Tìm vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\cos x + \sin 2x}}{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}}$
- Sử dụng công thức vi phân
- Sử dụng công thức nhân ba trong lượng giác, biến tích thành tổng và biến đổi đưa đạo hàm về dạng gọn nhất
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\cos x + \sin 2x}}{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}} = \dfrac{{\cos x + \sin 2x}}{{\cos 3x}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = \dfrac{{\left( { - \sin x + 2\cos 2x} \right)\cos 3x + 3\sin 3x\left( {\cos x + \sin 2x} \right)}}{{{{\cos }^2}3x}}\\ = \dfrac{{ - \sin x\cos 3x + 2\cos 2x\cos 3x + 3\sin 3x\cos x + 3\sin 3x\sin 2x}}{{{{\cos }^2}3x}}\\ = \dfrac{{ - \left( {\sin 4x - \sin 2x} \right) + 2\left( {\cos 5x + \cos x} \right) + 3\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right) + 3\left( {\cos x - \cos 5x} \right)}}{{{{\cos }^2}3x}}\\ = \dfrac{{ - \cos 5x + 2\sin 4x + 4\sin 2x + 5\cos x}}{{{{\cos }^2}3x}}\n\end{array}$
$\Rightarrow dy = \left( {\dfrac{{ - \cos 5x + 2\sin 4x + 4\sin 2x + 5\cos x}}{{{{\cos }^2}3x}}} \right)dx$
Đáp án D
Cho biểu thức vi phân $dy = \left( {8\cos 8x.\cos 4x.\cos 2x.\cos x.\sin x} \right)dx$. Hàm số $y=f(x)$ là hàm số nào sau đây
Cho $dy=h(x)dx$ thì $y\'=h(x)$ tìm được hàm số $y=f(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $dy = \left( {8\cos 8x.\cos 4x.\cos 2x.\cos x.\sin x} \right)dx$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = 8\cos 8x.\cos 4x.\cos 2x.\cos x.\sin x = 4\cos 8x.\cos 4x.\cos 2x.\sin 2x\\ = 2\cos 8x.\cos 4x.\sin 4x = \cos 8x.\sin 8x = \dfrac{1}{2}\sin 16x\\ \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{{32}}\cos 16x\n\end{array}$
Đáp án C
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = C_{2020}^1x + C_{2020}^2{x^2} + ... + C_{2020}^{2020}{x^{2020}}$. Chọn mệnh đề đúng?
- Sử dụng công thức vi phân
- Áp dụng khai triển nhị thức Newton ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + ... + C_n^n{x^n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng khai triển nhị thức Newton ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + ... + C_n^n{x^n}$
Ta có $y = f\left( x \right) = C_{2020}^1x + C_{2020}^2{x^2} + ... + C_{2020}^{2020}{x^{2020}} = {\left( {1 + x} \right)^{2020}} - 1$
$ \Rightarrow y\' = 2020{\left( {1 + x} \right)^{2019}} \Rightarrow dy = 2020{\left( {1 + x} \right)^{2019}}dx$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \sum\limits_{k = 0}^{2021} {C_n^k{{.2}^{2021 - k}}{x^{2k}}} $. Vi phân của hàm số là
- Sử dụng công thức vi phân
- Áp dụng khai triển nhị thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng khai triển nhị thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k}} $
Ta có $y = \sum\limits_{k = 1}^{2021} {C_{2021}^k{{.2}^{2021 - k}}{x^{2k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{2021} {C_{2021}^k{{.2}^{2021 - k}}.{{\left( {{x^2}} \right)}^k}} = {\left( {2 + {x^2}} \right)^{2021}}$
$\Rightarrow y\' = 4042x{\left( {2 + {x^2}} \right)^{2020}} \Rightarrow dy = 4042x{\left( {2 + {x^2}} \right)^{2020}}dx$
Đáp án B
Vi phân của hàm số $y = \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} + 2} $ có dạng $dy = \dfrac{{h\left( x \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }}dx$. Giá trị nhỏ nhất của $h(x)$ là
- Sử dụng công thức vi phân $dy=y\'dx$
- Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} + 2} \Rightarrow y\' = \sqrt {{x^2} + 2} + \left( {x - 3} \right)\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \dfrac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \dfrac{{4{x^2} - 6x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{4{x^2} - 6x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }}dx \Rightarrow h\left( x \right) = 4{x^2} - 6x + 4 = {\left( {2x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4}$
Đáp án C
Cho hàm số $y = \sqrt {8 + 2\sqrt {8 + 2\sqrt {8 + 8\cos 8x} } } $ với $x \in (0; \dfrac{\pi}4)$Vi phân của hàm số là
- Sử dụng công thức hạ bậc của lượng giác để rút gọn hàm số
- Sử dụng biểu thức vi phân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y= \sqrt {8 + 2\sqrt {8 + 2\sqrt {8 + 8\cos 8x} } } = \sqrt {8 + 2\sqrt {8 + 2\sqrt {16{{\cos }^2}4x} } } $
$ = \sqrt {8 + 2\sqrt {8 + 8\cos 4x} } = \sqrt {8 + 2\sqrt {16{{\cos }^2}2x} } = \sqrt {8 + 8\cos 2x} = \sqrt {16{{\cos }^2}x} = 4\cos x$
$ \Rightarrow y’ = - 4\sin x \Rightarrow dy = \left( { - 4\sin x} \right)dx$
Đáp án C
Cho hàm số $y = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k.{{\left( { - 2} \right)}^{2019 - k}}.{x^{4038 - k}}} $. Vi phân của hàm số là
- Sử dụng công thức vi phân $dy=y\'dx$
- Áp dụng khai triển hệ thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k.{{\left( { - 2} \right)}^{2019 - k}}.{x^{4038 - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k.{{\left( { - 2{x^2}} \right)}^{2019 - k}}.{x^k}} = {\left( { - 2{x^2} + x} \right)^{2019}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = 2019\left( { - 4x + 1} \right){\left( { - 2{x^2} + x} \right)^{2018}}\\ \Rightarrow dy = 2019\left( { - 4x + 1} \right){\left( { - 2{x^2} + x} \right)^{2018}}dx\n\end{array}$
Đáp án B
Vi phân của hàm số $y = 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + .... + \dfrac{1}{{{x^{2n}}}} - \dfrac{1}{{{x^{2n + 1}}}} + ...$ với $|x|> 1$ là
- Áp dụng tổng cấp số nhân lùi vô hạn để rút gọn hàm số
- Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + .... + \dfrac{1}{{{x^{2n}}}} - \dfrac{1}{{{x^{2n + 1}}}} + ...$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=-\dfrac1x$
$\Rightarrow y = \dfrac{1}{{1 - \left( {\dfrac{{ - 1}}{x}} \right)}} = \dfrac{x}{{x + 1}}$
$ \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow dy = \dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \dfrac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x + 2{{\cos }^3}x - 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}$. Phương trình $y’=0$ có bao nhiêu nghiệm đoạn $[ -2019 \pi;2019 \pi ]$
- Áp dụng công thức hạ bậc để rút gọn hàm số
- Sử dụng công thức vi phân $dy=y\'dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l} {\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x + 2{\cos ^3}x - 1\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\cos ^2}\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x - \cos x} \right) - 1\\ = 2{\cos ^2}x\left( {\cos x + \cos 2x} \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\cos ^4}x - 1\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3{\cos ^4}x - 1\\ = - 3{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 3{\cos ^2}x\cos 2x \end{array}$
Điều kiện xác định $\left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\ \cos 2x \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\\ x \ne \dfrac{\pi }{4} + m\dfrac{\pi }{2} (m \in \mathbb{Z}) \end{array} \right.$
Trên tập xác định của hàm số ta có $y = \dfrac{2}{3}\left( {1 + \dfrac{{\cos x}}{{\cos 2x}}} \right)$
$\Rightarrow y\' = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{ - \sin x.\cos 2x + 2\sin 2x.\cos x}}{{{{\cos }^2}2x}} \Rightarrow dy = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{ - \sin x.\cos 2x + 2\sin 2x.\cos x}}{{{{\cos }^2}2x}}dx$
Đáp án C
Cho biểu thức vi phân $dy = \left( {5{x^4} + 8{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2} \right)dx$. Hàm số $y=f(x)$ có thể là hàm số nào sau đây?
- Áp dụng công thức đạo hàm mũ $\left( {{x^n}} \right)\' = n.{x^{n - 1}}$
- Sử dụng công thức vi phân để tìm hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $dy = \left( {5{x^4} + 8{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2} \right)dx$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = 5{x^4} + 8{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2 = \left( {{x^5}} \right)\' + 2\left( {{x^4}} \right)\' + \left( {{x^3}} \right)\' + 2\left( {{x^2}} \right)\' + 2\left( x \right)\'\\ \Rightarrow y = {x^5} + 2{x^4} + {x^3} + 2{x^2} + 2x\n\end{array}$
Đáp án A