Cho tam giác ABC và đường tròn tâm O. Trên đoạn AB, lấy điểm E sao cho BE = 2AE, F là trung điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF. Với mỗi điểm P trên (O) ta dựng điểm Q sao cho $\overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+3 \overrightarrow{P C}=6 \overrightarrow{I Q}$. Khi đó tập hợp điểm Q khi P thay đổi là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $K$ là điểm xác định thỏa mãn $ \overrightarrow{K A}+2 \overrightarrow{K B}+3 \overrightarrow{K C}=\overrightarrow{0}$
Khi đó
$\begin{array}{l}{\overrightarrow{K A}+2(\overrightarrow{K A}+\overrightarrow{A B})+3(\overrightarrow{K A}+\overrightarrow{A C})=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 6 \overrightarrow{A K}=2 \overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow \overrightarrow{A K}} {=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}} \\ {\Rightarrow \overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A I} \Rightarrow K \equiv I \Rightarrow \overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B}} {+3 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}}\end{array}$
Từ giả thiết ta có:
$\begin{array}{l}{\overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+3 \overrightarrow{P C}=6 \overrightarrow{I Q} \Leftrightarrow \overrightarrow{P I}+\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{P I}+2 \overrightarrow{I B}} \\ {\quad+3 \overrightarrow{P I}+3 \overrightarrow{I C}=6 \overrightarrow{I Q}} \\ {\Leftrightarrow 6 \overrightarrow{P I}+\underbrace{(\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B}+3 \overrightarrow{I C})}_{\overrightarrow{0}}=6 \overrightarrow{I Q} \Leftrightarrow \overrightarrow{P I}=\overrightarrow{I Q}}\end{array}$
$\Rightarrow I \text { là trung điểm của } P Q \Rightarrow D_{I}(P)=Q \Rightarrow \text { Khi } P \text { di động trên }(O) \text { thì } Q$ di động trên đường tròn $\left(O^{\prime}\right) \text { là ảnh của }(O)$
Đáp án: A
Cho hình bình hành ABCD (ABCD không là hình thoi). Trên đường chéo BD lấy hai điểm M, N sao cho $B M=M N=N D$. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AN và CD, CM và AB. Tìm mệnh đề sai.
Xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận, sử dụng các mối quan hệ hình học để nhận xét.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết suy ra $D N=\dfrac{2}{3} D O$, mà O là trung điểm của AC nên N là trọng tâm của tam giác ACD
Mà AN cắt CD tại P nên P là trung điểm của CD
Tương tự, ta có: Q là trung điểm của AB
Do $A Q \| P C $ và $AQ=PC$ nên $AQCP$ là hình bình hành suy ra O là trung điểm của PQ
Suy ra P và Q đối xứng với nhau qua O
Do $M O=N O=\dfrac{1}{6} B D \Rightarrow O $ là trung điểm của MN suy ra M và N đối xứng với nhau qua O
Chứng minh tương tự suy ra M là trọng tâm tam giác ABC
Tam giác ABC không phải là tam giác đều nên không đủ kết luận M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp án: D
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A(0 ; 1), B(2 ;-1) $ và parabol (P) có phương trình $y=x^{2} $. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm A và B theo thứ tự khi đó (P) trở thành (P'') có phương trình là:
- Lấy điểm $M(x;y)$ bất kì thuộc $(P)$, suy ra tọa độ điểm $M’(x’;y’)$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng tâm A và tọa độ điểm $M’’(x’’;y’’)$ là ảnh của $M’$ qua phép đối xứng tâm $B$
- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa $x’’$ và $y’’$, từ đó suy ra phương trình $(P’’)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M(x ; y) $ là điểm bất kì thuộc (P). Gọi $M’(x’;y’)$ là ảnh của $M$qua phép đối xứng tâm $A$ nên A là trung điểm của $MM’$ , do đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x=-x^{\prime}} \\ {y=2-y^{\prime}}\end{array}\right.$ (1)
Gọi $M^{\prime \prime}$ là ảnh của điểm $M’$ qua phép đối xứng tâm B nên B là trung điểm của $M^{\prime} M^{\prime \prime}$ , do đó ta có
:$\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=4-x^{\prime \prime}} \\ {y^{\prime}=-2-y^{\prime \prime}}\end{array}\right.$ (2), thay vào (1) ta có $\left\{\begin{array}{l}{x=-4+x^{\prime \prime}} \\ {y=4+y^{\prime \prime}}\end{array} \Rightarrow M\left(-4+x^{\prime \prime} ; 4+y^{\prime \prime}\right)\right.$
Do điểm $M \in(P) \Rightarrow$ Thay tọa độ điểm M vào phương trình parabol (P) ta có:
$\begin{array}{l}{4+y^{\prime \prime}=\left(-4+x^{\prime \prime}\right)^{2} \Leftrightarrow 4+y^{\prime \prime}=x^{\prime 2}-8 x^{\prime \prime}+16 \Leftrightarrow y^{\prime \prime}=x^{\prime \prime 2}-8 x^{\prime \prime}+12} \\ {(P) \stackrel{A}{\rightarrow}\left(P^{\prime}\right) \stackrel{B}{\rightarrow}\left(P^{\prime \prime}\right)} \\ {M \stackrel{A}{\rightarrow} M^{\prime} \stackrel{B}{\rightarrow} M^{\prime \prime}}\end{array}$
Do đó $M^{\prime \prime} \in\left(P^{\prime \prime}\right)$, vậy phương trình parabol $(P’’)$ có dạng $y=x^2-8x+12$
Đáp án: C
Cho tam giác ABC và đường tròn tâm O. Trên đoạn AB, lấy điểm E sao cho BE = 2AE, F là trung điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF. Với mỗi điểm P trên (O) ta dựng điểm Q sao cho $\overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+3 \overrightarrow{P C}=6 \overrightarrow{I Q}$. Khi đó tập hợp điểm Q khi P thay đổi là:
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 $ chứng minh $K \equiv I$
Từ giả thiết ban đầu, sử dụng công thức 3 điểm, chứng minh $I$ là trung điểm của $PQ$ suy ra quỹ tích điểm $Q$ khi $P$ di động
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $K \text { là điểm xác định bởi } \overrightarrow{K A}+2 \overrightarrow{K B}+3 \overrightarrow{K C}=\overrightarrow{0}$
Khi đó
$\begin{array}{l}{\overrightarrow{K A}+2(\overrightarrow{K A}+\overrightarrow{A B})+3(\overrightarrow{K A}+\overrightarrow{A C})=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 6 \overrightarrow{A K}=2 \overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow \overrightarrow{A K}} {=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}} \\ {\Rightarrow \overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A I} \Rightarrow K \equiv I \Rightarrow \overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B}} {+3 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}}\end{array}$
Từ giả thiết ta có:
$\begin{array}{l}{\overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+3 \overrightarrow{P C}=6 \overrightarrow{I Q} \Leftrightarrow \overrightarrow{P I}+\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{P I}+2 \overrightarrow{I B}} \\ {\quad+3 \overrightarrow{P I}+3 \overrightarrow{I C}=6 \overrightarrow{I Q}} \\ {\Leftrightarrow 6 \overrightarrow{P I}+\underbrace{(\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B}+3 \overrightarrow{I C})}_{\overrightarrow{0}}=6 \overrightarrow{I Q} \Leftrightarrow \overrightarrow{P I}=\overrightarrow{I Q}}\end{array}$
$\Rightarrow I \text { là trung điểm của } P Q \Rightarrow D_{I}(P)=Q \Rightarrow \text { Khi } P \text { di động trên }(O) \text { thì } Q$ di động trên đường tròn $\left(O^{\prime}\right) \text { là ảnh của }(O)$
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip $(E)$ có phương trình $ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{1}=1$.
Viết phương trình elip $\left(E^{\prime}\right) $ là ảnh của elip $(E)$ qua phép đối xứng tâm $I(1 ; 0)$
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $I(a ; b) \text { là }\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=2 a-x=2-x} \\ {y^{\prime}=2 b-y=-y}\end{array}\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $I(a ; b) \text { là }\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=2 a-x=2-x} \\ {y^{\prime}=2 b-y=-y}\end{array}\right.$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=2-x^{\prime}} \\ {y=-y^{\prime}}\end{array}\right.$
Thay vào $(E) \text { ta được } \displaystyle \frac{\left(2-x^{\prime}\right)^{2}}{4}+\frac{\left(-y^{\prime}\right)^{2}}{1}=1 \Leftrightarrow \frac{\left(x^{\prime}-2\right)^{2}}{4}+\frac{\left(-y^{\prime}\right)^{2}}{1}=1$
Đáp án: B
Cho tam giác ABC có A, B cố định, điểm C di động trên đường thẳng d. Dựng hình bình hành AMBC. Quỹ tích điểm M là:
Sử dụng các mối quan hệ hình học tìm tập hợp điểm M.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
M là ảnh của C qua phép đối xứng tâm I với I là trung điểm của AB.
Mà C di động trên đường thẳng d nên quỹ tích điểm M là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I.
Đáp án: C
Cho hai khẳng định sau:
(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.
(II) Cho phép đối xứng tâm $D_O$ và đường thẳng d không đi qua $O$. Có thể dựng $d’$ là ảnh của $d$ qua $D_O$ mà chỉ sử dụng compa một lần và thước hai lần.
Chọn kết luận đúng:
Suy luận từng đáp án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
(I) đúng, tâm đối xứng của hình đó chính là giao điểm của hai trục đối xứng.
(II) cách dựng đường thẳng $d^{\prime} \text { là ảnh của } d \text { qua phép đối xứng tâm } O .$
Bước 1: Lấy 1 điểm M bất kì thuộc d.
Bước 2: Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OM.
Bước 3: Kéo dài OM, cắt đường tròn tâm O bán kính OM tại điểm thứ hai N.
Bước 4: Qua N kẻ đường thẳng song song với d.
Vậy ta cần dùng compa ở bước 2, dùng thước ở bước 3 và 4.
Do đó cả (I) (II) đều đúng.
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(\Delta) : A x+B y+C=0$ và điểm $I(a ; b)$. Phép đối xứng tâm $\Delta$ thành đường thẳng $\Delta ’$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta^{\prime}$
Lấy điểm M bất kì thuộc $\Delta$ suy ra tọa độ điểm $M’$ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I
Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $\Delta ’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lấy điểm $M(x ; y) \in \Delta, \text { gọi } M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=D_{I}(M)$ ta có $\left\{\begin{array}{l}{x+x^{\prime}=2 a} \\ {y+y^{\prime}=2 b}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=2 a-x^{\prime}} \\ {y=2 b-y^{\prime}}\end{array}\right.\right.$
Thay vào phương trình $\Delta$ ta có:
$\begin{array}{l}{A\left(2 a-x^{\prime}\right)+B\left(2 b-y^{\prime}\right)+C=0 \Leftrightarrow 2 a A-A x^{\prime}+2 b B-B y^{\prime}+C=0 \Leftrightarrow A x^{\prime}+B y^{\prime}} \ {-C-2 a A-2 b B=0}\end{array}$
Do $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) \in \Delta^{\prime}$, do đó phương trình đường thẳng $\Delta^{\prime}$ có dạng $\left(\Delta^{\prime}\right) : A x+B y-C-2 a A-2 b B=0$
Đáp án: D
Phép đối xứng tâm $I(a;b)$ biến điểm $A(-3;0)$ thành điểm $B$ nằm trên parabol $y=x^2$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ ngắn nhất. Tính $a+b$
Phép đối xứng tâm $I(m;2)$ biến đường tròn $(x-1)^2+y^2=m^2$ thành đường tròn $(T)$. Tổng các giá trị $m$ xảy ra khi $(T)$ tiếp xúc với đường thẳng $3x-4y=0$