Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng a cho trước thành chính nó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tâm đối xứng của đường thẳng là điểm bất kì nằm trên đường thẳng a.
Đáp án: D
Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d'?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tâm đối xứng là các điểm cách đều d và d'.
Đáp án: D
Hình nào sau đây có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình 1: chỉ có trục đối xứng (5 đường thẳng) và không có tâm đối xứng.
Hình 2: có 4 trục đối xứng và có 1 tâm đối xứng.
Hình 3: có 10 trục đối xứng và 1 tâm đối xứng.
Đáp án: C
Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của 2 đường chéo.
Hình tròn có tâm đối xứng là tâm hình tròn.
Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm 2 đường chéo.
Tam giác đều không có tâm đối xứng.
Đáp án: C
Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường elip có tâm đối xứng là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm..
Đường tròn có tâm đối xứng là tâm đường tròn.
Đường parabol không có tâm đối xứng.
Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm 2 đường chéo.
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm $I(1 ; 2)$ biến điểm $M(x;y)$ thành điểm $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow{I M^{\prime}}=\left(x^{\prime}-1 ; y^{\prime}-2\right), \overrightarrow{I M}=(x-1 ; y-2)$
Vì $D_{I}(M)=M^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{I M^{\prime}}=-\overrightarrow{I M} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}-1=-(x-1)} \\ {y^{\prime}-2=-(y-2)}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-x+2} \\ {y^{\prime}=-y+4}\end{array}\right.$
Đáp án: B
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dế thấy các đáp án A, C, D đúng chỉ có đáp án B sai.
${D_I}\left( M \right) = M\' \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM\' \Rightarrow IM\' = IM$ và ba điểm $I,M,M\'$ thẳng hàng
Đáp án: B
Cho đường thẳng d có phương trình $x+y+4=0$. Hỏi trong các đường thẳng sau đường thẳng nào có thể biến thành d sau một phép đối xứng tâm?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đường thẳng ở đáp án D song song với đường thẳng d đã cho vì $\displaystyle \frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{1}{2} \neq \frac{4}{-3}$
Đáp án: D
Cho đường thẳng d có phương trình $x-y+4=0$. Hỏi trong các đường thẳng sau đường nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đường thẳng đáp án C song song với đường thẳng d đã cho.
Đáp án: C
Điểm nào là ảnh của $M(3;-1)$ qua phép đối xứng tâm $I(1;2)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M\'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm $I$ suy ra $I$ là trung điểm của $MM\'$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_{M\'}} = 2{x_I} - {x_M} = - 1\\\n{y_{M\'}} = 2{y_I} - {y_M} = 5\n\end{array} \right. \Rightarrow M\'\left( { - 1;5} \right)$
Đáp án B
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$D_{I}(I)=I \Rightarrow$ Phép đối xứng tâm có đúng 1 điểm biến thành chính nó.
Điểm đó chính là tâm đối xứng.
Đáp án: B
Phép đối xứng tâm $O(0;0)$ biến điểm $A(m;-m)$ thành điểm $A’$ nằm trên đường thẳng $x-y+6=0$. Tìm $m$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phép đối xứng tâm $O(0;0)$ biến điểm $A(m;-m)$ thành điểm $A’(-m;m)$
Do $A’$ nằm trên đường thẳng $x-y+6=0$ nên $-m-m+6=0$ suy ra $m=3$
Đáp án A
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $\Delta : x+2y-3=0$ và $\Delta ’: x-2y-7=0$. Qua phép đối xứng tâm $I(1;-3)$, điểm M trên đường thẳng $\Delta$ thành điểm N thuộc đường thẳng $\Delta ’$. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$
+) Hai điểm $A\left( {a;b} \right),B\left( {c;d} \right)$ đối xứng nhau qua $I(m;n)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} a + c = 2m\\ b + d = 2n \end{array} \right.$
+) $A\left( {a;b} \right),B\left( {c;d} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - d} \right)}^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi điểm $M\left( {3 - 2t;t} \right) \in \Delta $
N là ảnh của M qua tâm $I(1;-3)$ suy ra $N(2t-1;-6-t)$
Mặt khác $N \in \Delta ’$ nên $2t - 1 - 2\left( { - 6 - t} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$
Vậy $M\left( {5; - 1} \right),N\left( { - 3; - 5} \right) \Rightarrow MN = 4\sqrt 5 $
Đáp án A
Hình nào sau đây có tâm đối xứng
Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình có tâm đối xứng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình tròn có tâm đối xứng chính là tâm của hình tròn đó
Đáp án C
Cho đường thẳng $d: x-2y+6=0$ và $d’:x-2y-10=0$. Tìm phép đối xứng tâm $I$ biến d thành $d’$ và biến trục $Ox$ thành chính nó
- Tâm đối xứng $I$ biến trục Ox thành chính nó thì điểm $I$ nằm trên trục Ox
- Trung điểm của 2 giao điểm của 2 đường thẳng với trục hoành là tâm đối xứng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tọa độ giao điểm của $d,d’$ với $Ox$ lần lượt là $A(-6;0)$ và $B(10;0)$
Do phép đối xứng biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên biến giao điểm A của d với Ox thành giao điểm B của d' với Ox do đó tâm đối xứng là trung điểm của AB
Vậy tâm đối xứng là $I(2;0)$
Đáp án D
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x=2$. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O?
Sử dụng mối liên hệ giữa 2 điểm đối xứng qua tâm đối xứng O là $\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = - x\\\ny\' = - y\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M(2;y) \in d; M\'(x\';y\') \in d\'$ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O
Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}\nx\' = - 2\\\ny\' = - y\n\end{array} \right. \Rightarrow M\'\left( { - 2; - y} \right)$
Vậy $d\': x=-2$
Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?
Vẽ hình tượng trưng 2 đường tròn phân biệt sau đó tìm tâm đối xứng của hình đó
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tâm đối xứng là trung điểm I của đoạn thẳng nối hai tâm
Đáp án C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho phép đối xứng tâm $I(1;1)$ biến đường thẳng $d: x+y-3=0$ thành đường thẳng có phương trình là
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in d;M’\left( {x’;y’} \right) \in d’$ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm $I\left( {a;b} \right)$, ta có $\left\{ \begin{array}{l} x’ = 2a - x\\ y’ = 2b - y \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lấy $M\left( {x;y} \right) \in d;M’\left( {x’;y’} \right) \in d’$ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm $I(1;1)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} x’ = 2 - x\\ y’ = 2 - y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - x’\\ y = 2 - y’ \end{array} \right.$
Do $M\left( {x;y} \right) \in d$ nên ta có $x+ y - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 - x’ + 2 - y’ - 3 = 0 \Leftrightarrow x’ + y’ - 1 = 0$
Mà $M’\left( {x’;y’} \right) \in d’$ nên phương trình $d’$ là $x+y-1=0$
Đáp án C
Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm phương trình đường tròn $(C’)$ là ảnh của đường tròn $(C):x^2+(y-2)^2=4$ qua phép đối xứng tâm $I(1;0)$
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $O(0;2)$ và bán kính $R=2$
Qua phép đối xứng tâm $I(1;0)$, ảnh của điểm $O(0;2)$ là $O’(2;-2) $ và $R’=R=2$
Vậy phương trình đường tròn $(C’)$ là : $(x+2)^2+(y-2)^2=4$
Đáp án A
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho elip $(E)$ có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$. Viết phương trình elip $(E\')$ là ảnh của elip $(E)$ qua phép đối xứng tâm $I(0;-1)$
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M(x;y) \in (E),M\'(x\';y\') \in (E\')$
Ta có qua phép đối xứng tâm $I(0;-1)$ biến điểm $M$ thành điểm $M\'$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = 2.0 - x\\\ny\' = 2.\left( { - 1} \right) - y\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = - x\'\\\ny = - 2 - y\'\n\end{array} \right.$
Do $M \in (E)$ nên $\dfrac{{{{\left( { - x\'} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( { - 2 - y\'} \right)}^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x{\'^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {y\' + 2} \right)}^2}}}{1} = 1$
Vậy elip $(E\')$ có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{1} = 1$
Đáp án C