Hướng dẫn giải (chi tiết)

Câp số nhân $2 ; 8 ; x ; 128$ theo thứ tự đó sẽ là $u_{1} ; u_{2} ; u_{3} ; u_{4}$, ta có

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{u_{3}}{u_{2}}} \\ {\dfrac{u_{3}}{u_{2}}=\dfrac{u_{4}}{u_{3}}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{8}{2}=\dfrac{x}{8}} \\ {\dfrac{128}{x}=\dfrac{x}{8}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=32} \\ {x^{2}=1024}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=32} \\ {x=32} \\ {x=-32}\end{array} \Leftrightarrow x=32\right.\right.\right.\right.$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=-3} \\ {q=-2}\end{array} \Rightarrow S_{10}=u_{1} \cdot \dfrac{1-q^{10}}{1-q}=-3 \cdot \dfrac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=1023\right.$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử $\left(u_{n}\right)$ là cấp số nhân công bội q, thì

Dãy $u_{1} ; u_{3} ; u_{5} ; \dots$ là cấp số nhân công bội $q^{2}$

Dãy $3 u_{1} ; 3 u_{2} ; 3 u_{3} ; \dots$ là cấp số nhân công bội $2q$

Dãy $\dfrac{1}{u_{1}} ; \dfrac{1}{u_{2}} ; \dfrac{1}{u_{3}} ; \ldots$ là cấp số nhân công bội $\dfrac{1}{q}$

Dãy $u_{1}+2 ; u_{2}+2 ; u_{3}+2 ; \dots$ không phải cấp số nhân.

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+ Ba số $x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y$ lập thành cấp số cộng nên

$(x+6 y)+(8 x+y)=2(5 x+2 y) \Leftrightarrow x=3 y$

+ Ba số $x+\dfrac{5}{3}, y-1,2 x-3 y$ lập thành cấp số nhân nên $\left(x+\dfrac{5}{3}\right)(2 x-3 y)=(y-1)^{2}$

Thay $x=3 y$ vào ta được $8 y^{2}+7 y-1=0 \Leftrightarrow y=-1 \text { hoặc } y=\dfrac{1}{8}$

Với $y=-1 \text { thì } x=-3 ; \text { với } y=\dfrac{1}{8} \text { thì } x=\dfrac{3}{8}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có

$S_{n}=\dfrac{10-1}{9}+\dfrac{10^{2}-1}{9}+\dfrac{10^{3}-1}{9}+\ldots+\dfrac{10^{10}-1}{9}=\dfrac{1}{9}\left(10+10^{2}+\ldots+10^{10}\right)-\dfrac{10}{9}$

$=\dfrac{1}{9}\left(10 . \dfrac{10^{10}-1}{9}\right)-\dfrac{10}{9}=\dfrac{10^{11}-10-90}{81}=\dfrac{10^{11}-100}{81}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Công bội của cấp số nhân đã cho bằng: $q=\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{9}{-3}=-3$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là $\dfrac{a}{q}, a, a q$.

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là $V=\dfrac{a}{q} \cdot a \cdot q a=a^{3}=125 \Rightarrow a=5$.

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

$S_{t p}=2\left(\dfrac{a}{q} \cdot a+a \cdot a q+a q \cdot \dfrac{a}{q}\right)=2 a^{2}\left(1+q+\dfrac{1}{q}\right)=50\left(1+q+\dfrac{1}{q}\right)$

Theo giả thiết , ta có $50\left(1+q+\dfrac{1}{q}\right)=175 \Leftrightarrow 2 q^{2}-5 q+2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{q=2} \\ {q=\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.$

Với $q=2 \operatorname{hoặc} q=\dfrac{1}{2}$ thì kích thước của hình hộp chữ nhật là $2,5 \mathrm{cm} ; 5 \mathrm{cm} ; 10 \mathrm{cm}$

Suy ra của ba kích thước này là $2,5+5+10=17,5 \mathrm{cm}$

Vậy đáp án D

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $A, B, C, D$ là số đo của góc bốn góc của tứ giác lồi đã cho. không mất tính tổng quát, giả sử $0< A < B< C < D$

Theo giả thiết ta có $D=8 A$ và $A, B, C, D$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có:

$\begin{array}{l}{8 A=D=A \cdot q^{3} \Leftrightarrow q=2} \\ {\Rightarrow 360^{0}=A+B+C+D} \\ {=A+2 A+4 A+8 A=15 A} \\ {\Rightarrow A=24^{0} \Rightarrow D=24^{0} \cdot 8=192^{0}}\end{array}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $u_{n}=5^{n}$ nên $u_{n+1}=5^{n+1} \Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{5^{n+1}}{5^{n}}=5$ không đổi $ \forall n \geq 1$

vậy dãy số $\left(u_{n}\right)$ có $u_{n}=5^{n}$ là cấp số nhân

Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.

Ta có $u_{n}=2(-\sqrt{3})^{n+1}$ nên $u_{n+1}=2(-\sqrt{3})^{n+2}=(-\sqrt{3}) u_{n} \Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=(-\sqrt{3})$ không đổi $\forall n \geq 1$

Vậy dãy số $\left(u_{n}\right)$ có $u_{n}=2(-\sqrt{3})^{n+1}$ là cấp số nhân.

Ta có: $u_{n}=2(-\sqrt{3})^{n+1}$ nên $u_{1}=8 ; u_{2}=13 ; u_{3}=18 \Rightarrow \dfrac{u_{2}}{u_{1}} \neq \dfrac{u_{3}}{u_{2}}$

Vậy dãy số đó không là cấp số nhân

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $u_{2}=4=u_{1} \cdot q$ và $u_{4}=9=u_{1} \cdot q^{3}$

$\Rightarrow \dfrac{u_{4}}{u_{2}}=\dfrac{u_{1} \cdot q^{3}}{u_{1} \cdot q} \Rightarrow \dfrac{9}{4}=q^{2} \Rightarrow q=\dfrac{3}{2}(q>0) \Rightarrow u_{1}=\dfrac{8}{3}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dãy $u_{n}=\dfrac{1}{3^{n-2}}=9 .\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$ là cấp số nhân có: $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=3} \\ {q=\dfrac{1}{3}}\end{array}\right.$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Cấp số nhân đã cho có $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=\dfrac{1}{4}} \\ {q=2}\end{array} \Rightarrow 2048=2^{11}=u_{1} q^{n-1}=\dfrac{1}{2} \cdot 2^{n-1}=2^{n-2} \Leftrightarrow n=13\right.$

Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng

Vậy $S_{13}=u_{1} \cdot \dfrac{1-q^{13}}{1-q}=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1-2^{13}}{1-2}=2047,75$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $u_{3}=S_{3}-S_{2}=9 \Rightarrow u_{1} q^{2}=9 \Rightarrow u_{1}=\dfrac{9}{q^{2}}$

Vì $S_{2}=4$. Do đó $\dfrac{9}{q^{2}}+\dfrac{9}{q}=4$

$\Leftrightarrow 4 q^{2}-9 q-9=0 \Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=-\dfrac{3}{4}$

+ Với $q=3$ thì $u_{1}=1, u_{6}=u_{1} q^{5}=243$

Suy ra $S_{5}=\dfrac{u_{1}-u_{6}}{1-q}=\dfrac{1-243}{1-3}=121$

+ Với $q=-\dfrac{3}{4}$ thì $u_{1}=16, u_{6}=-\dfrac{243}{64}$

Suy ra $S_{5}=\dfrac{u_{1}-u_{6}}{1-q}=\dfrac{181}{16}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không

+ phương án A: các góc $5^{0}, 15^{0}, 45^{0}, 225^{0}$ không lập thành cấp só nhân vì $15^{0}=3.5^{0} ; 45^{0}=3.15^{0} ; 225^{0} \neq 3.45^{0}$ 

+ phương án B: các góc $9^{0}, 27^{0}, 81^{0}, 243^{0}$ lập thành cấp số nhân và $9^{0}+27^{0}+81^{0}+243^{0}=360^{\circ}$. Hơn nữa $9^{0}=\dfrac{1}{9} 81^{0}$ nên B là phương án đúng.

+ phương án C và D: kiểm tra như phương án A.

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử 3 cạnh của tam giác theo thứ tự lập thành cấp số nhân là $a,b,c(0< a < b < c)$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nac = {b^2}\\\n{c^2} = {a^2} + {b^2}\n\end{array} \right. \Rightarrow ac = {c^2} - {a^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\dfrac{c}{a} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\\n\dfrac{c}{a} = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( L \right)\n\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{a} = {q^2} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow q = \sqrt {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} $

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ba số $x,y,z$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng

$\Rightarrow x + z = 2y \Rightarrow {2019^x}{.2019^z} = {2019^{2y}} = {\left( {{{2019}^y}} \right)^2}$

$ \Rightarrow $ $2019^x,2019^y,2019^z$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số nhân

Ba số $x,y,z$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số nhân

$ \Rightarrow xz = {y^2} \Leftrightarrow x\left( {x + z} \right) = {x^2} + {y^2} \Leftrightarrow x\left( {x + 2y + z} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}$

$ \Rightarrow $ $x,x+y,x+2y+z$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số nhân

(I) và (II) đều đúng.

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $\cos \alpha \ne 0 \Leftrightarrow \alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{R} } \right)$

Theo tính chất của cấp số nhân ta có ${\cos ^2}\alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{6}.\tan \alpha \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}$

$ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = - \dfrac{1}{2}$

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Kí hiệu A,B,C,D là số đo bốn góc ( tính theo đơn vị độ) của tứ giác lồi đã cho.

Không mất tổng quát, giả sử $A \le B \le C \le D$ .

Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta có D=8A, và A,B,C,D theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có  $D = A.{q^3} \Leftrightarrow {q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2$

Mặt khác $360 = A + B + C + D = A.\dfrac{{1 - {q^3}}}{{1 - q}} = 15A \Leftrightarrow A = {24^o}$

$\Rightarrow D = {192^o}$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $(u_n)$ $,q>0$

Khi đó với mọi $n \in \mathbb{N}^+$, ta có:

$\dfrac{{{p_{n + 1}}}}{{{p_n}}} = \dfrac{{4{u_{n + 1}}}}{{4{u_n}}} = q;\frac{{{S_{n + 1}}}}{{{S_n}}} = \dfrac{{{u^2}_{n + 1}}}{{{u^2}_n}} = {q^2}$

Đáp án A