Tính tổng $S_{n}=1+2 a+3 a^{2}+4 a^{3}+\ldots+(n+1) a^{n}$ ($a \neq 1$ là số cho trước)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu $a=0 \text { thì } S=1$
Nếu $a \neq 1$ thì ta có:
$\begin{array}{l}{a S_{n}=a+2 a^{2}+3 a^{3}+4 a^{4}+\ldots+(n+1) a^{n+1}} \\ {\Rightarrow S_{n}-a S_{n}=1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots+a^{n}-(n+1) a^{n+1}} \\ {\Rightarrow S_{n}(1-a)=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}-(n+1) a^{n+1}} \\ {\Rightarrow S_{n}=\dfrac{1}{1-a}\left[\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}-(n+1) a^{n+1}\right]}\end{array}$
$=\dfrac{1}{1-a}\left[\dfrac{a^{n+1}-1-(n+1) a^{n+1}(a-1)}{a-1}\right]=\dfrac{(n+1) a^{n+2}-(n+2) a^{n+1}+1}{(1-a)^{2}}$
Đáp án: A
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: $x^{3}-7 x^{2}+2\left(m^{2}+6 m\right) x-8=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+) Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có $x_{1}, x_{2}, x_{3}$
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $x_{1} x_{3}=x_{2}^{2}$. Suy ra ta có $x_{2}^{3}=8 \Leftrightarrow x_{2}=2$
+) Điều kiên đủ: Với $m=1$ và $m=7$ thì $m^{2}+6 m=7$ nên ta có phương trình $x^{3}-7 x^{2}+14 x-8=0$
Giải phương trình, ta được các nghiệm là 1, 2, 4. Hiển nhiên ba nghiệm này thành một cấp số nhân với công bội $q=2$
Vậy $m=1 \text { và } m=-7$ là các giá trị cần tìm
Đáp án: D
Ba số dương lập thành cấp số nhân, tích của số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba bằng 36. Một cấp số cộng có n số hạng, công sai $d=4$, tổng các số hạng bằng 510. Biết số hạng đầu của cấp số cộng bằng số hạng thứ 2 của cấp số nhân. Khi đó n bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với cấp số nhân $a, b, c>0 \Rightarrow b^{2}=a c=36 \Rightarrow b=6>0$
Do đó, theo giả thiết cấp số cộng ta có
$\begin{array}{l}{u_{1}=6 ; d=4 ; S_{n}=510} \\ {S_{n}=\dfrac{n}{2}\left(2 u_{1}+(n-1) d\right) \Leftrightarrow 510=\dfrac{n}{2}(12+4(n-1))} \\ {\Leftrightarrow n^{2}+2 n-255=0} \\ {\Rightarrow n=15}\end{array}$
(do n nguyên dương)
Đáp án: D
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=2$, cộng bội dương và biểu thức $u_{4}+\dfrac{1024}{u_{7}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=u_{11}+u_{12}+\ldots+u_{20}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi q là công bội của cấp số nhân, $q>0$
Ta có $u_{4}+\dfrac{1024}{u_{7}}=2 q^{3}+\dfrac{512}{q^{6}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si, ta có:
$2 q^{3}+\dfrac{512}{q^{6}}=q^{3}+q^{3}+\dfrac{512}{q^{6}} \geq 3 \sqrt[3]{q^{3} \cdot q^{3} \cdot \dfrac{512}{q^{6}}}=24$
Suy ra $u_{4}+\dfrac{1024}{u_{7}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 24 khi $q^{3}=\dfrac{512}{q^{6}} \Leftrightarrow q=2$
Ta có $S_{10}=\dfrac{u_{1}\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=2^{11}-2 ; S_{10}=\dfrac{u_{1}\left(1-q^{20}\right)}{1-q}=2^{21}-2$
Do đó $S=S_{20}-S_{10}=2095104$
Đáp án: C
Chu kỳ của bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày. Khi đó khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $u_{n}$ là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.
Ta có 7314 ngày gồm $\dfrac{7314}{138}=53$ chu kì bán rã.
Do đó ta cần tính $u_{53}$
Theo giả thiết của bán toán thì $u_{n}$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=\dfrac{20}{2}=10 ; q=\dfrac{1}{2}$
Do đó $u_{53}=10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{52} \approx 2,22.10^{-15}$
Đáp án: A
Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người. Biết rằng tỷ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2 \%$. Dân số của thành phố A sau 3 năm nữa sẽ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giá thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng 2% nghĩa là dân số năm sau gấp năm trước
$1+2 \%=1,02$ lần nên số dân theo các năm lieentieeps lập thành cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}=3.10^{6}$ và công bội $q=1+0,02$
$\Rightarrow u_{n}=3.10^{6}(1+0,02)^{n} \Rightarrow u_{3}=3.10^{6}(1+0,02)^{3}=3183624$
Đáp án: A
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là $4.10^{5}$ mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu vườn đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $u_{0}=4.10^{5} $ và $r=4 \%=0,04$
Gọi $u_{n}$ là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ n.
Khi đó ta có $u_{n+1}=u_{n}+u_{n}(1+r), n \in \mathbb{N}$
Suy ra $u_{n}$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{0}$ và công bội $q=1+r$
Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ là $u_{n}=u_{0}(1+r)^{n}$
Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:
$u_{n}=u_{1} \cdot q^{5}=4.10^{5} \cdot(1+0,04)^{5}=4 .10^5.(1,04)^{5}$ mét khối gỗ
Đáp án: C
Biết rằng tồn tại hai giá trị $m_1$ và $m_2$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân: $2 \mathrm{x}^{3}+2\left(m^{2}+2 m-1\right) x^{2}-7\left(m^{2}+2 m-2\right) x-54=0$. Tính gí trị biểu thức $P=m_{1}^{3}+m_{2}^{3}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-54}{2}=27$
Điều kiện cần để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân là $x=\sqrt[3]{27}=3 $ phải là nghiệm của phương trình đã cho.
$\Leftrightarrow m^{2}+2 m-8=0 \Leftrightarrow m=2 ; m=-4$
Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số $m$ nên $m=2$ và $m=-4$ các giá trị thỏa mãn
Suy ra: $P=2^{3}+(-4)^{3}=-56$
Đáp án: A
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=8$ và biểu thức $4 u_{3}+2 u_{2}-15 u_{1}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S_{10}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Goi q là công bội của cấp số nhân, khi đó
$4 u_{3}+2 u_{2}-15 u_{1}=2(4 q+1)^{2}-122 \geq-122, \forall q$
Dấu bằng xảy ra khi $4 q+1=0 \Leftrightarrow q=-\dfrac{1}{4}$
Suy ra: $S_{10}=u_{1} \cdot \displaystyle\frac{1-q^{10}}{1-q}=8 . \frac{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{10}}{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}=\frac{2\left(4^{10}-1\right)}{5.4^{8}}$
Đáp án: B
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m. Mỗi lần chạm đấy quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nửa bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $r_{i}$ là khoảng cách rơi thứ i
Ta có: $r_{1}=81, r_{2}=\dfrac{2}{3} .81_{n-1}, r_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \cdot 81, \ldots$
Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng $\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{1-\dfrac{2}{3}}$.
Gọi $t_{i}$ là khoảng cách lần rơi thứ i
Ta có: $t_{1}=\dfrac{2}{3} .81, t_{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{2}{3} 81, \ldots, t_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \dfrac{2}{3} .81, \ldots$.
Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ n là $\dfrac{2}{3} \cdot 81 . \frac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{2}{3}}$
Vậy tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng $S=\lim \left(81 . \dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{1-\dfrac{2}{3}}+\dfrac{2}{3} .81 . \dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{2}{3}}\right)=405$
Đáp án: D