Hàm số $y=\dfrac{x}{x-2}$ có đạo hàm cấp hai là:
Tính đạo hàm cấp 1, sau đó tính đạo hàm cấp 2.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=\dfrac{1 .(x-2)-x .1}{(x-2)^{2}}=\dfrac{-2}{(x-2)^{2}}$
$y^{\prime \prime}=\dfrac{(-2)^{\prime}(x-2)^{2}-(-2) \cdot\left((x-2)^{2}\right)^{\prime}}{(x-2)^{4}}=\dfrac{4(x-2)}{(x-2)^{4}}=\dfrac{4}{(x-2)^{3}}$
Đáp án: D
Hàm số $y=\sqrt{2 x+5}$ có đạo hàm cấp hai bằng
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp là $(u^n)’=n.u^{n-1}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=\dfrac{(2 x+5)^{\prime}}{2 \sqrt{2 x+5}}=\dfrac{1}{\sqrt{2 x+5}}=(2 x+5)^{-\frac{1}{2}}$
$y^{\prime \prime}=-\dfrac{1}{2} \cdot(2 x+5)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot(2 x+5)^{\prime}$
$\begin{array}{l}{=-\dfrac{1}{2}(2 x+5)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2} \\ {=-\dfrac{1}{(2 x+5)^{\frac{3}{2}}}=-\dfrac{1}{(2 x+5) \sqrt{2 x+5}}}\end{array}$
Đáp án: C
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\tan x$ bằng:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ${\left( {\dfrac{1}{u}} \right)^\prime } ={u’} \dfrac{{-1}}{{{u^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$y^{\prime}=\dfrac{1}{\cos ^{2} x}$
$y^{\prime \prime}=\dfrac{-\left(\cos ^{2} x\right)^{\prime}}{\cos ^{4} x}=-\dfrac{2 \cos x(\cos x)^{\prime}}{\cos ^{4} x}=\dfrac{2 \sin x}{\cos ^{3} x}$
Đáp án: D
Giả sử $h(x)=5(x+1)^{3}+4(x+1)$.
Tập nghiệm của phương trình $h^{\prime \prime}(x)=0$ là:
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số và giải phương trình $h’’(x)=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{h^{\prime}(x)=15(x+1)^{2}+4} \\ {h^{\prime \prime}(x)=30(x+1)=0 \Leftrightarrow x=-1}\end{array}$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2 x-1}{x+1}$. Giải phương trình $f^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)$
Tính $f’;f’’$ rồi giải phương trình $f’(x)=f’’(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{(x+1)^{2}} \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{-2(x+1) \cdot 3}{(x+1)^{4}}=\dfrac{-6}{(x+1)^{3}}$
Phương trình $f^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \Leftrightarrow \dfrac{3}{(x+1)^{2}}=\dfrac{-6}{(x+1)^{3}} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{-2}{x+1}=1} \\ {x \neq-1}\end{array} \Leftrightarrow x=-3\right.$
Đáp án: D
Cho hàm số $y=\sin ^{3} x$. Rút gọn biểu thức $M=y^{\prime \prime}+9 y$.
Tính đạo hàm cấp một và hai sau đó thay vào biểu thức để rút gọn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y=\sin ^{3} x \Rightarrow y^{\prime}=3 \sin ^{2} x \cdot \cos x \text { và } y^{\prime \prime}=6 \sin x \cdot \cos ^{2} x-3 \sin ^{3} x$
Khi đó $M=y^{\prime \prime}+9 y=6 \sin x \cdot \cos ^{2} x-3 \sin ^{3} x+9 \sin ^{3} x=6 \sin x\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)=6 \sin x$
Đáp án: B
Cho hàm số $f\left( x \right) = k\sqrt[3]{x} + \sqrt x $. Để hàm số có $f’’\left( 1 \right)= \dfrac{{ - 1}}{4}$ thì giá trị của $k$ là
Sử dụng công thức tính đạo hàm ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.u’.{u^{n - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{k}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}$
$\Rightarrow f’’\left( x \right) = \dfrac{{ - 2k}}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}} - \dfrac{1}{{4x\sqrt x }}$
$ \Rightarrow f’’\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 2k}}{9} - \dfrac{1}{4}$
$f’’\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 1}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2k}}{9} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4} \Leftrightarrow k = 0$
Vậy $k=0$
Đáp án C
Cho hàm số $y=\sin 2x$. Hãy chọn câu đúng:
Sử dụng công thức $\left( {\sin u} \right)’ = \cos u.u’;\left( {\cos u} \right)’ = - \sin u.u’$ để tính đạo hàm cấp hai của hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sin 2x \Rightarrow y’ = 2\cos 2x \Rightarrow y’’ = - 4\sin 2x = - 4y$
$ \Rightarrow 4y + y’’ = 0$
Đáp án B
Cho hàm số $f(x)=(2 x+5)^{5}$. Có đạo hàm cấp 3 bằng:
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{f^{\prime}(x)=5(2 x+5)^{4}(2 x+5)^{\prime}=10(2 x+5)^{4}} \\ {f^{\prime \prime}(x)=40(2 x+5)^{3}(2 x+5)^{\prime}=80(2 x+5)^{3}} \\ {f^{\prime \prime \prime}(x)=240(2 x+5)^{2}(2 x+5)^{\prime}=480(2 x+5)^{2}}\end{array}$
Đáp án: B
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp hai trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng.
Sử dụng định nghĩa của đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có $f\'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Suy ra $f\'\'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\'\left( x \right) - f\'\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Đáp án B
Giải phương trình $f’’(x)=0$ biết $f(x)=x^3-3x^2$
Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {{x^n}} \right)’ = n{x^{n - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} \Rightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f’’\left( x \right) = 6x - 6$
Từ đó $f’’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Đáp án B
Đạo hàm hai lần của hàm số $y=\tan x$ ta được
Áp dụng công thức $\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x;\left( {\tan x} \right)’ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \tan x \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1 \Rightarrow y’’ = 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 2\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)$
Đáp án B
Hàm số nào sau đây có đạo hàm cấp hai là $6x$
Áp dụng công thức đạo hàm $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hàm số $g(x)=3x^2$ có đạo hàm là $g’(x)=6x$
Hàm số $y=x^3$ có đạo hàm là $y’=3x^2=g(x)$
Suy ra hàm số $y=x^3$ có đạo hàm cấp hai là $6x$
Đáp án A
Tính giá trị biểu thức $A = y + y’’$ biết $y = 3\sin \left( {x + 2020} \right) + 5\cos \left( {x + 2019} \right)$
Áp dụng công thức $\left( {\cos u} \right)’ = - \sin u.u’;\left( {\sin u} \right)’ = \cos u.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = 3\sin \left( {x + 2020} \right) + 5\cos \left( {x + 2019} \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = 3\cos \left( {x + 2020} \right) - 5\sin \left( {x + 2019} \right)\\ \Rightarrow y’’ = - 3\sin \left( {x + 2020} \right) - 5\cos \left( {x + 2019} \right)\\ \Rightarrow A = y + y’’ = 0 \end{array}$
Đáp án C
Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình $S= {t^3} - 4{t^2} - 2t + 1$, t tính theo giây S tính theo mét. Gia tốc chuyển động của chất điểm khi $t=3s$ là:
Gia tốc của chất điểm là đạo hàm cấp hai của quãng đường chất điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $S = {t^3} - 4{t^2} - 2t + 1 \Rightarrow S’ = 3{t^2} - 8t - 2$
$\Rightarrow a = S’’ = 6t - 8 \Rightarrow a\left( 3 \right) = 10$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 3}}$. Phương trình $y’’=0$ có nghiệm là
Áp dụng công thức $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 3}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$
$\Rightarrow y’’ = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} + \dfrac{2}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}$
Phương trình $y’’ = 0 \Leftrightarrow x = - 2$
Đáp án B
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số: $y={\sin ^3}3x - {\cos ^2}4x$. tại $x=\dfrac{\pi}4$
Để ý công thức đạo hàm $\left( {{u^\alpha }} \right)\' = \alpha {u^{\alpha - 1}}u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y’ = \left( {{{\sin }^3}3x - {{\cos }^2}4x} \right)’ = 9{\sin ^2}3x\cos 3x + 8\sin 4x\cos 4x = \dfrac{9}{2}\sin 6x\sin 3x + 4\sin 8x = \dfrac{9}{4}(\cos 3x - \cos 9x) + 4\sin 8x$
$ = > y’’ = - \dfrac{{27}}{4}\sin 3x + \dfrac{{81}}{4}\sin 9x + 32\cos 8x$ $(1)$
Thay $x=\dfrac{\pi}4$ vào $(1)$ , ta có : $y’’=\dfrac{{128 + 27\sqrt 2 }}{4}$
Cho hàm số: $y = {\cos ^2}3x$ . Tính tỉ số: $\dfrac{{y’’}}{{y’}}$
Áp dụng công thức $\left( {{u^\alpha }} \right)’ = \alpha {u^{\alpha - 1}}u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y = {\cos ^2}3x$
$y’ = \left( {{{\cos }^2}3x} \right)’ = 2.\cos 3x\left( {\cos 3x} \right)’ = 2.\cos 3x.\left( { - \sin 3x} \right)\left( {3x} \right)’ = - 3\sin 6x$
$y’’ = \left( { - 3\sin 6x} \right)’ = - 18\cos 6x$
$=>\dfrac{{y’’}}{{y’}} = 6\cot 6x$
Tìm đạo hàm cấp $n$ của hàm số sau: ${x^3} - 3{x^2} + 2x + 1$
Đạo hàm từng bước, từng thành phần
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)\' = 3{x^2} - 6x + 2$
=> $y\'\' = \left( {3{x^2} - 6x + 2} \right)\' = 6x - 6$
=> ${y^{\left( 3 \right)}} = 6$
=> ${y^{(4)}} = 0 = > ... = > {y^{(n)}} = 0$
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đạo hàm liên tục một ví dụ về hàm mũ của $x$ và nhận xét
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với một hàm mũ hữu hạn của $x$ , mỗi lần đạo hàm thì bậc của $x$ giảm dần => Chọn C