Cho hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\beta)$, đường thẳng $a//(\alpha)$. Có mấy vị trí tương đối của $a$ với $(\beta)?$
$\left\{\begin{array}{l}{(\alpha) / /(\beta)} \\ {a / /(\alpha)}\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{a \subset(\beta)} \\ {a / /(\beta)}\end{array}\right.\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{(\alpha) / /(\beta)} \\ {a / /(\alpha)}\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{a \subset(\beta)} \\ {a / /(\beta)}\end{array}\right.\right.$
Đáo án: B.
Hai đường thẳng $a$ và $b$ nằm trong $mp(\alpha)$. Hai đường thẳng $a\'$ và $b\'$ nằm trong $mp(\beta)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu $a$ cắt $b$ và $a / / a^{\prime}, b / / b^{\prime}$ thì $(\alpha) / /(\beta).$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án D đúng.
Đáp án: D.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu $(\gamma) \cap(\alpha)=a,(\gamma) \cap(\beta)=b$ và $(\alpha) / /(\beta)$ thì $a//b.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A và B sai vì nếu $(\alpha) / /(\beta)$ và $a \subset(\alpha), b \subset(\beta)$ thì $a//b$ hoặc $a$ và $b$ chéo nhau.
C sai vì nếu $a//b$ và $a \subset(\alpha), b \subset(\beta)$ thì $(\alpha) / /(\beta)$ hoặc $(\alpha) \cap(\beta)=c / / a / / b$
D đúng.
Đáp án: D.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Đáp án: C.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ đều song song với $(\beta).$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ đều song song với $(\beta).$
Đáp án: A.
Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận $mp(\alpha) / / m p(\beta)?$
$(\alpha) / / a $ và $(\alpha) / / b$ với $a,b$ là hai đường thẳng cắt nhau thuộc $(\beta).$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A sai vì $(\alpha),(\beta)$ có thể trùng nhau.
B sai vì nếu $a//b$ thì $(\alpha),(\beta)$ chưa chắc song song với nhau.
C không thể kết luận được vị trí của $(\alpha),(\beta)$
D đúng vì dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng song song khi mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia.
Đáp án: D.
Chọn câu đúng:
Ta có hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau nên A đúng.
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau nên B sai.
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song với nhau hoặc trùng nhau nên C sai.
Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau nên D sai.
Đáp án: A.
Cho một đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $(P)?$
Theo lí thuyết ta có nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ thì có duy nhất một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $(P).$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ thì có duy nhất một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $(P).$
Đáp án: B.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $SA,SD,AB$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Sử dụng điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dễ dàng chứng minh được $MNOP$ là hình bình hành $\Rightarrow M, N, O, P$ đồng phẳng $\Rightarrow $ A, C sai.
Ta có: $MN$ là đường trung bình của tam giác $S A D \Rightarrow M N / / A D / / B C$
$ON$ là đường trung bình của tam giác $S B D \Rightarrow O N / / S B$
$\Rightarrow(M O N) / /(S B C)$. Vậy B đúng.
Đáp án D sai vì $N \in(M N P) \cap(S B D)$
Đáp án: B.
Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là đúng?
Vẽ hình, chứng minh các mặt phẳng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A D \cap(B E F)=A \Rightarrow $ A sai.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{A F / / B E} \\ {A D / / B C}\end{array} \Rightarrow(A F D) / /(B E C) \Rightarrow\right.$ B đúng.
$(A B D) \cap(E F C)=C D \Rightarrow $ C sai.
$E C \cap(A B F)=E \Rightarrow$ D sai.
Đáp án: B.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Tam giác $SBD$ đều. Một mặt phẳng $(P)$ song song với $(SBD)$ và đi qua điểm $I$ thuộc cạnh $AC$ (không trùng với $A$ hoặc $C).$ Thiết diện của $(P)$ với hình chóp là hình gì?
Dựng thiết diện bằng cách kẻ các đường thẳng song song.
Sử dụng định lí Ta-let.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong $(ABCD)$ qua $I$ kẻ $M N / / B D(M \in A B ; N \in A D)$
Trong $(SAB)$ qua $M$ kẻ $M P / / S B(P \in S A)$
$\Rightarrow(M N P) / /(S B D) \Rightarrow(P) \equiv(M N P)$
$\left\{\begin{array}{l}{(M N P) \cap(S A D)=N P} \\ {(S B D) \cap(S A D)=S D \quad \Rightarrow N P / / S D} \\ {(M N P) / /(S B D)}\end{array}\right.$
Theo định lý Ta-lét, ta có: $\dfrac{M N}{B D}=\dfrac{A M}{A B}=\dfrac{A P}{A S}=\dfrac{M P}{S B}=\dfrac{N P}{S D}$
Mà tam giác $SBD$ đều nên $S B=B D=S D \Rightarrow M N=N P=M P$
Vậy $\Delta MNP$ đều.
Đáp án: D.
Cho các mệnh đề sau:
1. Qua một điểm không thuộc hai mặt phẳng cắt nhau vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với hai mặt phẳng đó.
2. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì xác định một mặt phẳng.
3. Qua một điểm không thuộc hai đường thẳng chéo nhau vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với hai mặt phẳng đó.
4. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song.
5. Nếu đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d’$ trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P).$
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó.
Hãy chọn các mệnh đề đúng:
Suy luận từng đáp án, dựa vào các tính chất đường song song với mặt, hai mặt phẳng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
1. Qua một điểm vẽ đường thẳng song song với hai đường thẳng cắt nhau thì đường thẳng cần vẽ phải song song với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Qua một điểm không thuộc đường thẳng vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Vậy 1 đúng.
2. Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng. 2 sai.
3. Giả sử $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau, $M \notin a, M \notin b$
Qua $M$ kẻ $a’//a;b’//b \Rightarrow a’,b’$ duy nhất.
$a^{\prime} \cap b^{\prime}=\{M\} \Rightarrow$ mặt phẳng $(P)$ xác định bởi $a’,b’$ là duy nhất. Và ta có: $(P) / / a,(P) / / b$. Vậy 3 đúng.
4, 5 hiển nhiên đúng.
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì có thể song song hoặc trùng nhau, hoặc cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó. Vậy 6 sai.
Đáp án: D.
Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng $\left(M A^{\prime} C^{\prime}\right)$ cắt hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng $\left(M A^{\prime} C^{\prime}\right)$ cắt hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ theo thiết diện là hình gì ?
- Sử dụng phương pháp tìm thiết diện để xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng $(MA′C′)$
- Sử dụng quan hệ song song và tính chất đường trung bình để xác định hình dạng của thiết diện.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong mặt phẳng $\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)$, $A^{\prime} M \text { cắt } B^{\prime} B \text { tại } I$
Trong mặt phẳng $ \left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$, $I C^{\prime} \operatorname{cắt} B C \operatorname{tại} N$
Tứ giác $A^{\prime} M N C^{\prime}$ là thiết diện cần tìm
Ta có: $M B / / A^{\prime} B^{\prime} \Rightarrow \dfrac{M B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{I B}{I B^{\prime}}=\dfrac{I M}{I A^{\prime}}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow M$ là trung điểm I'A
Mà $B N / / B^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow \dfrac{I B}{I B^{\prime}}=\dfrac{I N}{I C^{\prime}}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow N$ là trung điểm IC'
Do đó $M N$ là đường trung bình của tam giác $I A^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow M N / / A^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow M N C^{\prime} A^{\prime}$ là hình thang
Đáp án: D
Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua AB và trung điểm M của CC' thì cắt hình hộp theo thiết diện gì ?
- Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng $(α)$
- Sử dụng các tính chất song song của đường thẳng, mặt phẳng để tìm hình dạng của thiết diện.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\left(A D D^{\prime} A^{\prime}\right) / /\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)} \\ {(A B M) \cap\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)=B M}\end{array} \} \Rightarrow(A B M) \cap\left(A D D^{\prime} A^{\prime}\right)=A N / / B M \text { với } N \in D D^{\prime}$
Do đó ABMN là hình thang
Lại có
$\begin{array}{l}{\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right) / /\left(D C C^{\prime} D^{\prime}\right)} \\ {(A B M N) \cap\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)=A B} \\ {(A B M N) \cap\left(D C C^{\prime} D^{\prime}\right)=M N}\end{array} \} \Rightarrow A B / / M N$
Do đó ABMN là hình bình hành
Đáp án: C
Cho hình hộp $AB C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Cắt hình hộp bởi mặt phẳng chứa một cạnh của hình hộp ta được thiết diện lầ tứ giác (T). Chọn khẳng định đúng
Vẽ hình và nhận xét.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thiết diện tạo thành hình bình hành
Đáp án: B
Nhận xét nào sau đây không đúng về hình chóp cụt:
Sử dụng tính chất của hình chóp cụt
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các mặt bên của hình chóp cụt là những hình thang chứ không phải là hình thang cân
Đáp án: A
Trong các hình sau, hình nào là hình hộp
Sử dụng định nghĩa hình hộp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình thoi cũng là hình bình hành nên hình lăng trụ có đáy là hình thoi cũng là hình hộp.
Đáp án: B
Phát biểu nào "không" đúng về hình hộp ?
Sử dụng tính chất của hình hộp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đỉnh của hình hộp được gọi là đối diện nếu chúng không cùng nằm trên một mặt nào của hình hộp
Vậy chỉ có 4 cặp đỉnh đối diện trong hình hộp
Đáp án: A
Số mặt chéo của hình hộp $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ là:
Mặt chéo của hình hộp là mặt tạo bởi hai đường chéo của hình hộp đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các mặt chéo là: $\left(A D C^{\prime} B^{\prime}\right),\left(A^{\prime} D^{\prime} C B\right),\left(A B C^{\prime} D^{\prime}\right),\left(D C B^{\prime} A^{\prime}\right),\left(A C C^{\prime} A^{\prime}\right),\left(B D D^{\prime} B^{\prime}\right)$
Đáp án: B
Cho hình hộp $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D$. Gọi $O, O^{\prime}$ lần lượt là các hình bình hành $A B B^{\prime} A^{\prime}, D C C^{\prime} D^{\prime}$. Khẳng định nào sau đây là sai ?
Xét tính đúng sai của các đáp án, sử dụng tính chất song song của đường thẳng, mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$A D C^{\prime} B^{\prime}$ là hình bình hành có $\mathrm{O} O^{\prime}$ là đường trung bình nên $\overrightarrow{O O^{\prime}}=\overrightarrow{A D}$ và đáp án A, D đúng
Mà $O O^{\prime} / / A D$ nên $O O^{\prime} / /\left(A D D^{\prime} A^{\prime}\right)$ nên B đúng
Ngoài ra OO' và BB' chéo nhau nên C sai
Đáp án: C