Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$, biết: $u_{5}=3, u_{6}=-6$. Lựa chọn đáp án đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{6}^{2}=u_{5} . u_{7} \Rightarrow u_{7}=\dfrac{u_{6}^{2}}{u_{5}}=\dfrac{(-6)^{2}}{3}=12$
Đáp án: A
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=-1 ; q=\dfrac{-1}{10}$. Số $\dfrac{1}{10^{103}}$ là số hạng thứ bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{10^{103}}=-1 .\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}\\ \Leftrightarrow\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}=-\left(\dfrac{1}{10^{103}}\right)=\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{103}$
$\Leftrightarrow n-1=103 \Leftrightarrow n=104$
Đáp án: B
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ có:
$\left\{\begin{array}{l}{u_{k}=16} \\ {u_{k+1}=36}\end{array} \Rightarrow q=\dfrac{u_{k+1}}{u_{k}}=\dfrac{9}{4} \Rightarrow u_{k+2}=u_{k+1} q=81\right.$
Đáp án: B
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$, biết $u_{1}=-2, u_{2}=8$. Lựa chọn đáp án đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{1}=-2, u_{2}=8 \Rightarrow q=\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{8}{-2}=-4$
Do đó: $u_{5}=u_{1} \cdot q^{4}=-2 \cdot(-4)^{4}=-512$
Và $S_{5}=\dfrac{u_{1}\left(1-q^{5}\right)}{1-q}=\dfrac{-2\left(1-(-4)^{5}\right)}{(1-(-4))}=-410$
Đáp án: C
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ với $u_{1}=-2 \text { và } q=-5$. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=-2} \\ {q=-5}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=-2} \\ {u_{2}=u_{1} q=10} \\ {u_{3}=u_{2} q=-50} \\ {u_{4}=u_{3} q=250}\end{array}\right.\right.$
Đáp án: B
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=2$ và $u_{2}=-8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=2} \\ {u_{2}=-8=u_{1} q=2 q}\end{array}\right.$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{q=-4} \\ {S_{5}=u_{1} \cdot \dfrac{1-q^{5}}{1-q}=2 \cdot \dfrac{1-(-4)^{5}}{1+4}=410} \\ {S_{6}=2 \cdot \dfrac{1-(-4)^{6}}{1+4}=-1638} \\ {u_{5}=u_{1} q^{4}=2 \cdot(-4)^{4}=512}\end{array}\right.$
Đáp án: D
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$, biết $u_{1}=3, u_{5}=48$. Lựa chọn đáp án đúng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{5}=u_{1 \cdot} q^{4} \Leftrightarrow 48=3 \cdot q^{4} \Leftrightarrow q^{4}=16 \Leftrightarrow q^{2}=4 \Rightarrow u_{3}=u_{1 \cdot} q^{2}=3.4=12$
Đáp án: A
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ có số hạng đầu $u_{1}=\dfrac{1}{2}$ và công bội $q=3$. Tính $u_{5}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{5}=u_{1} q^{4}=\dfrac{1}{2} \cdot 3^{4}=\dfrac{81}{2}$
Đáp án: A
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$, biết $u_{1}=-2, u_{2}=8$. Lựa chọn đáp án đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $\left(u_{n}\right)$ là cấp số nhân nên $q=\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{8}{-2}=-4$
Đáp án: A
Cho dãy số: $ - 1;\dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{9};\dfrac{1}{{27}}; - \dfrac{1}{{81}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
Xét từng phương án và công bội $q = \dfrac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{1}{3} = \left( { - 1} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right); - \dfrac{1}{9} = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right);\dfrac{1}{{27}} = \left( { - \dfrac{1}{9}} \right).\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)$
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với $u_1=-1;q=-\dfrac{1}{3}$
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {\left( { - 1} \right)^n}\dfrac{1}{{{3^{n - 1}}}}$
Đáp án C
Một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=3$, công bội $q=2$. Biết $S_n=765$. Tìm n?
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân $S = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng công thức cấp số nhân ta có
$S = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 765 \Leftrightarrow n = 8$
Đáp án C
Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\\n{u_4} - {u_1} = 26\n\end{array} \right.$ . Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ là:
Sử dụng công thức của cấp số nhân ${u_n} = {u_{n - 1}}.q;S = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\\n{u_4} - {u_1} = 26\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\\\n{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = 26\n\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{{q^3} - 1}}{{{q^2} + q + 1}} = 2 \Leftrightarrow q - 1 = 2 \Leftrightarrow q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1\n\end{array}$
Vậy ${S_8} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{1.\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = 3280$
Đáp án A
Cho dãy số $\sqrt 3 ;\sqrt {4{b^2} + 5b} ;3\sqrt 3 $. Có bao nhiêu giá trị của b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
Sử dụng công thức ${u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n4{b^2} + 5b \ge 0\\\n4{b^2} + 5b = 9\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nb = 1\\\nb = \dfrac{{ - 9}}{4}\n\end{array} \right.$
Vậy có 2 giá trị của b thỏa mãn
Đáp án B
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
Xét từng phương án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_n} > 0$ với mọi n và $\dfrac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \dfrac{{{3^{ - n}}}}{{{3^{ - n + 1}}}} = \dfrac{1}{3} < 1$ nên $u_n=3^{-n}$ là dãy số giảm
Đáp án C
Cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
Sử dụng công thức $u_k=u_1.q^{k-1}$ và $u_k^2=u_{k+1}.u_{k-1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $u_k=u_1.q^{k-1}$ và $u_k^2=u_{k+1}.u_{k-1}$
Đáp án C
Xác định $x$ để ba số $2x-1;x;2x+1$ lập thành một cấp số nhân:
Sử dụng công thức $u_k^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ba số $2x-1;x;2x+1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}$
$ \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
Đáp án C
Có bao nhiêu giá trị $n$ thỏa mãn $C_n^1,\sqrt {\dfrac{{12}}{{19}}C_n^2} ,C_n^3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
+) Cấp số nhân có ${u_k}^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}}$
+) Sử dụng công thức tổ hợp để giải phương trình tìm $n$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \ge 3$
Ta có $C_n^1,\sqrt {\dfrac{{12}}{{19}}C_n^2} ,C_n^3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
$\begin{array}{l} \Rightarrow C_n^1.C_n^3 = \dfrac{{12}}{{19}}{\left( {C_n^2} \right)^2} \Leftrightarrow n.\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = \dfrac{{12}}{{19}}.\dfrac{{{n^2}{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 2} \right)}}{6} = \dfrac{{3\left( {n - 1} \right)}}{{19}} \Leftrightarrow n = 20\n\end{array}$
Vậy có duy nhất giá trị của n
Đáp án B
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_n=5^n-1$. Giá trị của công bội $q$ là
+) Cấp số nhân có ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$ và $q = \dfrac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = {S_1} = 4\\\n{u_1} + {u_2} = {S_2} = 24\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 4\\\n{u_2} = 20\n\end{array} \right. \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 5$
Đáp án B
Cho cấp số nhân có ${u_1} = - 3,q = \dfrac{2}{3}$. Số hạng $ - \dfrac{{96}}{{243}}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Cấp số nhân có ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$
$ - \dfrac{{96}}{{243}} = - 3.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow n = 6$
Đáp án B
Một cấp số nhân có ba số hạng $a,b,c$( theo thứ tự đó), trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội $q$. Khi đó, đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Cấp số nhân có ${u_k}^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có cấp số nhân có ba số hạng $a,b,c$( theo thứ tự đó)
$ \Rightarrow {b^2} = ac \Rightarrow \dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{ac}}$
Đáp án B