Cho 5 nam, 5 nữ xếp hàng thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.
- Đếm số cách xếp 10 người vào một hàng
- Đếm số cách xếp để nam và nữ xem kẽ
- Tính xác suất
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố: " nam, nữ đứng xen kẽ nhau."
- Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega ) = 10!$.
- Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5!.5!$.
- Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5!.5!$.
=> $n(A) = 5!.5! + 5!.5! = 28800$.
=> $P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{28800}}{{10!}} = \dfrac{1}{{126}}$.
Có bao nhiêu cách sắp xếp kí tự trong từ THANHCONG sao cho 2 kí tự giống nhau không đứng cạnh nhau?
- Tính số cách sắp xếp bất kì của từ THANHCONG
- Sử dụng biến cố đối và phần bù để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách sắp xếp thứ tự các kí tự trong từ THANHCONG là $C_9^2.C_7^2.5!$ cách
(∗) Số cách sắp xếp thứ tự các kí tự trong từ THANHCONG sao cho hai kí tự N cạnh nhau và hai kí tự H không đứng cạnh nhau là $C_7^2.6!$ cách
(∗) Số cách sắp xếp thứ tự các kí tự trong từ THANHCONG sao cho hai kí tự H cạnh nhau và hai kí tự N không đứng cạnh nhau là $C_7^2.6!$ cách
(∗∗) Số cách sắp xếp thứ tự các kí tự trong từ THANHCONG sao cho hai kí tự H cạnh nhau và hai kí tự N cạnh nhau là $7!$
Vậy số cách sắp xếp thỏa yêu cầu bài toán là $C_9^2.C_7^2.5! - 2.C_7^2.6! - 7! = 55440$ cách
Đáp án B
Cho tập $S=\{1,2,...,10\}$. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của S. Xác định số biến cố để 3 số đó là số đo độ dài ba cạnh một tam giác vuông.
Tìm ra các bộ số a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2=c^2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn 3 số từ tập S thì có đúng 2 bộ số lập thành tam giác là $(3;4;5);(6;8;10)$
Vậy số biến cố là 2
Đáp án A
Cho đa giác đều $(H)$ có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O .
Gọi X là tập hợp các tam giác có các đỉnh là đỉnh của $(H)$ . Tính số biến cố xảy ra để chọn
được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều.
- Tính ra số trục đối xứng của đa giác đều có 18 đỉnh
- Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi d là trục đối xứng của tam giác cân có 3 đỉnh là đỉnh của $(H)$ . Có 18 trục đối xứng.
Ứng với mỗi trục đối xứng có 8 tam giác cân, trong đó có 1 tam giác đều.
Do đó có tất cả $18.7=126$ tam giác cân
Đáp án B
Một tổ có 17 bạn gồm 8 nam và 9 nữ. Chọn từ tổ ra 5 bạn và xếp vào 1 bàn học ngang có thứ tự 5 vị trí. Có bao nhiêu cách xếp sao cho 5 bạn được chọn có 2 nữ và 3 nam.
Sử dụng tổ hợp, hoán vị và quy tắc nhân để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn 2 nữ từ 9 nữ có: $C_9^2$ cách
Chọn 3 nam từ 8 nam có: $C_8^3$ cách
Xếp thứ tự 5 bạn được chọn có:$5!$ cách
Vậy số cách xếp: $C_9^2.C_8^3.5!=241920$
Đáp án A
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
+) Chia ra 3 trường hợp A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ
+) Sử dụng tổ hợp chỉnh hợp và hoán vị
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số đó là $A = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $. Từ giả thuyết suy ra A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ
TH1: A có 1 chữ số lẻ
+) $a_1$ lẻ: Số các só A là $C_5^1{P_5} = 600$
+) $a_1$ chẵn: Có 4 cách chọn $a_1$. Số các số $A$ là $4.\left( {C_5^1C_4^4} \right){P_5} = 2400$
Tổng có $3000$ số các số A trong đó có đúng một chữ số lẻ.
TH2: A có 2 chữ số lẻ
+) $a_1$ lẻ: Có 5 cách chọn $a_1$. Có 5 cách chọn $a_2$ chẵn
Vậy số các số A là $5.5.(C_4^1.C_4^3).P_4=9600$
+) $a_1$ chẵn: Có 4 cách chọn $a_1$. Có 6 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong $a_2a_3a_4a_5a_6$
Vậy số các số A là $4.(C_5^2.6.P_2).A_4^3=11520$
Tổng có $21120$ số các số A trong đó có 2 chữ số lẻ không kề nhau
TH3: A có 3 chữ số lẻ
+) $a_1$ lẻ : Có 5 cách chọn $a_1$. Có 5 cách chọn $a_2$ chẵn. Có 3 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong $a_3a_4a_5a_6.$Vậy số các số A là $5.5.(C_4^2.3.P_2).A_4^2=10800$
+) $a_1$ chẵn: Có 4 cách chọn $a_1$. Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong $a_2a_3a_4a_5a_6$
Vậy số các số A là $4.(C_5^3.1.P_3).A_4^2=2880$
Tổng có $13680$ số các số A trong đó có 3 chữ số lẻ phân biệt không kề nhau
Vậy có $3000+21120+13680=37800$ số các số A
Đáp án C
Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh
của đa giác là
- Điều kiện để được tam giác tù là 3 điểm phải cùng thuộc 1 nửa đường tròn ngoại tiếp đa giác đều đó
- Sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đánh số các đỉnh là ${A_1},{A_2},...,{A_{100}}$
Xét đường chéo $A_1A_{51}$ của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ $A_2$ đến $A_{50}$ và $A_{52}$ đến $A_{100}$ .
Khi đó, mỗi tam giác có dạng $A_{1}A_{i}A_{j}$ là tam giác tù nếu $A_{i}$ và $A_{j}$ cùng nằm trong nửa đường tròn
Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn.
Chọn hai điểm $A_{i}$, $A_{j}$ là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm ${A_2},{A_3},...,{A_{50}}$ có $C_{49}^2=1176$ cách chọn.
Giả sử $A_i$ nằm giữa $A_1$ và $A_j$ thì tam giác $A_{1}A_{i}A_{j}$ tù tại đỉnh $A_i$.Mà $\Delta {A_j}{A_i}{A_1} \equiv \Delta {A_1}{A_i}{A_j}$ nên kết quả bị lặp hai lần.
Có 100 cách chọn đỉnh
Vậy số tam giác tù là $\dfrac{1176.100.2}{2}=117600$
Đáp án D
Cho $X=\{0,1,...,15\}$. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp X. Tính số biến cố để trong ba số không có hai số liên tiếp.
- Tính ra chọn ngẫu nhiên 3 số bất kì
- Sử dụng biến cố đối để tìm ra số biến cố thuận lợi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn ngẫu nhiên 3 số bất kì trong 16 số trên có $C_{16}^3=560$ cách
Ta tìm số cách lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau hoặc lấy ra được cả ba số liên
tiếp nhau. Khi đó ta có các trường hợp sau:
TH1: lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau.
- Trong ba số lấy ra có hai số 0,1 hoặc 14,15 khi đó số thứ ba có 13 cách lấy. Do đó trường
hợp này có: $2.13=26$ cách lấy.
- Trong ba số lấy ra không có hai số 0,1 hoặc 14,15 khi đó ta có 13 cặp số liên tiếp nhau
khác 0,1 và 14,15 , số thứ ba có 12 cách lấy. Do đó trường hợp này có: $13.12=156$ cách lấy.
TH2: lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau. Ta có lấy ba số liên tiếp nhau ta có 14 cách
lấy. Do đó trường hợp này có: 14 cách lấy.
Vậy ta có: $26+156+14=196$ cách lấy ra ba số liên tiếp nhau hoặc lấy ra ba số trong đó có hai
số liên tiếp nhau.
Vậy số biến cố có thể xảy ra là $560-196=364$
Đáp án A
Để chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20-11 Đoàn trường THPT Hai Bà Trưng đã phân công ba khối: khối 10 , khối 11 và khối 12 mỗi khối chuẩn bị ba tiết mục gồm: một tiết mục múa, một tiết mục kịch và một tiết mục hát tốp ca. Đến ngày tổ chức ban tôt chức chọn ngẫu nhiên ba tiết mục. Tính số biến cố xảy ra ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố: ba tiết mục được chọn có đủ ba khối và có đủ ba nội dung.
Chọn tiết mục khối 10 có 3cách chọn
Chọn tiết mục ở khối 11 có 2 cách
Và tiết mục ở khối 12 có 1 cách.
Nên có $n(A)=3.2.1=6$ cách chọn
Đáp án A
Hai bạn Hùng và Vương cùng tham gia một kỳ thi thử trong đó có hai môn thi trắc nghiệm là Toán và Tiếng Anh. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính số biến cố để trong hai môn Toán và Tiếng Anh thì hai bạn Hùng và Vương có chung đúng một mã đề thi.
- Chia ra 2 trường hợp và sử dụng tổ hợp để tính riêng từng trường hợp
- Sử dụng quy tắc cộng để tính biến cố xảy ra
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố “Hai bạn Hùng và Vương có chung đúng một mã đề”.
Trường hợp 1: Chung mã đề môn Toán.
Hùng có $C_6^1$ cách chọn đề môn Toán, và Vương có 1 cách chọn mã đề giống Hùng. Khi đó môn
Tiếng Anh, Hùng có $C_6^1$ cách chọn mã đề và Vương có $C_5^1$ cách chọn mã đề khác Hùng.
Suy ra có $C_6^1.1.C_6^1.C_5^1=180$ cách.
Trường hợp 2: Chung mã đề môn Tiếng Anh.
Tương tự trường hợp 1, ta cũng có $C_6^1.1.C_6^1.C_5^1=180$ cách.
Theo quy tắc cộng ta có $n(A)=180+180=360$
Đáp án C