Tính vi phân của hàm số $\begin{array}{l} y=\sin \left( {3x} \right).\cos \left( {5x} \right)\\ \end{array}$
Sử dụng công thức biến tích thành tổng sau đó sử dụng $dy = f’\left(x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sin \left( {3x} \right).\cos \left( {5x} \right) = \dfrac{1}{2}\sin \left( {8x} \right) - \dfrac{1}{2}\sin \left( {2x} \right)$
$ \Rightarrow dy = \left( {4\cos \left( {8x} \right) - \cos \left( {2x} \right)} \right)dx$
Đáp án C
Tính vi phân của hàm số $y = x.\cos x$
Sử dụng công thức đạo hàm tích là ${\left( {u.v} \right)^\prime } = u\'.v + u.v\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\' = x\'.\cos x + x.{\left( {\cos x} \right)^\prime } = \cos x - x.\sin x$
$\Rightarrow dy = y\'.dx = \left( {\cos x - x.\sin x} \right)dx$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sin x}}{{1 + {x^2}}}$ là
Sử dụng công thức $dy=y’dx;{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u’;{\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sin x}}{{1 + {x^2}}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{\cos x\left( {1 + {x^2}} \right) - \sin x.2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\cos x - 2x\sin x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\cos x - 2x\sin x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}.dx$
Đáp án D
Giá trị vi phân của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$ tại điểm $x = \dfrac{\pi }{3}$ ứng với $\Delta x = 0,01$
Sử dụng công thức $df\left( {{x_0}} \right)=f’\left( {{x_0}} \right)\Delta x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = \sin 2x \Rightarrow f’\left( x \right) = 2\cos 2x$
$df\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = f’\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\Delta x$ ứng với $\Delta x=0,01$ là $df\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = f’\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\Delta x = 2\cos \dfrac{{2\pi }}{3}.0,01 = - 0,01$
Đáp án A
Tính vi phân của hàm số $y = {\tan ^2}\sqrt {{x^2} + 1}$
Sử dụng công thức vi phân $dy = f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\tan ^2}\sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow y’ = 2\tan \sqrt {{x^2} + 1} .\left( {\tan \sqrt {{x^2} + 1} } \right)’ = 2\tan \sqrt {{x^2} + 1} .\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\cos }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{2x\tan \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} {{\cos }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}dx$
Đáp án C
Tìm vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sin 2x - \cos 2x}}{{\sin 2x + \cos 2x}}$
- Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
- Biến đổi hàm số về dạng đơn giản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sin 2x - \cos 2x}}{{\sin 2x + \cos 2x}} = \dfrac{{ - \sqrt 2 \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\sqrt 2 \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}} = - \cot \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)$
$\Rightarrow y’ = \dfrac{2}{{{{\sin }^2}\left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}} \Rightarrow dy = \dfrac{{2dx}}{{{{\sin }^2}\left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}$
Đáp án C
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sin 2x + \sin x}}{{\tan x + 2\sin x}}$ là
- Sử dụng công thức vi phân
- Biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất rồi tính vi phân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sin 2x + \sin x}}{{\tan x + 2\sin x}} = \dfrac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sin x\left( {\dfrac{1}{{\cos x}} + 2} \right)}} = \cos x$
$ \Rightarrow y\' = - \sin x \Rightarrow dy = - \sin xdx$
Đáp án B.
Vi phân của hàm số $y = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}}} $ là
- Sử dụng công thức vi phân
- Biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất rồi vi phân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}}} = \sqrt {\dfrac{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}}{{2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}}} = \sqrt {{{\cot }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)} $
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = \dfrac{{2\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\left( {\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right)} \right)\'}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)} }} = \dfrac{{\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right).\dfrac{-1}{{2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}}}}{{\left| {\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right)} \right|}} = \dfrac{{-\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right)}}{{2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)\left| {\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right)} \right|}}\\ \Rightarrow dy = \dfrac{{-\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right)dx}}{{2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)\left| {\cot \left( {\dfrac{x}{2}} \right)} \right|}}\n\end{array}$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y = \left( {\sin 2x + 4} \right)\left( {{{\cos }^6}x - {{\sin }^6}x} \right) + 2$ là
- Sử dụng công thức vi phân
- Biến đổi hàm số về dạng đơn giản rồi vi phân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \left( {\sin 2x + 4} \right)\left( {{{\cos }^6}x - {{\sin }^6}x} \right) + 2 = \left( {\sin 2x + 4} \right)\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^4}x + {{\cos }^2}x{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x} \right) + 2$
$\begin{array}{l} = \left( {\sin 2x + 4} \right).\cos 2x.\left( {{{\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)}^2} - {{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \right) + 2 = \left( {\sin 2x + 4} \right)\cos 2x.\left( {1 - \dfrac{1}{4}{{\sin }^2}2x} \right) + 2\\ = \left( {\dfrac{1}{2}\sin 4x + 4\cos 2x} \right).\left( {1 - \dfrac{{1 - \cos 4x}}{8}} \right) = \dfrac{7}{{16}}\sin 4x + \dfrac{7}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{{32}}\sin 8x + \dfrac{1}{2}\cos 2x\cos 4x\\ = \dfrac{1}{{32}}\sin 8x + \dfrac{1}{4}\cos 6x + \dfrac{7}{{16}}\sin 4x + \dfrac{{15}}{4}\cos 2x\n\end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = \dfrac{1}{4}\cos 8x - \dfrac{3}{2}\sin 6x + \dfrac{7}{4}\cos 4x - \dfrac{{15}}{2}\sin 2x\\ \Rightarrow dy = \left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x - \dfrac{3}{2}\sin 6x + \dfrac{7}{4}\cos 4x - \dfrac{{15}}{2}\sin 2x} \right)dx\n\end{array}$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 7}}{{\sqrt {{x^2} + 7x + 1} }}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{2x + 7}}{{\sqrt {{x^2} + 7x + 1} }} \Rightarrow y’ = \dfrac{{2\sqrt {{x^2} + 7x + 1} - \dfrac{{{{\left( {2x + 7} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{x^2} + 7x + 1} }}}}{{{x^2} + 7x + 1}}$
$ = \dfrac{{4\left( {{x^2} + 7x + 1} \right) - {{\left( {2x + 7} \right)}^2}}}{{2\left( {{x^2} + 7x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 7x + 1} }} = \dfrac{{ - 45}}{{2\left( {{x^2} + 7x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 7x + 1} }}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{ - 45dx}}{{2\left( {{x^2} + 7x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 7x + 1} }}$
Đáp án B
Tìm giá trị gần đúng nhất của $\sqrt[3]{{26,9}}$
Áp dụng công thức tính gần đúng của vi phân $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f\'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}$ ;$x_0=27;\Delta x=-0,1$
Áp dụng công thức tính gần đúng của vi phân $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \simeq f\left( {{x_0}} \right) + f\'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$
Ta có $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f\'\left( x \right) = \dfrac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}$
$f\left( {26,9} \right) = f\left( {27 - 0,1} \right) \simeq f\left( {27} \right) + f\'\left( {27} \right).\left( { - 0,1} \right) = \sqrt[3]{{27}} + \dfrac{1}{{3\sqrt[3]{{{{27}^2}}}}}.\left( { - 0,1} \right) \simeq 2,9962$
Đáp án C
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {2x + 1} - \sqrt {x + 1} }}{{x\left( {x + 2} \right)}}$ là
Sử dụng công thức vi phân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sqrt {2x + 1} - \sqrt {x + 1} }}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
$ \Rightarrow y\' = \dfrac{{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 1} } \right)} \right]\'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 1} } \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 1} } \right) + \left( {x + 2} \right).\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 1} } \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{\left( {\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 1} } \right) + \left( {x + 2} \right).\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 1} } \right)}^2}}}dx$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y = 2\sqrt {{x^2} + 4} C_x^2$ là
- Sử dụng công thức vi phân
- Sử dụng công thức khai triển tổ hợp $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!.k!}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y = 2\sqrt {{x^2} + 4} C_x^2 = \dfrac{{2\sqrt {{x^2} + 4} .x!}}{{2!\left( {x - 2} \right)!}} = \sqrt {{x^2} + 4} .x\left( {x - 1} \right) = \left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {{x^2} + 4} $
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} + \left( {{x^2} - x} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {{x^3} - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \dfrac{{3{x^3} - 2{x^2} + 8x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\\ \Rightarrow dy = \left( {\dfrac{{3{x^3} - 2{x^2} + 8x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right)dx\n\end{array}$
Đáp án A
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x} - \left| x \right|}}$ là :
- Sử dụng công thức vi phân
- Liên hợp để rút gọn mẫu số của hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x} - \left| x \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {{x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {{x^2}} }}{x}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y\' = \dfrac{{\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }} + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }}} \right)x - \left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {{x^2}} } \right)}}{{{x^2}}} = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{2x\sqrt {{x^2} + x} }} + \dfrac{1}{{\left| x \right|}} - \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} + \left| x \right|}}{{{x^2}}}} \right)\\ \Rightarrow dy = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{2x\sqrt {{x^2} + x} }} + \dfrac{1}{{\left| x \right|}} - \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} + \left| x \right|}}{{{x^2}}}} \right)dx\n\end{array}$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} $ có vi phân là $dy = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}dx$. Phương trình $g(x)=0$ có bao nhiêu nghiệm
Sử dụng công thức vi phân và giải phương trình với $g(x)=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} \Rightarrow y\' = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}dx$
$ \Rightarrow g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$
Vậy phương trình $g(x)=0$ có duy nhất một nghiệm
Đáp án A
Cho hàm số sau : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x^2} - x}&{khi}\n\end{array}}&{x \ge 0}\\\n{\begin{array}{*{20}{c}}\n{ - x}&{khi}\n\end{array}}&{x < 0}\n\end{array}} \right.$. Khẳng định nào sau đây sai?
Đạo hàm trái và phải tại $x=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\'({0^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{{x^2} - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - 1) = - 1;f\'({0^ - }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - x}}{x} = - 1$
$df(0) = dx$
=> Hàm số có đạo hàm tại $x=0$
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sin x}}{{\sin x - \cos x}}$ có dạng $dy = \dfrac{{a\sin x\cos x + b}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}dx$.
Giá trị của $a-b$ là:
- Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$ và công thức đạo hàm lượng giác
- Đồng nhất hệ số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sin x}}{{\sin x - \cos x}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{\cos x\left( {\sin x - \cos x} \right) - \sin x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}dx$
Vậy $a-b=1$
Đáp án C
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{a\sin x + b\cos x}}{{a\sin x - b\cos x}}$ là
Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{a\sin x + b\cos x}}{{a\sin x - b\cos x}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \dfrac{{\left( {a\cos x - b\sin x} \right)\left( {a\sin x - b\cos x} \right) - \left( {a\sin x + b\cos x} \right)\left( {a\cos x + b\sin x} \right)}}{{{{\left( {a\sin x - b\cos x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\cos x\sin x - ab - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\sin x\cos x - ab}}{{{{\left( {a\sin x - b\cos x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2ab}}{{{{\left( {a\sin x - b\cos x} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow dy = \dfrac{{ - 2ab}}{{{{\left( {a\sin x - b\cos x} \right)}^2}}}dx \end{array}$
Đáp án C
Cho hàm số $y = \dfrac{{\tan 2x}}{{\sin x - \cos x}}$. Vi phân của hàm số là
Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$ và công thức đạo hàm lượng giác
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $dy = y’.dx$
$y’= \frac{(tan2x)’(sinx-cosx)-tan2x(sinx-cosx)’}{(sinx-cosx)^2}$
$ = \frac{\frac{2}{cos^22x}(sinx-cosx) - tan2x(cosx+sinx)}{(sinx-cosx)^2}$
$ = \frac{2(1+tan^22x)(sinx-cosx) - tan2x(cosx+sinx)}{(sinx-cosx)^2}$
$ = \frac{(2+2tan^22x)sinx-(2+2tan^22x)cosx - tan2x.cosx- tan2x.sinx}{(sinx-cosx)^2}$
$ = \frac{(2+2tan^22x-tan2x)sinx-(2+2tan^22x+tan2x)cosx}{(sinx-cosx)^2}$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sin {x^4}}}{{\cos {x^3}}}$ là
Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$ và quy tắc đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sin {x^4}}}{{\cos {x^3}}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{4{x^3}\cos {x^4}\cos {x^3} + 3{x^2}\sin {x^4}\sin {x^3}}}{{{{\cos }^2}{x^3}}}$
$\Rightarrow dy = \dfrac{{4{x^3}\cos {x^4}\cos {x^3} + 3{x^2}\sin {x^4}\sin {x^3}}}{{{{\cos }^2}{x^3}}}dx$
Đáp án D