Gieo một đồng xu 5 lần liên tiếp. Số phần tử của không gian mẫu là:
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kết quả của 5 lần gieo là dãy $abcde$, trong đó $a, b, c, d, e$ nhận một trong hai giá trị $S, N$. Do đó số phần tử của không gian mẫu là $2.2 .2 .2 .2=32$.
Gieo một đồng xu 5 lần liên tiếp. Gọi $A$ là biến cố " Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp". Khi đó:
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp nên $a$ chỉ nhận giá trị $S$ và $b, c, d, e$ nhận $S$ hoặc $N$ nên $n\left(\Omega_{A}\right)=1.2 .2 .2 .2=16$.
Một bình đựng 11 quả cầu được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Xác suất để bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8.
- Đếm số cách chọn 4 trong 11 quả cầu.
- Đếm số cách chọn 4 quả cầu có số không vượt quá 8
- Tính xác suất
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố: " bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8."
Số cách chọn 4 trong số 11 quả cầu là $n(\Omega ) = C_{11}^4 = 330$.
Số cách chọn 4 trong số 8 số từ 1 đến 8 là $n(A) = C_8^4 = 70$
=> $P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{70}}{{330}} = \dfrac{7}{{33}}$
Trong một hộp có 100 tấm thẻ được đánh số từ 101 đến 200 (mỗi tấm thẻ được đánh một số khác nhau).
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ trong hộp. Có bao nhiêu biến cố để tổng các số ghi trên 3 tấm thẻ đó là một số chia hết cho 3
Sử dụng tổ hợp và quy tắc cộng để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ 101 đến 200 có:
-33 tấm thẻ ghi số chia hết cho 3
-33 tấm thẻ ghi số chia 3 dư 1
-34 tấm thẻ ghi số chia 3 dư 2
TH1: Chọn 3 tấm trong 33 tấm ghi số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 hoặc trong 34 tấm thẻ ghi số chia 3 dư 2 thì số cách chọn là $C_{33}^3+C_{33}^3+C_{34}^3$
TH2: Chọn mỗi loại 1 tấm thì số cách chọn là $33.33.34$ cách
Vậy có tất cả $C_{33}^3+C_{33}^3+C_{34}^3+33.33.34=53922$ cách
Đáp án C.
Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được
lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng
Chia ra các trường hợp và sử dụng tổ hợp, quy tắc cộng và nhân để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là:$C_4^1.C_5^3$
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: $C_4^1.C_5^2.C_7^1$
Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là:$C_4^1C_5^1C_7^2$
Khi đó số biến cố là $n\left( B \right) = C_4^1.C_5^3 + C_4^1.C_5^2.C_7^1 + C_4^1C_5^1C_7^2 = 740$
Đáp án C
Một hộp đựng 52 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên cùng
một lúc 3 bóng đèn. Tính số biến cố để 3 bóng đèn được lấy ra không có bóng đèn bị
hỏng.
Sử dụng công thức tổ hợp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số bóng đèn không bị hỏng là $48$
Chọn 3 bóng đèn trong 48 bóng đèn không bị hỏng có $C_{48}^3$ cách
Vậy số biến cố xảy ra là $C_{48}^3$
Đáp án C
Kết quả $(b,c)$ của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất
hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương
trình bậc hai $x^2+bx+c=0$ . Tính số biến cố để phương trình bậc hai đó vô nghiệm:
- Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm
- Sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: b là số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai nên $b \in [1;6]$ và $c \in [1;6]$
Phương trình $x^2+bx+c=0$ vô nghiệm khi $b^2 < 4c$
Với $b=1$ có 6 trường hợp xảy ra
Với $b=2$ có 5 trường hợp xảy ra ( trừ trường hợp $c=1$)
Với $b=3$ có 4 trường hợp xảy ra ( trừ trường hợp $c \leq 2$)
Với $b=4$ có 2 trường hợp xảy ra ( trừ trường hợp $c \leq 4$)
Do đó số biến cố có thể xảy ra là 17
Đáp án B
Trong các số nguyên từ 100 đến 999 , số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể
từ trái qua phải) bằng:
Chia ra 2 trường hợp và sử dụng quy tắc cộng để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số nguyên cần lập có 3 chữ số đôi một khác nhau. Xét hai trường hợp:
+ TH1: Các chữ số tăng dần từ trái qua phải.
Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập $A=\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ
tự tăng dần. Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: $C_9^3$.
+ TH2: Các chữ số giảm dần từ trái qua phải.
Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập $B=\{0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ
tự giảm dần. Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: $C_{10}^3$.
Vậy số các số cần tìm là $C_{10}^3+C_9^3=204$ số
Đáp án D.
Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật.
Sử dụng công thức tổ hợp, chỉnh hợp và quy tắc nhân để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có hai người mà mỗi người nhận một đồ vật và một người nhận hai đồ vật.
Chọn hai người để mỗi người nhận một đồ vật: có $C_3^2$ cách chọn
Chọn hai đồ vật trao cho hai người: có $A_4^2$ cách chọn
Hai đồ vật còn lại trao cho người cuối cùng.
Vậy số cách chia là : $C_3^2.A_4^2=36$ cách
Đáp án D
Một trường THPT có 7 thầy dạy toán, 6 thầy dạy Lý và 4 thầy dạy Hóa. Sở giáo dục cần chọn từ trường THPT đó ra 5 thầy để chấm thi THPT quốc gia 2019. Tính số biến cố để chọn được 5 thầy trong đó có đủ bộ môn.
- Tính số cách chọn 5 thầy bất kì
- Tìm biến cố đối và sử dụng phần bù để tính biến cố thuận lợi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Số cách chọn 5 thầy bất kì trong 17 thầy là $C_{17}^5$
+Số cách chọn 5 trong 13 thầy dạy Toán và Lý là $C_{13}^5$
+ Số cách chọn 5 trong 11 thầy dạy Toán và Hóa là $C_{11}^5$
+ Số cách chọn 5 trong 10 thầy dạy Toán và Hóa là $C_{10}^5$
+ Số cách chọn 5 thầy chỉ dạy Toán là $C_7^5$
+ Số cách chọn 5 thầy chỉ dạy Lý là $C_6^5$
Suy ra số cách chọn 5 thầy không có đủ 3 bộ môn: $C_{13}^5 + C_{11}^5 + C_{10}^5 - C_6^5 - C_7^5$
Vậy số cách chọn có đủ cả 3 bộ môn là: $C_{17}^5 - \left( {C_{13}^5 + C_{11}^5 + C_{10}^5 - C_6^5 - C_7^5} \right)=4214$
Đáp án C
Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn tròn. Tính số cách xếp sao cho có vợ chồng nhà A là ngồi
cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ chồng của nhau thì không ngồi cạnh nhau.
Xét theo thứ tự để tìm số cách chọn từng giai đoạn rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 2 cách sắp xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ông chồng ngồi cố định, còn bà vợ có 2
cách xếp)
Ta lại xếp 1 cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2!
cách.
Bây giờ có tất cả 3 khe trống (vì cặp vợ chồng A không cho ai ngồi giữa) . Ta xếp 1 cặp vợ chồng
khác vào 3 khe này nên có $A^2_3=6 $ cách
Bây giờ có tất cả 5 khe trống. Ta xếp 1 cặp vợ chồng còn lại vào 5 khe này nên có $A_5^2=20$ cách.
Vậy có $2.2.6.20=480$ cách
Đáp án D
Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Số biến cố xảy ra để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng
Xét theo từng bước rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Bước 1. Ta cố định thầy giáo.
Bước 2. Chọn lấy 2 học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có $C_8^2$ cách.
Bước 3. Xếp 2 học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách.
Bước 4. Cuối cùng xếp 11 người còn lại vào 11 vị trí còn lại có 11! cách.
Vậy số biến cố xảy ra là $2!.11!.C_8^2$
Đáp án C
Có 2 hộp bi, hộp thứ nhất có 4 bi đỏ và 3 bi trắng, hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 4 bi trắng . Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên, tính số biến cố để 2 bi được chọn cùng màu
Xét riêng 2 trường hợp và sử dụng 2 quy tắc đếm để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố bi được chọn cùng màu
Trường hợp 1: Cùng chọn ra bi đỏ có $4.2=8$ cách
Trường hợp 2: Cùng chọn ra bi trắng có $3.4=12$ cách
Suy ra số biến cố xảy ra là $n(A)=20$
Đáp án A
Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có 2 học sinh đạt giải môn Toán đều là học sinh nam và 4 học sinh đạt giải môn Vật lí trong đó có 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong các học sinh đạt giải đó đi dự lễ tổng kết năm học của tỉnh. Tính số biến cố để 4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí.
Sử dụng công thức tổ hợp và 2 quy tắc đếm để tính số biến cố thuận lợi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi A là biến cố ‘‘4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí’’
Vì chỉ có đúng 2 học sinh nữ đạt giải đều thuộc môn Vật lí, do đó phải chọn tiếp ra 2học sinh nam lại phải có mặt ở hai môn khác nhau thì chỉ có thể là 2 học sinh nam đạt giải môn Toán hoặc 1 học sinh nam đạt giải môn Toán và 1 học sinh nam đạt giải môn Vật lí.
Suy ra $n(A)=1+C_2^1.C_2^1=5$
Đáp án B
Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật?
Sử dụng tổ hợp, chỉnh hợp và quy tắc nhân để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 3 người mà 2 người nhận mỗi người một đồ vật và một người nhận hai đồ vật
Chọn hai người để mỗi người nhận một đồ vật có $C_3^2$ cách chọn
Chọn 2 đồ vật trao cho 2 người trên có $A_4^2$ cách chọn
Hai đồ vật còn lại trao cho người cuối cùng
Vậy số cách chia là $C_3^2.A_4^2=36$ cách
Đáp án D
Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên?
Chia ra 2 trường hợp và sử dụng nguyên lí của tổ hợp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TH1: Chọn 2 câu trong 4 câu lý thuyết và 1 câu trong 6 câu bài tập có $C_4^2.C_6^1$ cách
TH2: Chọn 1 câu trong 4 câu lý thuyết và 2 câu trong 6 câu bài tập có $C_4^1.C_6^2$ cách
Vậy số cách tạo thành 1 đề thi là $C_4^2.C_6^1+C_4^1.C_6^2=96$ cách
Đáp án B
Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là
+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là 9 phần quà.
+ Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà: Sau đó sử dụng tổ hợp như cách điền số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là 9 phần quà.
+ Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà:
Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng trống trong 8 khoảng trống đó để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần có ít nhất một phần quà, có $C_8^2$
Vậy tất cả có $C_8^2=28$ cách chia
Đáp án C
Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều. Số tam giác có 3 đỉnh được chọn là
3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là
- Tính số tam giác vuông, tam giác vuông cân
- Sử dụng phần bù để tính tam giác vuông không cân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số tam giác vuông là $10.18=180$.
Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân ( 2 điểm tạo nên tam
giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường tròn) . Do
đó có $10.2=20$ tam giác vuông cân.
Suy ra số tam giác vuông không cân là $180-20=160$
Đáp án C
Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
+) Chia ra 2 trường hợp là tô cạnh AB và CD cùng màu hoặc khác màu
+) Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trường hợp 1: Tô cạnh AB và CD khác màu:
- Số cách tô cạnh AB : 6 cách
- Số cách tô cạnh BC: 5 cách( tô khác màu với cạnh AB)
- Số cách tô cạnh CD: 4 cách ( tô khác màu với cạnh AB,BC)
- Số cách tô cạnh AD: 4 cách (tô khác màu với cạnh AB,CD)
Theo quy tắc nhân, ta có : $6.5.4.4=480$ cách
Trường hợp 2: Tô AB và CD cùng màu
- Số cách tô cạnh AB: 6 cách
- Số cách tô cạnh BC: 5 cách (tô khác màu với cạnh AB)
- Số cách tô cạnh CD: 1 cách( tô cùng màu với cạnh AB)
- Số cách tô cạnh AD: 5 cách ( tô khác màu với cạnh AB)
Theo quy tắc nhân ta có $6.5.1.5=150$ cách
Vậy số cách tô màu thỏa mãn đề bài là $480+150=630$ cách
Đáp án D
Có 10 quả cầu đỏ được số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác nhau và khác số.
+) Chọn theo thứ tự từ quả cầu xanh đến quả cầu vàng cuối cùng quả cầu đỏ
+) Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau:
Chọn quả cầu xanh: 7 cách chọn.
Chọn quả cầu vàng: 7 cách chọn( trừ 1 số ghi trên quả cầu xanh đã chọn)
Chọn quả cầu đỏ: 8 cách chọn (trừ 2 số ghi trên quả cầu xanh và vàng đã chọn)
Vậy có tất cả $7.7.8=392$ cách chọn
Đáp án A