Cho hàm số $y=f(x)=(2x-1)^{2}$. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số $f(x) ?$
Sử dụng lý thuyết $y = f\left( x \right) \Rightarrow dy =f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=4(2x-1) \mathrm{d} x$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=x^{2}+2 x$. Chọn mệnh đề đúng:
Sử dụng lý thuyết $y = f\left( x \right) \Rightarrow dy =f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $d y=y^{\prime} d x=\left(x^{2}+2 x\right)^{\prime} d x$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=x^4-5x+9$. Vi phân của hàm số là
Sử dụng lý thuyết $y = f\left( x \right) \Rightarrow dy =f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $dy = {\left( {{x^4} - 5x + 9} \right)^\prime }dx = \left( {4{x^3} - 5} \right)dx$
Đáp án A.
Cho hàm số $y= \sin x+5\cos x$. Vi phân của hàm số là:
Sử dụng lý thuyết $y = f\left( x \right) \Rightarrow dy =f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $dy = {\left( {\sin x + 5\cos x} \right)^\prime }dx = \left( {\cos x - 5\sin x} \right)dx$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y= 3x^5+\dfrac{6}{x^2} +9$ là biểu thức nào sau đây?
Sử dụng lý thuyết $y = f\left( x \right) \Rightarrow dy =f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $dy = {\left( {3{x^5} + \dfrac{6}{{{x^2}}} + 9} \right)^\prime }dx = \left( {15{x^4} - \dfrac{{12}}{{{x^3}}}} \right)dx$
Đáp án C
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{a + b}}$ với a,b là các hằng số
Sử dụng công thức $dy = y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{a + b}} \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{{2\left( {a + b} \right)\sqrt {x + 1} }}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{dx}}{{2\left( {a + b} \right)\sqrt {x + 1} }}$
Đáp án B
Vi phân của hàm số $y = {\tan ^2}x$ là
Sử dụng công thức $dy = y’dx;{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\tan ^2}x \Rightarrow y’ = 2\tan x{\left( {\tan x} \right)^\prime } = \dfrac{{2\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{2\tan xdx}}{{{{\cos }^2}x}}$
Đáp án C
Vi phân của hàm số $y = x.{\cot ^2}x$ là
Sử dụng công thức $dy =y’dx;\left( {{{\cot }^n}u} \right)’ = - n{\cot ^{n - 1}}u.\dfrac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = x.{\cot ^2}x \Rightarrow y’ = {\cot ^2}x + x.\dfrac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}x}}.\cot x$
$ \Rightarrow dy = y’dx = \left( {{{\cot }^2}x - \dfrac{{2x.\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx$
Đáp án C
Cho hàm số $y=x^{2}+2 x$. Chọn mệnh đề đúng:
Sử dụng công thức $dy=y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $d y=y^{\prime} d x=\left(x^{2}+2 x\right)^{\prime} d x$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{x - 1}}$. Chọn mệnh đề đúng
Sử dụng công thức vi phân $dy = f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{x - 1}} \Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 5x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 2x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
$\Rightarrow dy = \dfrac{{{x^2} - 2x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx$
Đáp án C
Tìm vi phân của hàm số $y=\cos^3(1-x)$
Sử dụng công thức vi phân $dy = f’\left( x \right)dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\cos ^3}\left( {1 - x} \right) \Rightarrow y’ = 3{\cos ^2}\left( {1 - x} \right).\sin \left( {1 - x} \right)dx$
$ \Rightarrow dy = 3{\cos ^2}\left( {1 - x} \right)\sin \left( {1 - x} \right)dx$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y = \sin 3x + \cot 2x$ là
Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sin 3x + \cot 2x \Rightarrow y’ = 3\cos 3x - \dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$
$\Rightarrow dy = \left( {3\cos 3x - \dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}} \right)dx$
Đáp án D
Cho hàm số $y = \dfrac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}$. Chọn mệnh đề đúng?
Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{1 - \sin x}}{{\cos x}} = \dfrac{1}{{\cos x}} - \tan x \Rightarrow y’ = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{\sin x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}$
$ \Rightarrow dy = \left( {\dfrac{{\sin x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx$
Đáp án A
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {2{x^2} - 1} }}{{{x^2}}}$ là
Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$y = \dfrac{{\sqrt {2{x^2} - 1} }}{{{x^2}}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} - 1} }}.{x^2} - 2x\sqrt {2{x^2} - 1} }}{{{x^4}}} \\= \dfrac{{2{x^3} - 2x\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{{x^4}\sqrt {2{x^2} - 1} }} \\= \dfrac{{2{x^2} - 2\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{{x^3}\sqrt {2{x^2} - 1} }} \\= \dfrac{{2{x^2} - 4{x^2} +2 }}{{{x^3}\sqrt {2{x^2} - 1} }} \\= \dfrac{{2 - 2{x^2} }}{{{x^3}\sqrt {2{x^2} - 1} }} $
$ \Rightarrow dy =\dfrac{{2 - 2{x^2} }}{{{x^3}\sqrt {2{x^2} - 1} }} dx$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$ là
- Sử dụng công thức vi phân $dy=y’dx$
- Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{ - \sin x.{{\sin }^2}x - \cos x.2\sin x.\cos x}}{{{{\sin }^4}x}} = \dfrac{{ - {{\sin }^2}x - 2{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^3}x}} = \dfrac{{ - 1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^3}x}}$
$\Rightarrow dy = \dfrac{{ - 1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^3}x}}dx$
Đáp án B
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\tan x - 2}}{{\tan x + 5}}$ là
- Sử dụng công thức vi phân
- $\left( {\tan x} \right)’ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $y = \dfrac{{\tan x - 2}}{{\tan x + 5}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{\left( {\tan x - 2} \right)’\left( {\tan x + 5} \right) - \left( {\tan x - 2} \right).\left( {\tan x + 5} \right)’}}{{{{\left( {\tan x + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{7}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\tan x + 5} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{7dx}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {\tan x + 5} \right)}^2}}}$
Đáp án D
Vi phân của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^4} + 2{x^3}} }}{{x + 2}}$ là
Sử dụng công thức vi phân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sqrt {{x^4} + 2{x^3}} }}{{x + 2}} \Rightarrow y\' = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 2{x^3}} } \right)\'\left( {x + 2} \right) - \sqrt {{x^4} + 2{x^3}} \left( {x + 2} \right)\'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 2{x^3}} }}.\left( {x + 2} \right) - \sqrt {{x^4} + 2{x^3}} }}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^4} + 2{x^3}} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\sqrt {{x^4} + 2{x^3}} }} = \dfrac{{{x^4} + 5{x^3} + 5{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\sqrt {{x^4} + 2{x^3}} }}$
$ \Rightarrow dy = \dfrac{{{x^4} + 5{x^3} + 5{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\sqrt {{x^4} + 2{x^3}} }}dx$
Đáp án C
Một vật chuyển động có gia tốc phụ thuộc theo hàm: $a=t+3$ ( trong đó $a$ tính bằng $m/s^2$ , $t$ tính bằng giây). Tìm dạng của phương trình vận tốc trên.
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc
$v’ = a = > v = {t^2} + 3t + C$
Tính giá trị gần đúng của số sau: $\sqrt{3,9}$
Công thức : $f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f\'({x_0})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\sqrt{3,9}=\sqrt{4-0,1}$
Xét $f(x)=\sqrt{x}=>f\'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Chọn $x_0=4; \Delta{x}=-0,1$, ta có: $f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f\'({x_0})$
$=>\sqrt{4-0,1} \approx \sqrt{4}+\dfrac{1}{2\sqrt{4}}.(-0,1)=1,975$
Cho hàm số $y=2x^3+3x^2-5x-1$ . Tính vi phân của hàm số tại điểm $x_0=2$ , ứng với số gia hàm số $\Delta{x}=0,01$
Vi phân của hàm số tại 1 điểm cho trước là:
$df(x_0)=f’(x_0).\Delta{x}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y’=6x^2+6x-5$
Do đó vi phân của hàm số tại điểm $x_0=2$ , ứng với số gia hàm số $\Delta{x}=0,01$ là:
$df(2)=f’(2).\Delta{x}=(6.4+6.2-5).0,01=0,31$