 4x\sin 2x}}{{1 + 2x}} = 2\sin 2x$